整體把握與實(shí)施高中函數(shù)概念教.doc

整體把握與實(shí)施高中函數(shù)概念教函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，在新課程理念下立足高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體，深入研究函數(shù)概念教學(xué)具有理論和實(shí)踐的價(jià)值基于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念認(rèn)識(shí)和領(lǐng)悟的歷程較長，需多次反復(fù)和不斷深化的實(shí)際，以及以往教學(xué)中存在的忽略學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、過快地呈現(xiàn)函數(shù)形式化定義、脫離函數(shù)概念相對(duì)孤立地研究函數(shù)性質(zhì)和具體函數(shù)等問題，本文提出要站在數(shù)學(xué)教學(xué)整體的高度，宏觀把握學(xué)生在不同學(xué)段對(duì)函數(shù)認(rèn)識(shí)的層次，緊緊抓住教學(xué)中多次認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)概念的機(jī)會(huì)，不是停留在概念表層，而是凸現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，不斷深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理性認(rèn)識(shí)為此，本文分析了高中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維水平；細(xì)化了立足概念本質(zhì)關(guān)注概括過程的函數(shù)概念教學(xué)；提出了函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中回歸函數(shù)概念的關(guān)鍵；指出了具體函數(shù)教學(xué)中加深理解函數(shù)概念的方法；最后，舉例說明解決有關(guān)函數(shù)問題可促進(jìn)函數(shù)概念的進(jìn)一步深化一、由學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)定位高中函數(shù)概念教學(xué)學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)可以追溯到小學(xué)，那時(shí)，他們主要感受了“對(duì)應(yīng)”和“關(guān)系”在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程和不等式，感受了“對(duì)應(yīng)”和“變量間的關(guān)系”，潛移默化地研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，這些都為建立函數(shù)的描述性定義奠定了基礎(chǔ)，學(xué)生在初二年級(jí)正式學(xué)習(xí)函數(shù)概念，根據(jù)認(rèn)知年齡特點(diǎn)，初中學(xué)生更容易從觀察變量的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)，看到當(dāng)一個(gè)量變化時(shí)，往往影響（或伴隨）另一個(gè)量的變化雖然此時(shí)的函數(shù)概念中已經(jīng)蘊(yùn)含了對(duì)應(yīng)的本質(zhì)，但是，作為初中的學(xué)生更關(guān)注變化，他們很自然地把變化作為函數(shù)最重要的特征，把函數(shù)概念緊緊地與“變化”、“表達(dá)式”聯(lián)系在一起我們了解了高一學(xué)生繼續(xù)深入學(xué)習(xí)函數(shù)概念的知識(shí)基礎(chǔ)：有一次函數(shù)等一些具體函數(shù)的例證，知道它們的解析式和圖象，對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)多數(shù)處在感性認(rèn)識(shí)階段經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)是：了解函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，對(duì)函數(shù)能描述客觀世界某些變化規(guī)律有初步認(rèn)識(shí)思維水平是：雖然從形象思維逐步過渡到邏輯思維階段，但剛進(jìn)入高中，還要從經(jīng)驗(yàn)型的邏輯思維向辯證邏輯思維發(fā)展為此，在高中函數(shù)概念教學(xué)中，我們要客觀地面對(duì)學(xué)生的思維水平和對(duì)函數(shù)概念處于較淺層次認(rèn)識(shí)的實(shí)際，站在數(shù)學(xué)教學(xué)整體的高度，不失時(shí)機(jī)地幫助學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上不斷提高他們對(duì)抽象的函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和理解，把“對(duì)應(yīng)法則”作為函數(shù)概念的核心，理解定義域?qū)τ诳坍嫼瘮?shù)的重要作用，能用多種方式表示函數(shù)，善于發(fā)揮圖形在認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)概念中的作用，引導(dǎo)學(xué)生在研究函數(shù)性質(zhì)、具體函數(shù)、函數(shù)應(yīng)用中，多次回歸函數(shù)概念本原，反復(fù)體會(huì)，逐步加深對(duì)這一概念的理性認(rèn)識(shí)二、在函數(shù)概念教學(xué)中細(xì)化概括過程概念教學(xué)的核心是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例屬性、抽象概括本質(zhì)屬性、歸納得出概念等思維活動(dòng)而獲得概念1. 