基于Matlab的加窗FFT電力系統(tǒng)諧波分析.docx

基于Matlab的加窗FFT電力系統(tǒng)諧波分析 目 錄摘要：11緒論錯誤!未定義書簽。1.1課題背景、研究意義錯誤!未定義書簽。1.2 諧波的危害與來源錯誤!未定義書簽。1.2.1 諧波來源錯誤!未定義書簽。1.2.2 電力系統(tǒng)諧波的危害31.3 諧波檢測錯誤!未定義書簽。1.4 諧波的標(biāo)準(zhǔn)與指標(biāo)錯誤!未定義書簽。1.5 國內(nèi)外關(guān)于諧波的研究現(xiàn)狀52諧波分析測量錯誤!未定義書簽。2.1 傅里葉級數(shù)與系數(shù)錯誤!未定義書簽。2.2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式錯誤!未定義書簽。2.3 諧波相量的卷積92.4 傅里葉變換錯誤!未定義書簽。2.5 快速傅里葉算法錯誤!未定義書簽。2.6 傅里葉變換基本思想錯誤!未定義書簽。2.7幾種傅里葉變換的介紹142.7.1 基-2 FFT錯誤!未定義書簽。42.7.2 實(shí)值FFT錯誤!未定義書簽。2.7.3 局部FFT錯誤!未定義書簽。3基于FFT諧波法研究檢測方法錯誤!未定義書簽。3.1 FFT算法存在的問題錯誤!未定義書簽。3.1.1 奈奎斯特頻率和混疊錯誤!未定義書簽。3.1.2 柵欄效應(yīng)193.1.3 頻譜泄露錯誤!未定義書簽。03.2 算法的優(yōu)化錯誤!未定義書簽。03.2.1 窗函數(shù)錯誤!未定義書簽。03.2.2 窗函數(shù)的選擇錯誤!未定義書簽。3.3 FFT問題的優(yōu)化錯誤!未定義書簽。44 仿真實(shí)驗(yàn)與分析錯誤!未定義書簽。4.1仿真的理論依據(jù)錯誤!未定義書簽。4.2仿真實(shí)驗(yàn)與分析錯誤!未定義書簽。5參考文獻(xiàn)錯誤!未定義書簽。8致謝280附錄錯誤!未定義書簽?；贛atlab的加窗FFT電力系統(tǒng)諧波分析 摘要：隨著電力系統(tǒng)中非線性電力元件的增多，電網(wǎng)中諧波分量大大增加，諧波污染的情況也日益嚴(yán)重，對電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行造成了極大的影響。諧波測量是諧波問題研究的主要依據(jù)，實(shí)時測量電網(wǎng)中的諧波含量，確切掌握電網(wǎng)中諧波的實(shí)際情況，對于防止諧波危害，維護(hù)電網(wǎng)的安全運(yùn)行是十分必要的。對于諧波的分析，常用的分析方法有快速傅里葉變換（FFT），沃爾什變換（Walsh）,哈里特變換（Harley）和小波變換（Wavelets）等?？焖俑道锶~變換方法因?yàn)榫哂袑?shí)現(xiàn)簡單，精確度較好，功能較為豐富等優(yōu)點(diǎn)，所以被用來作為常用的諧波檢測方法，但是由于諧波分析時同步采樣的難度較大，造成采樣頻譜泄露、柵欄效應(yīng)，頻率混疊等問題，使得算出的諧波精度不高。針對快速傅里葉變換測量諧波精度不足的缺點(diǎn)，通常采用加窗值FFT和全相位FFT等方式進(jìn)行FFT的優(yōu)化。本文的重點(diǎn)工作是：分析FFT算法存在的缺陷以及針對這些缺陷進(jìn)行的改進(jìn)，分析了多種窗函數(shù)的特性，并根據(jù)多種穿函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，適當(dāng)?shù)膶⒍鄠€窗函數(shù)組合起來，達(dá)到更高的精度，仿真的結(jié)果表明，這種方法是切實(shí)可行的，能夠達(dá)到足夠的精度要求。關(guān)鍵詞：電力系統(tǒng)，諧波，F(xiàn)FT，窗函數(shù)，加窗。Harmonic analysis of power system based on Matlab for FFT power system Abstract：With the increase of power system nonlinear electric elements, harmonic component is greatly increased, harmonic pollution is becoming more and more serious, the safe and economic operation of power system caused a great impact. Harmonic measurement is a main basis in the study of harmonic problems, real-time measurement in power grid harmonic content, the exact grasp the actual conditions of power network harmonic, to prevent the harm of harmonics, maintenance and the safety operation of the power grid is very necessary. For the harmonic analysis, the common methods of analysis are fast Fourier transform (FFT), Walsh transform (Walsh), Harriet transform (Harley) and wavelet transform (Wavelets), etc. Fast Fourier transform method for its realization is