高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)i 第6講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課件 理 北師大版

第6講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 知識(shí)梳理 1 對(duì)數(shù)的概念一般地 如果a a 0 a 1 的b次冪等于N 即ab N 那么數(shù)b叫作以a為底N的對(duì)數(shù) 記作 其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù) N叫作真數(shù) 2 對(duì)數(shù)的性質(zhì) 換底公式與運(yùn)算性質(zhì) 1 對(duì)數(shù)的性質(zhì) alogaN logaab b a 0 且a 1 2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a 0且a 1 M 0 N 0 那么 N logaN b loga MN loga logaMn n R logamMn logaM m n R 且m 0 3 對(duì)數(shù)的重要公式 換底公式 a b均大于零且不等于1 logab 推廣logab logbc logcd logaM logaN logaM logaN nlogaMa logad 3 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1 概念 函數(shù)y logax a 0 且a 1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 其中x是自變量 函數(shù)的定義域是 0 2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 0 R 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函數(shù) 減函數(shù) 4 反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 與對(duì)數(shù)函數(shù) a 0 且a 1 互為反函數(shù) 它們的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱 y logax y x 診斷自測 解析 1 log2x2 2log2 x 故 1 錯(cuò) 2 形如y logax a 0 且a 1 為對(duì)數(shù)函數(shù) 故 2 錯(cuò) 4 當(dāng)x 1時(shí) logax logbx 但a與b的大小不確定 故 4 錯(cuò) 答案 1 2 3 4 2 已知函數(shù)y loga x c a c為常數(shù) 其中a 0 且a 1 的圖像如圖 則下列結(jié)論成立的是 A a 1 c 1B a 1 01D 00 即logac 0 所以0 c 1 答案D 答案D 4 2015 浙江卷 若a log43 則2a 2 a 答案 1 A 2 20 規(guī)律方法 1 在對(duì)數(shù)運(yùn)算中 先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形 化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式 使冪的底數(shù)最簡 然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并 2 先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和 差 倍數(shù)運(yùn)算 然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積 商 冪再運(yùn)算 3 ab N b logaN a 0 且a 1 是解決有關(guān)指數(shù) 對(duì)數(shù)問題的有效方法 在運(yùn)算中應(yīng)注意互化 答案 1 A 2 1 考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 例2 1 2017 鄭州一模 若函數(shù)y a x a 0 且a 1 的值域?yàn)?y y 1 則函數(shù)y loga x 的圖像大致是 解析 1 由于y a x 的值域?yàn)?y y 1 a 1 則y logax在 0 上是增函數(shù) 又函數(shù)y loga x 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 因此y loga x 的圖像應(yīng)大致為選項(xiàng)B 2 如圖 在同一坐標(biāo)系中分別作出y f x 與y x a的圖像 其中a表示直線在y軸上截距 由圖可知 當(dāng)a 1時(shí) 直線y x a與y log2x只有一個(gè)交點(diǎn) 答案 1 B 2 a 1 規(guī)律方法 1 在識(shí)別函數(shù)圖像時(shí) 要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn) 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 最高點(diǎn) 最低點(diǎn)等 排除不符合要求的選項(xiàng) 2 一些對(duì)數(shù)型方程 不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題 利用數(shù)形結(jié)合法求解 訓(xùn)練2 1 函數(shù)y 2log4 1 x 的圖像大致是 解析 1 函數(shù)y 2log4 1 x 的定義域?yàn)?1 排除A B 又函數(shù)y 2log4 1 x 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 排除D 答案 1 C 2 B 考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 多維探究 命題角度一比較對(duì)數(shù)值的大小 例3 1 2016 全國 卷 若a b 0 0cb 答案B 答案C 命題角度三對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì) 例3 3 已知函數(shù)f x loga 3 ax 1 當(dāng)x 0 2 時(shí) 函數(shù)f x 恒有意義 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a 使得函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 上為減函數(shù) 并且最大值為1 如果存在 試求出a的值 如果不存在 請(qǐng)說明理由 解 1 a 0且a 1 設(shè)t x 3 ax 則t x 3 ax為減函數(shù) x 0 2 時(shí) t x 的最小值為3 2a 當(dāng)x 0 2 時(shí) f x 恒有意義 規(guī)律方法 1 確定函數(shù)的定義域 研究或利用函數(shù)的性質(zhì) 都要在其定義域上進(jìn)行 2 如果需將函數(shù)解析式變形 一定要保證其等價(jià)性 否則結(jié)論錯(cuò)誤 3 在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時(shí) 要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解 在利用單調(diào)性時(shí) 一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響 及真數(shù)必須為正的限制條件 訓(xùn)練3 1 設(shè)a log32 b log52 c log23 則 A a c bB b c aC c b aD c a b 2 已知函數(shù)f x loga 8 ax a 0 且a 1 若f x 1在區(qū)間 1 2 上恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 思想方法 1 對(duì)數(shù)值取正 負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a 1且b 1或00 當(dāng)a 1且01時(shí) logab 0 2 利用單調(diào)性可解決比較大小 解不等式 求最值等問題 其基本方法是 同底法 即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式 然后根據(jù)單調(diào)性來解決 3 比較冪 對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法 1 數(shù)形結(jié)合 2 找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性 4 多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像比較底數(shù)大小的問題 可通過比較圖像與直線y 1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定 易錯(cuò)防范 1 在對(duì)數(shù)式中 真數(shù)必須是大于0的 所以對(duì)數(shù)函數(shù)y logax的定義域應(yīng)為 0 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系 當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí) 要分0