豐富函數(shù)概念的背景，關(guān)注問題情境的設(shè)置在高中函數(shù)概念新課中教師創(chuàng)設(shè)怎樣的問題情境？追尋函數(shù)概念歷史發(fā)展的軌跡，始終遵循人的認(rèn)知過程，是先有函數(shù)定義的變量說，后來認(rèn)識(shí)到變量概念難以精確化，因變量如何“依賴”自變量，也沒有細(xì)化，對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)需要進(jìn)一步深化，繼而出現(xiàn)了函數(shù)定義的對(duì)應(yīng)說歷史上認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的“漸進(jìn)性”給教學(xué)帶來啟示，問題情境設(shè)置關(guān)注兩點(diǎn)：一是讓學(xué)生自然地銜接初中學(xué)過的函數(shù)概念；二是讓學(xué)生從豐富實(shí)例中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感到再次學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性例如，用幾何畫板演示一個(gè)變化的圓一個(gè)半徑不斷增大的圓的運(yùn)動(dòng)過程在學(xué)生觀察圓的變化時(shí)，提出問題：這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中有哪些變量？哪些變量之間存在依賴關(guān)系？這些依賴關(guān)系是函數(shù)嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)了變量間的關(guān)系 ， (半徑 ，面積 ,周長 )，喚起他們對(duì)初中學(xué)過的函數(shù)概念的回憶然后，教師繼續(xù)提供給學(xué)生一些認(rèn)識(shí)函數(shù)的感性材料：2. 增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，重視概念本質(zhì)屬性的抽象過程介紹表示函數(shù)的符號(hào) 是讓學(xué)生再次體會(huì)函數(shù)對(duì)應(yīng)本質(zhì)的良好時(shí)機(jī)，可以調(diào)整板書 的順序：在黑板上先寫“ ”，然后寫“ ”（剛才的 被括在括號(hào)內(nèi)），最后在 前寫“ ”，一邊板書一邊口述函數(shù)定義，通過動(dòng)態(tài)板書和口頭強(qiáng)化會(huì)加深學(xué)生對(duì)符號(hào) 內(nèi)涵的理解再通過舉例 與 是同一個(gè)函數(shù)，讓學(xué)生感受到它們定義域，對(duì)應(yīng)法則都相同，得出值域也相同，用哪個(gè)字母表示解析式中自變量并不是本質(zhì)的為了加深學(xué)生對(duì)定義域在刻畫函數(shù)中意義的理性認(rèn)識(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生分析，在函數(shù) 中， 與 的地位不同， 的變化起絕對(duì)性作用， 處于從屬地位，函數(shù)的值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所決定的，除對(duì)應(yīng)法則外，定義域是描述函數(shù)的另一個(gè)基本要素可以通過具體例子（如， 與 是不同的函數(shù)）來豐富學(xué)生對(duì)定義域在刻畫函數(shù)中作用的感性認(rèn)識(shí)3. 突出圖形語言的作用，強(qiáng)化對(duì)概念本質(zhì)的理解從前面的調(diào)查中我們知道，學(xué)生對(duì)函數(shù)表示方式印象最深的是解析式，其實(shí)，在一種表示法中看似理解了概念并不意味著在另一種表示法中也理解了概念，教學(xué)中可突出圖形語言對(duì)理解函數(shù)概念的作用，從“形”的角度強(qiáng)化對(duì)概念本質(zhì)的理解在學(xué)生知道函數(shù)定義后，不能過早地盲目應(yīng)用概念，為了讓學(xué)生更加清晰地把握概念本質(zhì)特征“對(duì)應(yīng)”，可以讓學(xué)生舉出更多的不同于課堂呈現(xiàn)的函數(shù)的正例，用圖象表示在學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有了一定理解的基礎(chǔ)上，教師舉出反例讓學(xué)生進(jìn)行概念的辨析三、在函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中不斷回歸函數(shù)概念研究函數(shù)性質(zhì)離不開函數(shù)概念的支撐，要克服孤立地就性質(zhì)論性質(zhì)的傾向，在研究如何刻畫函數(shù)變化規(guī)律的過程中不斷回歸函數(shù)概念，真正完成函數(shù)概念的初步建立1. 