simple, good accuracy and more feature rich and advantages, it is used for as a commonly used harmonic detection methods, but due to the harmonic analysis of synchronous sampling difficulty is greater, cause sampling frequency spectrum leakage and picket fence effect, frequency mixed stack and other issues, making the calculated harmonic precision is not high. In view of the shortcomings of the fast Fourier transform for measuring harmonic accuracy, the optimization of FFT by adding window value FFT and full phase FFT is usually used. The focus of this paper is: analysis of FFT algorithm in the presence of defects and improvement for these defects, analysis the characteristics of various window functions, and according to the advantages and disadvantages of wearing a variety of functions, appropriate the multiple window function combination, achieve higher accuracy. Simulation results show that, this method is feasible and can meet the requirement of sufficient accuracy.Keywords: power system, harmonics, FFT, Window function, plus window1 緒論1.1 課題背景、研究意義通過示波器，我們可以觀測到一個電氣信號的、波形，每個時刻的電氣信號的幅值。如果把該電氣信號加到一個高保真的放大器上面，可以聽到一個各種頻率的混合音調(diào)，所以，電氣信號既可以用時域，同樣也可以用頻域的數(shù)據(jù)來表示?，F(xiàn)代社會，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展離不開能源的供應(yīng)，大量的電能需求是當(dāng)今社會的現(xiàn)狀。隨著越來越多的非線性元件在電力系統(tǒng)中的投入使用，電能質(zhì)量不可避免的受到影響，大量諧波的存在使得電能質(zhì)量不能夠滿足一些用戶的需求，對電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定運(yùn)行帶來的是潛在的威脅，同時對電力電子技術(shù)的發(fā)展同樣有著不利的影響。所以，諧波檢測作為我們對諧波問題研究的出發(fā)點(diǎn)，成為我們重要的研究課題。1.2諧波的危害與來源1.2.1 諧波來源 電力系統(tǒng)諧波的定義為電源所產(chǎn)生的頻率（或者成為基波頻率）的整數(shù)倍頻率的正弦電壓和正弦電流，諧波構(gòu)成了電源電壓和負(fù)荷電流的波形的主要畸變成分。諧波產(chǎn)生的機(jī)理可以這么來進(jìn)行簡單的闡釋：發(fā)電部分通常在頻率為50Hz或者60Hz的穩(wěn)定頻率下發(fā)電，發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電壓的波形在實(shí)際生產(chǎn)中可以認(rèn)為是正弦的。但是當(dāng)若干個非線性電力元件負(fù)荷加入電力系統(tǒng)時，產(chǎn)生的電流并非完全是正弦形的，因?yàn)橄到y(tǒng)阻抗的存在，會造成一個非正弦的電壓降，由此，在負(fù)載側(cè)所產(chǎn)生的電壓畸變，也就是我們所說的電壓中含有諧波。電力系統(tǒng)諧波的來源有三個部分:因?yàn)榘l(fā)電系統(tǒng)的質(zhì)量不高而產(chǎn)生含有諧波的電壓源；在供配電部分中產(chǎn)生的諧波；在負(fù)荷端產(chǎn)生的諧波。對于發(fā)電部分的諧波，由于發(fā)電機(jī)的制作過程中一些發(fā)電繞組，鐵芯的制作存在些誤差，會產(chǎn)生一些諧波，但是當(dāng)我們對發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)和接線方式做一些處理后，發(fā)電端的電壓波形基本可以認(rèn)為是標(biāo)準(zhǔn)的正弦電壓波形。供配電部分產(chǎn)生諧波的主要原因是由于變壓器的存在，變壓器的繞組、鐵芯的設(shè)計(jì)選擇，工作磁密的選擇，使得磁化電流含有高次諧波。諧波的主要來源是負(fù)荷端的各種非線性元件，主要分為以下幾種：電弧加熱設(shè)備，如電弧爐、電焊機(jī)等。開關(guān)電源設(shè)備，如中頻爐、彩色電視機(jī)、電腦、電子整流器等。交流整流的直流用電設(shè)備，如電鍍、電解設(shè)備、電動機(jī)車等。交流整流再逆變用電設(shè)備，如變頻空調(diào)，變頻調(diào)速機(jī)等。