2019_2020學年高中數(shù)學第2章推理與證明章末復習課學案新人教A版.docx

第2章 推理與證明合情推理【例1】(1)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_(2)類比三角形內(nèi)角平分線定理：設ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點M，則.若在四面體PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于點D，你可得到的結(jié)論是_(1)1(2)(1)等式的左邊的通項為，前n項和為1；右邊的每個式子的第一項為，共有n項，故為.(2)畫出相應圖形，如圖所示由類比推理得所探索結(jié)論為.證明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以點D到平面BPA與平面CPA的距離相等，所以.又因為.由知成立1歸納推理的特點及一般步驟2類比推理的特點及一般步驟1(1)觀察如圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個點，第n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.按此規(guī)律，推出Sn與n的關系式為_(2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn, 則T4，_，_， 成等比數(shù)列(1)Sn4n4(n2，nN*)(2) (1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出：S2244，S3344，S4444(正方形四個頂點重復計算一次，應減去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4， ， ， 成等比數(shù)列綜合法與分析法【例2】若a，b，c是ABC的三邊長，m0，求證：.思路探究：根據(jù)在ABC中任意兩邊之和大于第三邊，再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立證明要證明，只需證明0即可，a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意兩邊之和大于第三邊，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.1. (改變條件)本例刪掉條件“m0”，證明：.證明要證 ，只需證ab(ab)c(1ab)c，即證abc，而abc顯然成立，所以.2(變換條件)本例增加條件“三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列”，求證：.證明要證，即證3，即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證c2a2acb2.ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命題得證分析綜合法的應用綜合法由因?qū)Ч治龇▓?zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程反證法【例3】已知xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個不小于1.證明假設a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，則有abc3，而abc2x22x3233，兩者矛盾，所以假設不成立，故a，b，c至少有一個不小于1.反證法的關注點(1)反證法的思維過程：否定結(jié)論推理過程中引出矛盾否定假設肯定結(jié)論，即否定推理否定(經(jīng)過正確的推理導致邏輯矛盾，從而達到新的“否定”(即肯定原命題)(2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時，也常用反證法2若x，y，z(0,2)，求證：x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.證明假設x(2y)1，且y(2z)1，且z(2x)1均成立，則三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)1，由于0x2，所以0x(2x) 1，同理0y(2y)1,0z(2z)1，三式相乘得00，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明：易知，n1時，猜想正確假設nk(kN*)時猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時猜想正確由知，對于任何nN*，都有an.1數(shù)學歸納法的兩點關注(1)關注點一：用數(shù)學歸納法證明等式問題是數(shù)學歸納法的常見題型，其關鍵點在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少(2)關注點二：由nk到nk1時，除等式兩邊變化的項外還要利用nk時的式子，即利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明2與“歸納猜想證明”相關的常用題型的處理策略(1)與函數(shù)有關的證明：由已知條件驗證前幾個特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學歸納法證明(2)與數(shù)列有關的證明：利用已知條件，當直接證明遇阻時，可考慮應用數(shù)學歸納法3用數(shù)學歸納法證明不等式(n2，nN*)證明當n2時，.假設當nk(k2且kN*)時不等式成立，即，那么當nk1時， . 這就是說，當nk1時，不等式也成立由可知，原不等式對任意大于1的正整數(shù)都成立轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用【例5】已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求證：.證明要證成立，即證，即證cos2sin2(cos2sin2)，即證12sin2(12sin2)，即證4sin22sin21.因為sin cos 2sin ，sin cos sin2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2，即4sin22sin21.故原結(jié)論正確轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法，數(shù)學中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問題；將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法證明問題的過程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想4已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，bR.(1)求證：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論解(1)證明：當ab0時，ab且ba.f(x)在R上是增函數(shù)，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命題的