由函數(shù)圖象上點(diǎn)的變化規(guī)律回歸函數(shù)概念研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性都離不開其非常直觀的形象函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法然而，從直觀的函數(shù)圖象特征提升到用抽象的函數(shù)表達(dá)式表示性質(zhì)有很大的思維跨度，需要給學(xué)生搭建一個(gè)從直觀到抽象，從宏觀到微觀，從描述到刻畫的平臺(tái)圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) 是由自變量 ，以及按照確定的對(duì)應(yīng)法則 ，得到唯一確定的與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 構(gòu)成的，研究圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律實(shí)質(zhì)上是在研究自變量變化特征和函數(shù)值變化特征，由此可揭示函數(shù)的變化規(guī)律2. 揭示定義域?qū)τ诳坍嫼瘮?shù)性質(zhì)的作用函數(shù)定義域是函數(shù)三要素中除了對(duì)應(yīng)法則外的基本要素，定義域在刻畫函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性中不容忽視例如，函數(shù)奇偶性刻畫的是在定義域上的整體性質(zhì)，任取 ，都有 或 成立，說明這個(gè)性質(zhì)是在定義域上的整體性質(zhì)而非局部性質(zhì)，對(duì)定義域 內(nèi)的任意一個(gè) ，都有 ，也就是 有意義， ， 同屬于定義域 ，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱再如，函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，單調(diào)性是在單調(diào)區(qū)間上具有的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就談不上單調(diào)性對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)來說，單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，可以是定義域的一部分，也可以沒有單調(diào)區(qū)間可以通過對(duì)常見錯(cuò)誤（如反比例函數(shù)在它的定義域上是減函數(shù)）的分析加深理解四、在具體函數(shù)教學(xué)中加深對(duì)函數(shù)概念的理解函數(shù)概念是從大量具體函數(shù)例子中抽象概括的，如果沒有豐富的具體函數(shù)的實(shí)例，函數(shù)概念也成了無源之水，無本之木每一個(gè)具體函數(shù)又是非常鮮活、生動(dòng)的函數(shù)實(shí)例，它具有函數(shù)的共性研究具體函數(shù)需要以函數(shù)概念為指導(dǎo)，同時(shí)，通過對(duì)具體函數(shù)的學(xué)習(xí)又可以加深對(duì)函數(shù)一般概念的理解和掌握1. 用概念同化的方式學(xué)習(xí)具體函數(shù)概念數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方式主要有兩種，即概念形成和概念同化冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)是“函數(shù)”的下位概念，可以用概念同化的方式學(xué)習(xí).教學(xué)中最重要的是引導(dǎo)學(xué)生善于遷移函數(shù)概念的本質(zhì)，用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)描述該具體函數(shù)，指出其對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域同時(shí)，兼顧具體函數(shù)的特殊性，其特有的對(duì)應(yīng)法則，相應(yīng)的定義域、值域，特有的函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)圖象等，以此來再次充實(shí)函數(shù)的例證，豐富對(duì)函數(shù)概念的理解2. 函數(shù)模型的實(shí)際背景是函數(shù)概念背景的具體化每個(gè)基本初等函數(shù)都有其豐富的實(shí)際背景，每個(gè)基本初等函數(shù)模型都簡潔地刻畫了一類客觀世界變化規(guī)律聯(lián)系學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)，呈現(xiàn)他們熟悉的實(shí)際背景是對(duì)函數(shù)概念背景的具體化再現(xiàn)例如，指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景有：細(xì)胞分裂，細(xì)菌繁殖，復(fù)利計(jì)算，物質(zhì)衰變，這些現(xiàn)象在一定條件下其數(shù)量與時(shí)間（或次數(shù)）的關(guān)系都是按指數(shù)規(guī)律增長的，可以用指數(shù)函數(shù)模型 刻畫如果研究細(xì)胞分裂次數(shù)與個(gè)數(shù)的關(guān)系，物質(zhì)衰變年數(shù)與該物質(zhì)含量的關(guān)系，就可以用對(duì)數(shù)函數(shù)模型 來刻畫冪函數(shù)的實(shí)際背景有：正方形的面積與邊長的關(guān)系，正方體的體積與棱長的關(guān)系，某段時(shí)間走了單位路程，速度與時(shí)間的關(guān)系等，可以分別用冪函數(shù)模型 等來刻畫三角函數(shù)的實(shí)際背景有：圓上一點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、彈簧振子、單擺、波浪、潮汐等這些各具特點(diǎn)的實(shí)際背景再次豐富了學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的原有背景3. 