1.2.2 電力系統(tǒng)諧波的危害電力系統(tǒng)諧波的危害主要體現(xiàn)在以下方面： （1）諧波的存在使得電網(wǎng)中的一些組件產(chǎn)生了附加的損耗，影響了發(fā)輸變電以及用電的效率，大量的奇次諧波的存在使得流過中性線時線路發(fā)熱甚至引起火災(zāi)。（2）大量諧波的存在會使得各種用電設(shè)備的正常工作受到影響。對于發(fā)電機(jī)，因?yàn)橹C波的存在，引起附加損耗外，還會引起機(jī)械振動，過電壓等危害，降低發(fā)電機(jī)的使用壽命.對于電力變壓器、電容器、電纜也有著過熱，絕緣老化，從而影響設(shè)備的使用壽命。（3）電力系統(tǒng)諧波的存在還會造成部分電網(wǎng)諧振，從而加大諧波污染對電力系統(tǒng)的危害。（4）諧波會造成電力系統(tǒng)二次側(cè)誤動，使得二次側(cè)的設(shè)備不能準(zhǔn)確的測得系統(tǒng)的運(yùn)行情況。（5）電力系統(tǒng)諧波會干擾附近通信系統(tǒng)的正常工作。輕則影響人們?nèi)粘Ｍㄔ捇顒?，降低通話質(zhì)量。重則導(dǎo)致通信系統(tǒng)的崩潰，使得通信系統(tǒng)無法正常工作。1.3 諧波檢測諧波檢測是對諧波問題進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)。只有準(zhǔn)確的對諧波進(jìn)行檢測，才能更好的應(yīng)對諧波污染的問題。諧波檢測的主要作用是：（1）對電力系統(tǒng)中諧波進(jìn)行檢測，判斷系統(tǒng)中的諧波水平是否符合關(guān)于諧波水平的規(guī)定。（2）確保電氣設(shè)備投入后能夠正常運(yùn)行。（3）當(dāng)系統(tǒng)由于諧波的影響不正常運(yùn)行時及時檢測的系統(tǒng)異常的原因，減少因?yàn)橹C波造成的損失。（4）關(guān)于諧波的指標(biāo)測試,如諧波阻抗、諧波諧振等。1.4 諧波的標(biāo)準(zhǔn)與指標(biāo) 國際電工委員會（IEC）制訂了一系列關(guān)于電磁兼容的標(biāo)準(zhǔn)，用以處理電能質(zhì)量問題。IEC 61000系列是國際電工委員會制定的關(guān)于諧波標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)性文件，是國際上認(rèn)可的控制電力系統(tǒng)諧波畸變的資料，其他的還有IEEE 519-1992文件，也為諧波處理問題提供了導(dǎo)則。電壓波形常用的諧波指標(biāo)是THD，即以基波分量百分?jǐn)?shù)表示的諧波有效值。Hn=2NUn2U1 (1-1)公式中相應(yīng)符號意義為：Un為n次諧波電壓有效值，N是所采集到的最高諧波次數(shù)，U1是基波電壓的有效值。但是當(dāng)使用表征電流畸變水平時，因?yàn)樨?fù)荷電流較小使得所測結(jié)果造成一定的誤差，采用總需求畸變因數(shù)（）取代。表達(dá)式如下：n=2NIn2Ir (1-2)公式相應(yīng)符號意義：In是n次諧波電流有效值，N為所采集到最高諧波次數(shù)，Ir為額定電流。表1-1 IEC規(guī)定的系統(tǒng)諧波電壓兼容值奇次諧波（非3的倍數(shù)）奇次諧波（3的倍數(shù)）偶次諧波諧波次數(shù)（h）諧波電壓含有率（%）諧波次數(shù)（h）諧波電壓含有率（%）諧波次數(shù)（h）諧波電壓含有率（%）5635227591.541113.5150.360.5133210.280.5172210.2100.5191.5-120.2231.5-120.2251.5-250.2+12.5h-表1-2公用電網(wǎng)諧波電壓限值電網(wǎng)標(biāo)稱電壓（kv）電壓總諧波畸變率（%）各次諧波電壓含有率（%）奇次偶次0.385.04.02.00.64.03.21.6104.03.21.6353.02.41.2663.02.41.21102.01.60.81.5 國內(nèi)外關(guān)于諧波的研究現(xiàn)狀從交流電投入使用開始，電力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)已經(jīng)把降低電壓和電流的波形畸變作為一項(xiàng)重要內(nèi)容，使其在一個可以接受的范圍內(nèi)。早在1945年，J.C.Read發(fā)表的有關(guān)變流器諧波的論文是早期人們對于諧波研究的經(jīng)典論文之一。在50年代和60年代，高壓直流輸電技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展使得人們對于電力系統(tǒng)諧波的研究更進(jìn)一步深化，發(fā)表的大量關(guān)于變流器引起的電力系統(tǒng)諧波問題的研究論文，70年代以來，電力電子技術(shù)的發(fā)展，電力電子器件的投入使用，電力系統(tǒng)諧波污染的情況也日趨嚴(yán)重。大多數(shù)國家制訂了各自的諧波標(biāo)準(zhǔn)或推薦規(guī)程適應(yīng)本國的條件，但是隨著經(jīng)濟(jì)全球化，各國制作的設(shè)備彼此交流的需要，促進(jìn)共同努力制定諧波方面的國際標(biāo)準(zhǔn)。國內(nèi)關(guān)于電力系統(tǒng)諧波研究起步較晚，我國關(guān)于諧波研究較有影響力的一部著作是1988年由吳競昌等人出版的電力系統(tǒng)諧波。