【步步高】高考數(shù)學總復習 第十章 10.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理強化訓練 理 北師大版(1).DOC

10.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理1 分類加法計數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有nm1m2mn種方法(也稱加法原理)2 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有nm1m2mn種方法(也稱乘法原理)3 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事的方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成1 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法()2 5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有_種答案32解析每位同學有兩種不同的報名方法，而且只有這5位同學全部報名結(jié)束，才算事件完成所以共有2222232(種)3 有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是_答案12解析由分步乘法計數(shù)原理，一條長褲與一件上衣配成一套，分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長褲有3種選法，所以有4312(種)選法4 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有_種答案24解析分步完成首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有43224(種)5 用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答)答案14解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成c4(個)四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成c6(個)四位數(shù)“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成c4(個)四位數(shù)綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù)題型一分類加法計數(shù)原理的應用例1高三一班有學生50人，男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，男生35人，女生20人(1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班男生中，或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？思維啟迪用分類加法計數(shù)原理解(1)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，任選一名學生任校學生會主席共有506055165(種)選法(2)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法綜上知，共有30302080(種)選法思維升華分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求，就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理(1)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？(2)方程1表示焦點在y軸上的橢圓，其中m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，那么這樣的橢圓有多少個？解(1)分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位是9，則十位可以是1,2,3，8中的一個，故有8個；個位是8，則十位可以是1,2,3，7中的一個，故有7個；同理，個位是7的有6個；個位是6的有5個；個位是2的只有1個由分類加法計數(shù)原理，滿足條件的兩位數(shù)有1234567836(個)(2)以m的值為標準分類，分為五類第一類：m1時，使nm，n有6種選擇；第二類：m2時，使nm，n有5種選擇；第三類：m3時，使nm，n有4種選擇；第四類：m4時，使nm，n有3種選擇；第五類：m5時，使nm，n有2種選擇共有6543220(種)方法，即有20個符合題意的橢圓題型二分步乘法計數(shù)原理的應用例2有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定六名同學都能參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限思維啟迪可以根據(jù)報名過程，使用分步乘法計數(shù)原理解(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理，知共有選法36729(種)(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法654120(種)(3)由于每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的報名方法63216(種)思維升華利用分步乘法計數(shù)原理解決問題：要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成了才算完成這件事已知集合m3，2，1,0,1,2，若a，b，cm，則：(1)yax2bxc可以表示多少個不同的二次函數(shù)；(2)yax2bxc可以表示多少個圖像開口向上的二次函數(shù)解(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示566180(個)不同的二次函數(shù)(2)yax2bxc的圖像開口向上時，a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此yax2bxc可以表示26672(個)圖像開口向上的二次函數(shù)題型三兩個原理的綜合應用例3如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)思維啟迪染色問題是常見的計數(shù)應用問題，可從選顏色、選頂點進行分類、分步，從不同角度解決問題解方法一可分為兩大步進行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論由題設，四棱錐sabcd的頂點s、a、b所染的顏色互不相同，它們共有54360(種)染色方法當s、a、b染好時，不妨設其顏色分別為1、2、3，若c染2，則d可染3或4或5，有3種染法；若c染4，則d可染3或5，有2種染法；若c染5，則d可染3或4，有2種染法可見，當s、a、b已染好時，c、d還有7種染法，故不同的染色方法有607420(種)方法二以s、a、b、c、d順序分步染色第一步，s點染色，有5種方法；第二步，a點染色，與s在同一條棱上，有4種方法；第三步，b點染色，與s、a分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，c點染色，也有3種方法，但考慮到d點與s、a、c相鄰，需要針對a與c是否同色進行分類，當a與c同色時，d點有3種染色方法；當a與c不同色時，因為c與s、b也不同色，所以c點有2種染色方法，d點也有2種染色方法由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有543(1322)420(種)方法三按所用顏色種數(shù)分類第一類，5種顏色全用，共有a種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(a與c，或b與d)，共有2a種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則a與c、b與d必定同色，共有a種不同的方法由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為a2aa420(種)思維升華用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關鍵是明確需要分類還是分步(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)(3)對于復雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有a12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法由分步乘法計數(shù)原理可知，有5123180(種)不同的涂法；當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有54480(種)不同的涂法由分類加法計數(shù)原理可得，共有18080260(種)不同的涂法對兩個基本原理認識不清致誤典例：(10分)(1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有()a24種 