2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)

2 2 2橢圓的簡單幾何性質(zhì) 一 復(fù)習(xí) 1 橢圓的定義 到兩定點(diǎn)F1 F2的距離之和為常數(shù) 大于 F1F2 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 3 橢圓中a b c的關(guān)系是 當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí) 當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí) 一 橢圓的范圍 由 即 說明 橢圓位于矩形之中 即 橢圓的對(duì)稱性 二 橢圓的對(duì)稱性 從圖形上看 橢圓關(guān)于x軸 y軸 原點(diǎn)對(duì)稱 從方程上看 1 把x換成 x方程不變 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 2 把y換成 y方程不變 圖象關(guān)于x軸對(duì)稱 3 把x換成 x 同時(shí)把y換成 y方程不變 圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 三 橢圓的頂點(diǎn) 在 中 令x 0 得y 說明橢圓與y軸的交點(diǎn) 令y 0 得x 說明橢圓與x軸的交點(diǎn) 頂點(diǎn) 橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn) 叫做橢圓的頂點(diǎn) 長軸 短軸 線段A1A2 B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸 a b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四 橢圓的離心率 1 離心率的取值范圍 因?yàn)閍 c 0 所以0 e 1 1 e越接近1 c就越接近a 從而b就越小 橢圓就越扁 2 e越接近0 c就越接近0 從而b就越大 橢圓就越圓 3 特例 e 0 則a b 則c 0 兩個(gè)焦點(diǎn)重合 橢圓方程變?yōu)?2 離心率對(duì)橢圓形狀的影響 1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 所表示的橢圓的存在范圍是什么 2 上述方程表示的橢圓有幾個(gè)對(duì)稱軸 幾個(gè)對(duì)稱中心 3 橢圓有幾個(gè)頂點(diǎn) 頂點(diǎn)是誰與誰的交點(diǎn) 4 對(duì)稱軸與長軸 短軸是什么關(guān)系 5 2a和2b是什么量 a和b是什么量 6 關(guān)于離心率講了幾點(diǎn) 回顧 x a y b 關(guān)于x軸 y軸成軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 長半軸長為a 短半軸長為b a b x b y a 同前 b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 同前 同前 同前 0 e 1 e越接近于1越扁 例1 已知橢圓方程為9x2 25y2 225 它的長軸長是 短軸長是 焦距是 離心率等于 焦點(diǎn)坐標(biāo)是 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 外切矩形的面積等于 10 6 8 60 解題的關(guān)鍵 1 將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確a b 2 確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置 例2 求橢圓16x2 25y2 400的長軸和短軸的長 離心率 焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo) 并作出簡圖 解 把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程 這里 因此 橢圓的長軸長和短軸長分別是 離心率 焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是 例2 求橢圓16x2 25y2 400的長軸和短軸的長 離心率 焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo) 并作出簡圖 例3求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 經(jīng)過點(diǎn)P 3 0 Q 0 2 2 長軸長等于20 離心率等于 或 1 例4如圖 一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面 橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面 的一部分 過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分 燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上 片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上 由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1出發(fā)的光線 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反