近年來關(guān)于諧波研究的代表作1994年夏道止等人出版的高壓直流輸電系統(tǒng)的諧波分析及濾波，其他較為有影響力的著作有唐統(tǒng)一等人翻譯外國學(xué)者J.Arrillaga的電力系統(tǒng)諧波等。有關(guān)諧波問題的研究主要分為以下幾個方面：（1）與諧波相關(guān)的功率定義和功率理論的研究（2）諧波分析以及諧波危害的研究（3）關(guān)于諧波的抑制與補(bǔ)償（4）和諧波有關(guān)的測量問題及限制諧波標(biāo)準(zhǔn)的研究2 諧波分析測量 通過適當(dāng)?shù)膫鞲衅鳒y量或者根據(jù)給定的運(yùn)行條件，通過電氣設(shè)備的非線性特性計(jì)算可以得到該電氣設(shè)備的電壓電流的波形。數(shù)學(xué)家傅里葉于1822年提出周期為T 的連續(xù)函數(shù)，可以通過直流分量、正弦基波分量與一系列高次的正弦分量之和來表示。諧波分析是計(jì)算周期性波形的基波和高次諧波的波形幅值與其相角的過程。諧波分析所得到的結(jié)果稱之為傅里葉級數(shù)，并通過該過程簡歷時域函數(shù)與頻域函數(shù)之間的關(guān)系。2.1 傅里葉級數(shù)與系數(shù)常用的傅里葉級數(shù)表達(dá)式如下：ft=a0+n=1ancos2ntT+bnsin2ntT （2-1）上式表達(dá)式中各項(xiàng)參數(shù)為：a0函數(shù)f(t)的平均值an，bn是諧波的兩個分量當(dāng)諧波用矢量表示是，可以表示為 Ann=an+jbn （2-2）An為該波形的幅值，其值為an2+bn2，n是該波形的相角，其值為tan-1bnan。對于給定的函數(shù)f(t),將式（2.1）的兩邊在一個周期內(nèi)進(jìn)行積分，通常取-T/2到T/2，可以求出來f(t)的平均值a0:-T/2T/2f(t)dt=-T/2T/2a0+n=1ancos2ntT+bnsin（2ntT）dt (2-3)對上式等式右邊逐項(xiàng)積分可以求得： a0=1T-T/2T/2ftdt (2-4)用語言描述即為a0為在一個周期內(nèi)函數(shù)f(t)下面的面積除以該波形的周期T。對式（2-1）進(jìn)行變形處理，表示出an，bn。等式兩邊乘以cos(2mtT)，同樣在一個周期內(nèi)進(jìn)行兩邊積分運(yùn)算，如下：-t/2T/2f(t)cos(2mt/T)dt=-T/2T/2a0+n=1ancos2ntT+bnsin2ntTcos2mtTdt = a0-T/2T/2cos2mtT+n=1an-T/2T/2cos2ntTcos2mtTdt+ bn-T/2T/2sin(2nt/T)cos(xmt/T)dt （2-5） 由數(shù)學(xué)運(yùn)算可得，等式右邊第一項(xiàng)關(guān)于余弦函數(shù)在一個周期內(nèi)的積分為0，bn項(xiàng)所乘系數(shù)，對于所有的n、m值，由于正余弦函數(shù)正交，其積分結(jié)果亦為0。所以，所有bn項(xiàng)為0。當(dāng)n、m值相等時，由于正交，含有an的因數(shù)也是0.在n=m的情況下，式（2-5）可以化簡為：-T2T2ftcos2ntTdt=an-T2T2cos22ntTdt =an2-T/2T/2cos(4nt/T)dt+an2-T/2T/2dt (2-6)所以，系數(shù) an=2T-T/2T/2f(t)cos(2nt/T)dt n1 (2-7)對于系數(shù)bn同樣有，對（2-1）式進(jìn)行變換，等式兩邊同乘以sin(2mt/T)，即可確定系數(shù)bn,其表達(dá)式如下： bn=2T-T/2T/2f(t)sin(2nt/T)dt n1 (2-8)對于積分區(qū)間的選擇，由于上述若干式的對稱性，積分區(qū)間可以任取t(t+T)，通常，我們用角頻率表示式（2-4）、（2-7）、（2-8），取T=2，=2/T=2f,所以，上述三式表達(dá)如下：a0=12-ftd(t) (2-9)an=1-f(t)cos(nt)d(t) (2-10)bn=1-f(t)sin(nt)d(t) (2-11)綜上，有f(t)=a0+n=1ancosnt+bnsin(nt) (2-12)由積分運(yùn)算法則可知，積分區(qū)間-T/2,T/2可分解為-T/2,0,0,T/2兩個積分區(qū)間，所以，式（2-7）（2-8）可以分解變換為以下形式：an=2T0T/2f(t)cos(2nt/T)dt+2T-T/20f(t)cos(2nt/T)dt (2-13)bn=2T0T/2f(t)sin(2nt/T)dt+2T-T/20f(t)sin(2nt/T)dt (2-14)應(yīng)用積分運(yùn)算的性質(zhì)，將（2-13）式第二個積分中t用-t代換，可以得到以下表達(dá)式:an=2T0T/2f(t)cos(2nt/T)dt+2T-T/20f(-t)cos(-2nt/T)d(-t) =2T0T/2ft+f(-t)cos(2nt/T)dt (2-15)相應(yīng)，可以對bn表達(dá)式進(jìn)行變換：bn=2T0T/2ft-f(-t)sin(2nt/T)dt (2-16)關(guān)于波形的分類，可以分為奇對稱和偶對稱，另外還有半波對稱幾種，當(dāng)波形為奇對稱波形時，有以下關(guān)系：f(t)= -f(-t)則不論n取何值，an項(xiàng)的結(jié)果均為0，而bn=4T0T/2ftsin2ntTdt (2-17)所以，若函數(shù)為奇函數(shù)，則奇傅里葉級數(shù)中只含有正弦項(xiàng)。當(dāng)波形為偶對稱時，即f(t) =f(-t)，則對于任意一個n值，都有bn = 0 ，而 an=4T0T/2f(t)cos(2nt/T)dt (2-18)所以對于偶函數(shù)，傅里葉級數(shù)只含余弦項(xiàng)。