第三章不等式本章回顧學(xué)案（含答案）.doc

本章回顧1不等式的基本性質(zhì)(1)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的，有ab0ab；ab0ab；ab0a0，則1ab；1ab；1abbb，bcac；加法法則：abacbc；移項(xiàng)法則：abcacb；同向可加性：ab，cdacbd；乘法法則：ab，c0acbc或ab，c0acb0，cd0acbd；乘方法則：ab0，nN*anbn；開方法則：ab0，nN*.2不等式的解法(1)一元一次不等式的解法一元一次不等式axb0 (a0)的解集為當(dāng)a0時(shí)，；當(dāng)a0，或ax2bxc000方程ax2bxc0有兩不等實(shí)根x1，x2(x10)的圖象不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2x|xR不等式ax2bxc0)的解集x|x1x0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)的平面區(qū)域(半平面)且不含邊界直線；不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域(半平面)包含邊界直線(2)對(duì)于直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，使得AxByC的值的符號(hào)相同，也就是位于同一半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合同一個(gè)不等式AxByC0(或AxByC0)，而位于另一個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合另一個(gè)不等式AxByC0)(3)判斷不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域，可在直線AxByC0的某一側(cè)的半平面內(nèi)選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如選原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)來驗(yàn)證AxByC的符號(hào)的正負(fù)當(dāng)C0時(shí)，常選用原點(diǎn)(0,0)；當(dāng)C0時(shí)，選用點(diǎn)(1,0)或(0,1)這種方法概括為“直線定邊界，特殊點(diǎn)定區(qū)域”4均值不等式及常用變形(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(2)如果a0，b0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(3)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則有：mina，bmaxa，b(4)若ab0，則2.(5)a，bR，都有ab成立(6)a，b，cR，都有a2b2c2abbcca.一、分類討論思想在解含參數(shù)不等式中的應(yīng)用例1解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.分析先求出相應(yīng)方程的根，再就兩根的大小進(jìn)行討論解原不等式可化為(x1)(ax1)0.(1)當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為x11，所以原不等式的解集為x|x1；(2)當(dāng)a0，又0，x1，所以原不等式的解集為；(3)當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為(x1)0，對(duì)應(yīng)方程(x1)0的兩根為1和.當(dāng)0a1，1x；當(dāng)a1時(shí)，原不等式可化為(x1)21時(shí)，1，x1.綜上所述，當(dāng)a1；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為.二、數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃中的應(yīng)用例2已知實(shí)數(shù)x，y滿足(1)若z2xy，求z的最大值和最小值；(2)若zx2y2，求z的最大值和最小值；(3)若z，求z的最大值和最小值分析表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離，表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示圖中陰影部分即為可行域由得A(1,2)；由得B(2,1)；由得M(2,3)(1)z2xy，y2xz，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn)M(2,3)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z也最大，zmax2237.當(dāng)直線y2xz經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z也最小，zmin2124.所以z的最大值為7，最小值為4.(2)過原點(diǎn)(0,0)作直線l垂直直線xy30，垂足為N，則直線l的方程為yx，由得N，點(diǎn)N在線段AB上，也在可行域內(nèi)此時(shí)可行域內(nèi)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離最小又OM，ON，即.x2y213，所以，z的最大值為13，最小值為.(3)kOA2，kOB，2，所以z的最大值為2，最小值為.三、分離參數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)lg，其中aR，nN*且n2，如果當(dāng)x(，1時(shí)，f(x)有意義，求a的取值范圍解由題意知，當(dāng)x(，1時(shí)，12x3x(n1)xnxa0恒成立(nN*且n2)所以a，令g(x)，因?yàn)楹瘮?shù)yx (1kn1)在(，1上遞增，所以g(x)在(，1上遞增，所以g(x)g(1)(n1)，所以a(n1)即為所求例4若關(guān)于x的方程4xa2xa10有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解令2xt0，換元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程在(0，)上有實(shí)數(shù)解求a的范圍，另外若將參數(shù)a分離出來，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，用均值不等式很容易求解令2xt0，原方程化為t2ata10a2222.a的取值范圍是a2.四、函數(shù)單調(diào)性在求最值中的應(yīng)用例5已知a，b為正實(shí)數(shù)，且ab1，求y的最小值解yabababab2.令abt，ab1，ab.t，yab2t2在上單調(diào)遞減，ymin82.當(dāng)且僅當(dāng)t，ab，即ab時(shí)取“”例6(綜合應(yīng)用)某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖所示)如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)分析首先把造價(jià)表示為某一變量的函數(shù)，再利用均值不等式、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)求出最小值解設(shè)污水處理池的長為xm，則寬為m，再設(shè)總造價(jià)為y元，則有(1)y2x4002400248280200800x160002160002800181600044800，當(dāng)且僅當(dāng)800x，即x18m時(shí)，y取得最小值當(dāng)污水池的長為18m，寬為m時(shí)總造價(jià)最低，為44800元(2)0x16,016，12.5x16，x18，不能用均值不等式，但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間12.5,16上是減函數(shù)，從而利用單調(diào)性求得最小值由(1)知，y(x)80016000 (12.5x16)對(duì)任意x1、x212.5,16，設(shè)x10.(x1)(x2)，故y(x)在12.5,16上為減函數(shù)從而有(x)(16)45000，當(dāng)污水池的長度為16m，寬為12.5m時(shí)有最低總造價(jià)，最低總造價(jià)為45000元五、放縮法在證明不等式中的應(yīng)用例7已知0a1，x2y0，求證：loga(axay)loga2.證明0a1，左邊loga(axay)loga(2)loga2logaaloga2(xy)loga2(xx2)loga22loga2右邊loga(axay)loga2.六、比較法在證明不等式中的應(yīng)用例8如果a2b2c21，a，b，c是實(shí)數(shù)，試證：abbcca1.證明先證：abbcca11(abbcca)(a2b2c2)(abbcca)(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)(ab)2(bc)2(ca)201abbcca即abbcca1.再證：abbcca.abbccaabbccaabbcca(a2b2c22ab2bc2ca)(abc)20.abbcca.即abbcca綜上所述，abbcca1.1靈活拆項(xiàng)求函數(shù)最值例1求函數(shù)y的最小值解y.24.當(dāng)且僅當(dāng)，即x0時(shí)，取到最小值4.因?yàn)?，?dāng)x0時(shí)，取到最小值.所以，ymin4.當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取到這一最小值2分?jǐn)?shù)的小性質(zhì)有著大用途例2求證：.證明由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)知：設(shè)AB易知：0AB，A2AB.即22即2.3利用一次函數(shù)的保號(hào)性證明不等式例3設(shè)|