對(duì)應(yīng)法則是聯(lián)系新舊概念的橋梁奧蘇伯爾的認(rèn)知同化論把學(xué)習(xí)解釋為學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新學(xué)習(xí)知識(shí)有關(guān)的觀念去同化新知識(shí)，將知識(shí)納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行改組和再構(gòu)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程實(shí)現(xiàn)認(rèn)知同化的最佳方式是有意義學(xué)習(xí)，其實(shí)質(zhì)是新學(xué)習(xí)的知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)內(nèi)容存在某種合理的或邏輯基礎(chǔ)上的聯(lián)系4在具體函數(shù)的教學(xué)中，我們要明確學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的具體函數(shù)與他們已有概念間的聯(lián)系，特別關(guān)注聯(lián)系新舊概念的橋梁是每一個(gè)具體的對(duì)應(yīng)法則，為學(xué)習(xí)新的概念找到“同化”和“順應(yīng)”的基礎(chǔ)例如，對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是建立在函數(shù)概念、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)等概念基礎(chǔ)上的一個(gè)新概念函數(shù)概念具有統(tǒng)領(lǐng)作用，可以指導(dǎo)對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)；研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)可以遷移；對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算是此具體函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的具體化在諸多合理的或有邏輯的聯(lián)系中，對(duì)應(yīng)法則求對(duì)數(shù)是聯(lián)系新舊概念的橋梁，教學(xué)中可以利用細(xì)胞分裂的實(shí)例，建立細(xì)胞分裂次數(shù)與細(xì)胞個(gè)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其定義域、值域完全可以從分析指數(shù)函數(shù)中得到，研究方法也可以類比指數(shù)函數(shù)的研究方法4. 用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)理解具體函數(shù)在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，仍然要突出函數(shù)的三要素，核心是對(duì)應(yīng)法則五、在解決問題的過程中進(jìn)一步深化函數(shù)概念有關(guān)函數(shù)的常見問題一般有兩類：一類是數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)的問題，包括單純的函數(shù)問題和函數(shù)與其它知識(shí)交匯的問題；另一類是建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題靈活解決有關(guān)函數(shù)問題可以促進(jìn)對(duì)函數(shù)概念的進(jìn)一步深化1. 在解決數(shù)學(xué)問題的過程中把握函數(shù)概念本質(zhì)研究函數(shù)三要素、性質(zhì)、圖象是常見的問題，問題中所給函數(shù)的形式往往更為復(fù)雜或更為抽象，如給出的函數(shù)是分段函數(shù)、由一些基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、含有字母的函數(shù)、抽象函數(shù)等，雖然函數(shù)形式發(fā)生了很多變化，但它畢竟是非本質(zhì)變化，對(duì)應(yīng)的本質(zhì)不會(huì)改變從“形”的角度觀察，兩個(gè)圖形都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，左圖中，當(dāng) 時(shí)，與它對(duì)應(yīng)的值有兩個(gè) ，這不是函數(shù)圖象，此圖可以加深對(duì)函數(shù)概念的理解從“數(shù)”的角度抽象函數(shù)性質(zhì)，右圖所描述的函數(shù)是奇函數(shù)，容易求得其解析式 ，證明它是奇函數(shù)則需要理解奇函數(shù)的本質(zhì)先觀察其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后，分類討論 以及