當(dāng)選擇不同的時間參考點(diǎn)的時候，一些波形可以為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，如圖：圖2-1 信號波形該波形為奇函數(shù)，若將參考點(diǎn)（即原點(diǎn)縱軸）平移Y/2。則可以將該波形函數(shù)看作為偶函數(shù)。關(guān)于半波對稱，本文不做過多描述。2.2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為了從理論上的傅里葉級數(shù)分析過渡到對電網(wǎng)實(shí)際波形實(shí)用而快速的諧波分析,這需要利用傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式，直接計(jì)算各次諧波的幅值和相位。公式參考如下：ejnt= cosnt+jsin(nt)e-jnt=cosnt-jsin(nt)所以，式（2-12）可以表示為f(t)=a0+n=1(an-jbn2ejnt+an+jbn2e-jnt) （2-19）2.3 諧波相量的卷積通過一個完整周期T的信號采集來觀察該函數(shù)。等效于用一個長度為T的矩形脈沖乘以該時域信號，在頻域中與之對應(yīng)的是這兩個函數(shù)頻譜的卷積?？梢酝ㄟ^下圖來更為形象地理解上述過程。圖2-2 卷積傅里葉級數(shù)的離散卷積，即兩個時域波形函數(shù)的逐個點(diǎn)的乘積。當(dāng)兩個諧波相量（不同頻率）進(jìn)行卷積時。其結(jié)果為兩個諧波相量，頻率分別為原相量的和、差。通過三角變換公式，可以計(jì)算兩個正弦波形之積，再通過變換轉(zhuǎn)回相量的形式。假設(shè)諧波次數(shù)為k，m的兩個相量Ak、Bm，利用三角變換式積化和差，可得以下等式：|Ak|sin（kt+Ak）|Bm|sin(mt+Bk)=12|Ak|Bm|sin(k-m)t+Ak+Bm+/2)-sin(k+m)t+Ak+Bm+/2) （2-20）對上式進(jìn)行歐拉變換，轉(zhuǎn)換為相量形式，所化簡過程如下：AkBm=12|Ak|Bm|ej(Ak-Bm+/2)（k-m）-ej(Ak+Bm+/2)k+m =12j(AkBm*)k-m-(AkBm)k+m (2-21)由于k，m的取值不同，頻率之差有存在負(fù)值的可能，為了避免出現(xiàn)負(fù)值，從而產(chǎn)生負(fù)諧波，所以有以下公式表達(dá)：AkBm=12j(AkBm*)k-m-(AkBm)k+m km AkBm=12j(AkBm*)*m-k-(AkBm)k+m km (2-22)經(jīng)研究可得，兩個非正弦的波形信號的乘積，對應(yīng)的是這兩個諧波相量傅里葉級數(shù)的離散卷積。fa(t)fb(t)=0nh|Ak|sin（kt+Ak）0nh|Bm|sin(mt+Bm)=0nh0nh|Ak|sin（kt+Ak）|Bm|sin(mt+Bm) (2-23)對（2-23）進(jìn)行改寫，可以得出：FAFB=0nh0nhAkBm (2-24)2.4 傅里葉變換經(jīng)由上述描述可知，對于一個連續(xù)的時域信號，可以通過傅里葉級數(shù)這個工具在頻域中得到一個離散的頻率序列。因?yàn)門、二者的關(guān)系成負(fù)相關(guān)，當(dāng)T趨于無窮大的時候。諧波頻率間隔也就無限趨于0。則傅里葉變換與其相應(yīng)的傅里葉逆變換表達(dá)如下：傅里葉變換：X(f)=-x(t)e-j2ftdt (2-25)傅里葉逆變換:x(t)=-X(f)ej2ftdt (2-26)對于表達(dá)式X(f),一般使用復(fù)數(shù)表達(dá)式：X(f)=ReX(f)+jImX(f) (2-27)由三角函數(shù)性質(zhì)可得，X(f)的實(shí)部：ReX(f)=-x(t)cos(2ft)dt (2-28)同理可知，X(f)的虛部：ImX(f)=-x(t)sin(2ft)dt (2-29)所以，由相量表示方式可知，該信號幅值為：|X(f)|=（Re(X(f)）2+(Im(X(f)2 (2-30)該信號對應(yīng)幅角：(f)=tan-1Im(X(f)Re(X(f) (2-31)由（2-27）（2-31）式可知傅里葉反變換表達(dá)式可以寫成幅值與相位分量的函數(shù)：x(t）=-Xfcos2ft-fdf (2-32)傅里葉變換按照函數(shù)的不同分為連續(xù)傅里葉變換（FT）和離散傅里葉變換（DFT）兩種。對于連續(xù)傅里葉變換，若連續(xù)非周期信號f(t)的傅里葉變換存在，需要滿足以下兩個條件：（1）f(t)滿足狄利克雷（Dirichlet）條件：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個；在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個；在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的（2）f(t)在有限區(qū)間上絕對可積則定義該函數(shù)的傅里葉變換為： F()=-f(t)e-jtdt (2-33)對應(yīng)的傅里葉逆變換表達(dá)式為：f(t)=12-F()ejtd (2-34)上述兩個變換，即為一個函數(shù)的時域頻域之間的變換。離散傅里葉變換是信號處理中最常用最基本的運(yùn)算，其定義為：給定的離散時間序列，x0 x1xN-1,該序列可以絕對求和。