2014年02月重慶大學(xué)線代考試題目.docx

重慶大學(xué)線性代數(shù)試卷 教務(wù)處07版 第 4 頁 共 4 頁 一、填空題（每小題3分，共18分）1設(shè)為3階可逆陣，已知的特征值為1,2,3，則 .2設(shè)，線性方程組有唯一解，則（）需要滿足的條件是 . 3設(shè)矩陣，矩陣為3階非零矩陣，且，則= .4已知維向量組線性無關(guān)，則向量空間的維數(shù)是 .5設(shè)滿足.則 .6. 設(shè)四元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，均為此方程組的解，且，則方程組的通解為 或者 。二、單項選擇題（每小題分，共18分）1設(shè)設(shè)，則（ B ）（A）；(B) ； (C) ； (D) 。2設(shè)三階矩陣，已知與線性相關(guān)，則 （ C ）.(A) -3； (B) -2； (C) -1； (D) 0。3，則此向量組的秩（ B ）.(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D)4。 4設(shè)四階方陣滿足條件，則的伴隨的一個特征值為（ D ）.（A） （B） （C） （D）5齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是( ).(A) 矩陣行向量組線性無關(guān)；(B) 矩陣必有一行向量是其余行向量的線性組合；(C) ) 矩陣列向量組線性無關(guān)；(D)矩陣必有一列向量是其余列向量的線性組合.6已知維向量組線性無關(guān)，則（ D ）（A）對任意一組數(shù)都有 （B）中少于個向量構(gòu)成的向量組均線性相關(guān) （C）任意維向量，向量組線性相關(guān) （D）中任意三個向量均線性無關(guān)。三、判斷題（請在括號中填寫“對”或者“錯”，每題2分，共10分）1、若矩陣滿足，可逆，則必有；（ ）2、階方陣能夠?qū)腔某浞直匾獥l件是：存在個不同的特征值；（ ）3、若維向量組由維向量組線性表出，則有;( )4、正交矩陣的所有特征值不為零；（ ）5、 任何秩為的矩陣均可以通過初等行變換化為標準型。（ ）四、計算題（一）（每小題8分，共16分）1求行列式的值：解： 2已知，且，求矩陣解：顯然可逆，由得 （3分）因， （3分）故 （2分）五、計算題（二）（每小題12分，共24分）設(shè)方程組為 已知線性方程組討論參數(shù)取何值時，方程組有解？無解？當有解時，求出其解。解：（3分）（1）當時，方程組無解。 （3分）（2）當時，方程組有無窮解。其解為 （3分）（3）當時，方程組有無窮角解。此時其通解為 （3分） 2用正交變換化二次型f為標準形，寫出所施行的正交矩陣，其中解： （2分）其中A= ， ， 求A的特征值：=得特征值：， （3分） 求特征向量：（1） 得向量（正交化、單位化后） （3分） （2），得 （2分）得所施行的正交矩陣，正交變換為X=PY標準形為。 （2分）六、證明題（共14分，每題7分）1設(shè)可逆，證明證明：由得（A）= （3分） 因為A可逆，所以且 （2分） 在等式（A）=兩邊左乘得結(jié)果。 （2分）2設(shè)為階矩陣，已知 試證：（1）線性方程組與同解； （2）證明：因為則 的解都是的解(2分)又 故他們的解空間相同，即它