b4種 c43種 d34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4趟，輪船有3次，問此人的走法可有_種易錯分析解決計數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步，然后應用加法原理和乘法原理來計算解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標準不清楚導致計算出現(xiàn)錯誤，對于(1)，選擇的標準不同，誤認為每個信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有注意到一封信只能投在一個信箱中；對于(2)，易混淆“類”與“步”，誤認為到達乙地先坐火車后坐輪船，使用乘法原理計算解析(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得此人的走法可有437(種)答案(1)c(2)7溫馨提醒(1)每封信只能投到一個信箱里，而每個信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應注意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇(2)在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標準是什么選擇合理的標準處理事情，可以避免計數(shù)的重復或遺漏方法與技巧1分類加法和分步乘法計數(shù)原理，都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事2混合問題一般是先分類再分步3分類時標準要明確，做到不重復不遺漏4要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律失誤與防范1切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行2分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步3確定題目中是否有特殊條件限制a組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1 從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()a3 b4 c6 d8答案d解析按從小到大順序有124,139,248,469共4個，同理按從大到小順序也有4個，故這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為8個2 現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()a24種 b30種c36種 d48種答案d解析共有432248(種)，故選d.3 集合px,1，qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且pq.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()a9 b14 c15 d21答案b解析當x2時，xy，點的個數(shù)為177(個)；當x2時，xy，點的個數(shù)為717(個)，則共有14個點，故選b.4 (2013山東)用0,1，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()a243 b252 c261 d279答案b解析0,1,2，9共能組成91010900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有998648(個)有重復數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個)5 (2013四川)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數(shù)是()a9 b10 c18 d20答案c解析由于lg alg blg(a0，b0)，從1,3,5,7,9中任取兩個作為有a20種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個數(shù)有a220218，選c.二、填空題6 一個乒乓球隊里有男隊員5名，女隊員4名，從中選取男、女隊員各一名組成混合雙打，共有_種不同的選法答案20解析先選男隊員，有5種選法，再選女隊員有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有5420(種)不同的選法7 某次活動中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案7 200解析其中最先選出的一個人有30種方法，此時不能再從這個人所在的行和列上選人，還剩一個5行4列的隊形，故選第二個人有20種方法，此時不能再從該人所在的行和列上選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是3020127 200.8 已知集合m1，2,3，n4,5,6，7，從m，n這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是_答案6解析分兩類：第一類，第一象限內(nèi)的點，有224(個)；第二類，第二象限內(nèi)的點，有122(個)共426(個)三、解答題9 某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有213(種)，此時共有6318(種)；第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時共有122(種)；所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有18220(種)選法10在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為多少？解方法一分0個相同、1個相同、2個相同討論(1)若0個相同，則信息為1001.共1個(2)若1個相同，則信息為0001,1101,1011,1000.共4個(3)若2個相同，又分為以下情況：若位置一與二相同，則信息為0101；若位置一與三相同，則信息為0011；若位置一與四相同，則信息為0000；若位置二與三相同，則信息為1111；若位置二與四相同，則信息為1100；若位置三與四相同，則信息為1010.共6個故與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為14611.方法二若0個相同，共有1個；若1個相同，共有c4(個)；若2個相同，共有c6(個)故共有14611(個)b組專項能力提升(時間：30分鐘)1 三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為()a24 b26 c36 d37答案c解析設另兩邊長分別為x、y，且不妨設1xy11，要構(gòu)成三角形，必須xy12.當y取11時，x1,2,3，11，可有11個三角形；當y取10時，x2,3，10，可有9個三角形；當y取6時，x只能取6，只有1個三角形所求三角形的個數(shù)為119753136.2 將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法種數(shù)為()34a.4 b6 c9 d12答案b解析如圖所示，根據(jù)題意，1,2,9三個數(shù)字的位置是確定的，余下的數(shù)中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)順序，具體有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合計6種.12a34bcd93 如圖，一環(huán)形花壇分成a，b，c，d四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()a96 b84 c60 d48答案b解析可依次種a、b、c、d四塊，當c與a種同一種花時，有431336(種)種法；當c與a所種花不同時，有432248(種)種法，由分類加法計數(shù)原理，不同的種法總數(shù)為364884.4 直線方程axby0，若從0,1,2,3,5,7這6個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)作為a、b的值，則可表示_條不同的直線答案