則由離散分量構(gòu)成的傅里葉變換對如下：X(fk)=1Nn=0N-1x(tn)e-j2kn/N (2-35)及相應(yīng)的傅里葉逆變換：x(tn)=k=0N-1X(fk)ej2kn/N (2-36)假定上兩式時域函數(shù)與頻域函數(shù)都是周期的，每個周期由N個采樣值，如下圖所示：圖2-3 DFT頻域、時域圖由于實(shí)際采樣的數(shù)據(jù)眾多，計(jì)算量較大，通常借助于計(jì)算機(jī)完成這一工作過程。對式（2-35）變換，令W=e-j2/N,則(2-35)可變?yōu)槿缦拢篨(fk)=1Nn=0N-1x(tn)Wkn (2-37)上式可用下圖所示矩陣表表示，結(jié)果如下： 圖2-4 DFT轉(zhuǎn)換矩陣或者簡寫為：X(fk)=1NWknx(tn) (2-38)X(fk):頻域內(nèi)N個函數(shù)分量的一個矢量 x(tn)：時域內(nèi)N個采樣函數(shù)的一個矢量 由上可知，當(dāng)N值取值過大時，計(jì)算量較為繁瑣，需要很快的計(jì)算速度才能完成該變換需要的計(jì)算量。所以此方法并沒有獲得較為廣泛的應(yīng)用。2.5 快速傅里葉算法N值取值的不同，傅里葉變換的算法運(yùn)算量也不同，當(dāng)N取值較大時，運(yùn)算量較大，需要的代價(jià)也較大，甚至說難以辦到。為了解決這一問題，引出了快速傅里葉算法（FFT），F(xiàn)FT并不是一個新型的算法。由上述矩陣可知，X(fk)中元素有許多相似的特點(diǎn)，利用其元素的周期性，對稱性和正交性，可以使運(yùn)算量大大減少。2.6 傅里葉變換的基本思想WNk是一個周期函數(shù)，利用它的基本性質(zhì)，可以減少運(yùn)算量。1對稱性：WNk+N/2=-WNk (2-39)2周期性：WNk+N=WNk (2-40)3可約分性： WNnk=WmNnmk (2-41)利用上述性質(zhì)，可以對離散傅里葉變換中某些因子進(jìn)行合并，并且可以把輸入信號分解為點(diǎn)數(shù)更小的組，是運(yùn)算難度降低?；谏鲜鏊枷?，F(xiàn)FT基本上可以分為兩類：按時間抽取（DIT）、按頻率抽?。―IF）。2.7 幾種傅里葉變換的介紹2.7.1 基-2FFT該方法是FFT算法的標(biāo)準(zhǔn)版本。通常應(yīng)用基2-FFT來處理數(shù)字信號。雖然目前已經(jīng)開發(fā)出各種更為先進(jìn)的算法，但是基-2FFT仍然使用較為廣泛。其原理是將輸入信號進(jìn)行分解，使之成為點(diǎn)數(shù)更小的組，進(jìn)而再對該信號進(jìn)行傅里葉變換。這樣的分解過程是持續(xù)進(jìn)行的，一直到最后把該信號分解成為沒兩點(diǎn)為一組的信號。該方法要求信號的輸入點(diǎn)數(shù)N為2 的指數(shù)冪，即N=2m，這樣的信號分解需要經(jīng)過m步的分解過程。圖2-5 基-2FFT分解上圖是基-2FFT算法中8點(diǎn)DFT分解到2點(diǎn)DFT。根據(jù)上圖可以更為直觀的理解基-2FFT算法的運(yùn)算過程。2.7.2 實(shí)值FFT通常FFT算法處理的數(shù)據(jù)為復(fù)乘、復(fù)加的運(yùn)算，但是輸入的數(shù)據(jù)有可能是實(shí)數(shù)。為此，通過一個N點(diǎn)的FFT計(jì)算兩個長度為N 的DFT，其理論依據(jù)是DFT的線性特性和實(shí)數(shù)頻譜的復(fù)共軛特性，即： X(k)=X*(N-K),k=1,N2-1 (2-42)X(0) X(N2)均為實(shí)數(shù)，將一個復(fù)數(shù)序列用兩個實(shí)數(shù)序列表示:Xn=x1n+jx2n (2-43) 由DFT可得:X(k)=X1(k)+jX2(k) (2-44)由傅里葉復(fù)數(shù)表達(dá)方式可得：X1(k)=12X(k)+X*(N-k) X2(k)=12jX(k)-X*(N-k) (2-45)由（2-45）可知，還原DFT所需的額外計(jì)算量較小因?yàn)閄1(k)，X2(k)代表了實(shí)數(shù)的DFT，實(shí)數(shù)序列必須具有復(fù)共軛的性質(zhì)（參見（2-42）式）。因?yàn)楫?dāng)k=0或者k=N2時，所以計(jì)算結(jié)果為實(shí)數(shù)所以對于兩個長度為N的實(shí)數(shù)序列來說，總的計(jì)算量為一個N點(diǎn)的FFT另外有2N-4加法，即相對于標(biāo)準(zhǔn)FFT來說，計(jì)算量為原來的一半。2.7.3 局部FFT當(dāng)對一個輸入序列分析時，我們并不是需要對全部的序列進(jìn)行分析而是只對其中部分一個窄帶感興趣，即對于長度為N的輸入序列，只需要小于N的輸出值，由此亦可以減的運(yùn)算量。常用的方法有以下幾種：（1） 數(shù)字濾波器直接利用數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器在我們要研究的頻率點(diǎn)產(chǎn)生諧振，單獨(dú)分析該序列部分。（2）FFT剪枝圖2-6 FFT剪枝圖上圖中實(shí)數(shù)用x表示，復(fù)數(shù)用O表示。通過弧線連接的復(fù)數(shù)互為共軛。實(shí)線所表示的是需要計(jì)算的蝶形。該方法是通過FFT剪枝將上述流程圖中不需要輸出的分支除去，從而減少大量的計(jì)算量。（3） 轉(zhuǎn)換分解（TD）法有下列表達(dá)式N=P*Q，即將N點(diǎn)的離散傅里葉變換分解為Q個P點(diǎn)的DFT,對每個P點(diǎn)進(jìn)行DFT的重組計(jì)算（乘以相應(yīng)因子并求和）來得到S個輸出當(dāng)然，這S個輸出點(diǎn)不一定在一個序列中。例：N=8的DFT旋轉(zhuǎn)分解變換框圖：圖2-7 TD法圖解上圖表示的是八點(diǎn)的DFT變換分解法。其中Q=2，P=4，只需要計(jì)算S=3個輸出。TD法的計(jì)算量如下： #mul=4QS #add=4QS-2S #total=8QS-2S (2-45)為了獲得TD全部的計(jì)算量，Q個長度為P的分裂基數(shù)的運(yùn)算量需要加進(jìn)去。當(dāng)考慮分裂基之后，總的運(yùn)算量：#total=2Nlog2P-2+(3+4S)/P-2S （2-46）下表列出幾種FFT算法計(jì)算不同輸入輸出DFT的運(yùn)算量，數(shù)據(jù)表示TD節(jié)省的計(jì)算量超過75%。表2-8 不同F(xiàn)FT算法的輸出DFT計(jì)算量的對比DFT的點(diǎn)數(shù)計(jì)算量減少計(jì)算量（%）輸入（N）輸出S(0-5HZ)標(biāo)準(zhǔn)FFT分裂基RFFTTD+RFFT5129230407174430281.310241751200163901043079.6204833112640368902473478.04096652457608192657438766819212953248018023013103875.43 基于FFT諧波檢測方法3.1 FFT 算法存在的問題3.1.1 奈奎斯特（Nyquist）頻率和混疊假定一個連續(xù)時間信號x（t），其含有最高頻率為fmax，采樣頻率為xn=x(nTs)。假定采樣頻率為fs=1Ts,大于2fmax，則可以從x（n）中準(zhǔn)確重構(gòu)x（t）。最低采樣頻率2fmax叫做奈奎斯特Nyquist采樣率圖3-1 采樣案例采樣定理包括了兩點(diǎn):首先,它指出信號可以從采樣序列來重構(gòu),雖然沒有規(guī)定重構(gòu)的算法;其次,它給出了由連續(xù)吋間信號x(t)含頻率成分決定的最低采樣率2fmax。即若要正確傳遞被采樣系統(tǒng)信息，采樣頻率至少為原信號最高頻率的兩倍。研究中人們將采樣頻率一半的頻率，稱為奈奎斯特頻率。將頻率高于奈奎斯特頻率的頻率表示成負(fù)頻率，這意味著如果采樣速率低于波形中最高頻率的二倍，那么，這些較高頻率分量將以低于奈奎斯特頻率的面貌出現(xiàn)，使分析發(fā)生誤差。由于只在離散時間點(diǎn)上采樣，有可能在兩個采樣點(diǎn)之間有些高頻分量變化許多周期，這些高頻分量的信息，就會因?yàn)殡x散采樣而丟失。高于奈奎斯特頻率的分量錯誤地在低頻中出現(xiàn)，稱之為混疊，如下圖：（a）（b）（c）圖3-2 混疊現(xiàn)象上圖中圖像表示函數(shù)是：（a）xt=k (b)xt=kcos(2nft) 對于圖a，圖b，這兩種信號都可以解釋為直流（c）圖的采樣表示在奈奎斯特或者采樣頻率之上或之下兩種不同頻率的信號。 為了避免“混疊”現(xiàn)象，通常我們讓時域信號通過有限帶寬的低通濾波器，該低通濾波器的理想情況如下圖：圖3-3 低通濾波器濾波波形假定該濾波器的截止頻率fc與奈奎斯特頻率值相等。因此，如果對濾波后的信號采樣并作DFT， 則其頻譜沒有混疊效應(yīng)，原信號中頻率低于奈奎斯特頻率的分量能得到準(zhǔn)確表述。但是，在低通濾波器濾波的過程中，高于奈奎斯頻率的信息卻因?yàn)椤盎殳B”而消失掉了。3.1.2 柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)，也稱柵欄效應(yīng)，對任意一函數(shù)進(jìn)行采樣操作，即抽取采樣點(diǎn)上對應(yīng)的函數(shù)值。其效果如同透過柵欄的縫隙觀看外景一樣，只有落在縫隙前的少數(shù)景象被看到，其余的景象均被柵欄擋住而是為零，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。圖3-4 采樣實(shí)例上圖所示:在進(jìn)行諧波分析吋,通過信號釆樣和截?cái)?其頻譜在頻域上是連續(xù)的。N點(diǎn)DFT式在頻率區(qū)間0,2上對信號頻譜進(jìn)行N點(diǎn)的等間隔采樣,使用FFT計(jì)算頻譜,只能得到若干個離散的頻譜點(diǎn)x(k),這些點(diǎn)一般取在基頻的整數(shù)倍上,因而不可得到連續(xù)的頻譜函數(shù)。就像通過一個柵欄觀看信號的頻譜,只能看到上信離散點(diǎn)號的頻譜,其余部分的頻譜成分被遮擋,而不能觀察到。3.1.3 頻譜泄露對于頻率為fs的正弦序列，它的頻譜應(yīng)該只是在fs處有離散譜。但是，在利用DFT求它的頻譜時，時域做了一個截?cái)嗵幚?，結(jié)果使信號的頻譜不只是在fs處有離散譜，而是在以fs為中心的頻帶范圍內(nèi)都有譜線出現(xiàn)，它們可以理解為是從fs頻率上“泄漏”出去的，這種現(xiàn)象稱為頻譜“泄漏”。3.2 FFT算法的優(yōu)化3.2.1 窗函數(shù)在對時域信號的實(shí)際測量中，所取得信號觀測時間總是有限的。通常將該過程稱作“加窗”。在對于非穩(wěn)態(tài)信號測量時，通常采用此方法。將非穩(wěn)態(tài)信號分成若干準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)信號，是準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)信號具有無限周期的性質(zhì)。對于窗函數(shù)的作用，可以這么理解：將連續(xù)時域函數(shù)限制于有限的時間段內(nèi)，將這有限時間段之外的信號當(dāng)作零。相當(dāng)于將時域信號與對應(yīng)時間點(diǎn)的窗函數(shù)相乘。下圖給出矩形窗函數(shù)和其頻譜： 矩形窗時域波形 矩形窗頻域波形圖3-5 矩形窗時域、頻域波形3.2.2 窗函數(shù)的選擇為了減少頻譜泄露這一問題的影響，我們通常要選擇合適的窗函數(shù)對信號進(jìn)行處理。窗函數(shù)的基本要求是：窗函數(shù)主瓣盡量窄，其旁瓣要盡量小。通過選擇窗函數(shù)，讓我們感興趣的頻譜分量所占比重盡可能大，減少其他頻譜分量的影響。下面給出幾個典型的窗函數(shù)對于矩形窗的定義：Wt=1，對于-T2tT20 ， 其他， (3-1)具有1T的噪聲或有效帶寬，T是窗口寬度。由上圖可知，矩形窗旁瓣的峰值較大，它們歲頻率的衰減速度較慢。即用矩形穿函數(shù)對信號進(jìn)行分析時，與基波相近的頻譜分量對基波干擾較大。針對矩形窗函數(shù)缺陷，采用三角窗函數(shù)做進(jìn)一步優(yōu)化。三角窗的定義是：Wt=1+2tT,對于-T2t01-2tT,對于0tT20, 其他 (3-2)三角形窗是對矩形窗的一個簡單改進(jìn)，二者幅值都是從窗的中心到窗邊衰減，但是這種減少的代價(jià)是主瓣的寬度的增加，同時頻率的分辨率也會隨之下降，下面給出三角窗，矩形窗的時域、頻域的波形對比：圖3-6 矩形窗和三角窗的時域、頻域波形前兩圖為矩形窗時域、頻域波形，后兩圖為三角窗的時域、頻域波形。在實(shí)際頻譜分析中應(yīng)用較為廣泛的是國際標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)，即余弦平方或漢寧窗，定義如下：Wt=12（1-cos（2tT）,對于-T2TT2 (3-3)式（3-2）中兩項(xiàng)可以變換為余弦的平方。正弦函數(shù)較易產(chǎn)生該函數(shù)，分析中利于余弦數(shù)值表得此函數(shù)該函數(shù)主瓣較矩形窗打，但旁瓣的衰減速度比矩形窗快，因此，此窗函數(shù)使得信號頻譜泄露較小。下圖為國際標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)時域頻域圖：圖3-7 國際標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)時域頻域圖對標(biāo)準(zhǔn)窗進(jìn)行變換，將其放在一個小的矩形底座上，就得到了哈明窗（Hamming）。哈明窗的表達(dá)式如下：Wt=0.54-0.46cos2tT，-T2tT2 (3-4)圖3-8 哈明窗函數(shù)的時域頻域波形為了更直觀的表現(xiàn)矩形窗與標(biāo)準(zhǔn)窗的優(yōu)缺對比，可借助下圖：圖3-9 不同窗函數(shù)波形的對比上圖中所選用函數(shù)為:實(shí)線表示矩形窗函數(shù)，虛線表示的函數(shù)是漢寧窗函數(shù)，點(diǎn)化線是所表示的函數(shù)是哈明窗。矩形窗的第二個旁瓣與漢寧窗的第一個旁瓣位置相同但相位相反，二者可以按比例相互抵消，從而使最大旁瓣譜峰降低。理想的窗函數(shù)：我們定義具有單一主瓣沒有旁9瓣的函數(shù)為理想窗函數(shù)，即高斯函數(shù)。高斯函數(shù)形式： Wt=exp（-t222） (3-5)高斯函數(shù)通過傅里葉變換，得到另一高斯函數(shù)。它形狀為一個倒置的拋物線，并且越來越陡，實(shí)際運(yùn)用中只截取高斯函數(shù)三倍的半幅寬，即標(biāo)準(zhǔn)差的7.06倍。結(jié)果是在頻率分析譜上出現(xiàn)了旁瓣，但是均低于-44dB，主瓣的寬度比上述窗函數(shù)要寬，大約為1.9/T。反雙曲線余弦定義：csch-1x=2-tan-1x1-x2 對于x1.0 (3-6)該函數(shù)的特性為：假定旁瓣峰值給定，則此函數(shù)能提供最窄的主瓣帶寬。3.3 FFT算法的優(yōu)化減少“混疊”（1）對采樣頻率進(jìn)行修改，適當(dāng)提高信號采樣頻率，在提高采樣頻率的同時，要注意硬件設(shè)施的選擇，同時要考慮到存儲器容量和分辨率的要求。（2）采用抗混疊濾波器。對頻率大于fs2的頻率部分進(jìn)行濾波，使其消除。但此方法需要較多的硬件，由于濾波器濾阻帶的存在，并不能完全消除頻率大于fs2的部分，同時采用此方法會造成部分信號不能被有效采集。減少柵欄效應(yīng)（1）在信號長度N不變的條件下，適當(dāng)提高采樣頻率fs。此方法同樣要考慮到硬件設(shè)備的選擇。對存儲器容量有較高要求，同時降低運(yùn)算的速度。（2）假定采樣頻率fs不變，增加信號長度N。隨著采樣點(diǎn)的增加，采樣信號的分辨率也增加。但會大大增加運(yùn)算量。減少頻譜泄露（1）對被采集的信號的時域進(jìn)行處理，使其滿足整數(shù)周期截?cái)嗟囊?。但是對于?shí)際信號來說，波形一般都存在波動，很難做到截?cái)嗤暾闹芷凇＃?）由上文可知，窗函數(shù)的選擇影響信號的采集分析。合適的窗函數(shù)可以減少頻譜的泄露。尤其當(dāng)選擇的窗函數(shù)在邊界取值接近于零的情況下，經(jīng)過加權(quán)使信號數(shù)值變?yōu)楹苄〉臄?shù)值。從而使信號在邊界處能夠有效的連續(xù)。4 仿真試驗(yàn)與分析4.1 仿真的理論與依據(jù)由于FFT在對諧波分析時存在著問題，通常采取一些方法對FFT進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。最常用的方法是加窗FFT，根據(jù)窗含數(shù)的特性，選擇合適的窗函數(shù)進(jìn)行FFT變換，使得諧波信號的處理滿足對于諧波分析精度的要求。窗函數(shù)的作用就是將時域內(nèi)信號逐點(diǎn)與對應(yīng)