高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理 10_3 二項式定理課件 理 新人教版

10 3二項式定理 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 二項式定理 知識梳理 k 1 2 二項式系數(shù)的性質(zhì) 1 1 二項展開式形式上的特點 1 項數(shù)為 2 各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n 即a與b的指數(shù)的和為n 3 字母a按排列 從第一項開始 次數(shù)由n逐項減1直到零 字母b按排列 從第一項起 次數(shù)由零逐項增1直到n n 1 降冪 升冪 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 an kbk是二項展開式的第k項 2 二項展開式中 系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項 3 a b n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a b無關(guān) 4 在 1 x 9的展開式中系數(shù)最大的項是第五 第六兩項 5 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 則a7 a6 a1的值為128 考點自測 1 教材改編 x y n的二項展開式中 第m項的系數(shù)是 答案 解析 x y n展開式中第m項的系數(shù)為 2 2016 四川 設(shè)i為虛數(shù)單位 則 x i 6的展開式中含x4的項為A 15x4B 15x4C 20ix4D 20ix4 答案 解析 答案 解析 A 130B 135C 121D 139 式中含x2項的系數(shù)為 4 在的展開式中 只有第5項的二項式系數(shù)最大 則展開式中常數(shù)項是 答案 解析 7 題型分類深度剖析 題型一二項展開式 例1 1 2016 全國乙卷 2x 5的展開式中 x3的系數(shù)是 用數(shù)字填寫答案 答案 解析 命題點1求二項展開式中的特定項或指定項的系數(shù) 10 2 2015 課標(biāo)全國 x2 x y 5的展開式中 x5y2的系數(shù)為A 10B 20C 30D 60 答案 解析 方法一利用二項展開式的通項公式求解 x2 x y 5 x2 x y 5 方法二利用組合知識求解 例2 1 2015 課標(biāo)全國 a x 1 x 4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32 則a 答案 解析 命題點2已知二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù) 令x 1 得16 a 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 得0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 得16 a 1 2 a1 a3 a5 即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1 a3 a5 8 a 1 所以8 a 1 32 解得a 3 3 2 答案 解析 求二項展開式中的特定項 一般是利用通項公式進(jìn)行 化簡通項公式后 令字母的指數(shù)符合要求 求常數(shù)項時 指數(shù)為零 求有理項時 指數(shù)為整數(shù)等 解出項數(shù)k 1 代回通項公式即可 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1 1 x y x y 8的展開式中x2y7的系數(shù)為 用數(shù)字填寫答案 20 答案 解析 2 x a 10的展開式中 x7的系數(shù)為15 則a 用數(shù)字填寫答案 答案 解析 題型二二項式系數(shù)的和或各項系數(shù)的和的問題 例2在 2x 3y 10的展開式中 求 1 二項式系數(shù)的和 2 各項系數(shù)的和 3 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和 4 奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和 5 x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和 解答 設(shè) 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各項系數(shù)的和為a0 a1 a10 奇數(shù)項系數(shù)和為a0 a2 a10 偶數(shù)項系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的奇次項系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的偶次項系數(shù)和為a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 賦值法 求出相關(guān)的系數(shù)和 2 令x y 1 各項系數(shù)和為 2 3 10 1 10 1 4 令x y 1 得到a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得2 a0 a2 a10 1 510 得2 a1 a3 a9 1 510 1 賦值法 普遍適用于恒等式 是一種重要的方法 對形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展開式的各項系數(shù)之和 常用賦值法 只需令x 1即可 對形如 ax by n a b R 的式子求其展開式各項系數(shù)之和 只需令x y 1即可 2 若f x a0 a1x a2x2 anxn 則f x 展開式中各項系數(shù)之和為f 1 奇數(shù)項系數(shù)之和為a0 a2 a4 偶數(shù)項系數(shù)之和為a1 a3 a5 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 1 2016 北京海淀區(qū)模擬 設(shè)m為正整數(shù) x y 2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a x y 2m 1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b 若13a 7b 則m等于A 5B 6C 7D 8 答案 解析 經(jīng)檢驗符合題意 故選B 解答 當(dāng)x 0時 左邊 1 右邊 a0 a0 1 題型三二項式定理的應(yīng)用 例4 1 設(shè)a Z且0 a 13 若512012 a能被13整除 則a等于A 0B 1C 11D 12 答案 解析 2 1 028的近似值是 精確到小數(shù)點后三位 1 172 答案 解析 1 整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應(yīng)用問題 整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項 而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項 2 二項式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項式定理 注意選擇合適的形式 思維升華 A 1B 1C 87D 87 前10項均能被88整除 余數(shù)是1 答案 解析 2 已知2n 2 3n 5n a能被25整除 求正整數(shù)a的最小值 解答 原式 4 6n 5n a 4 5 1 n 5n a 顯然正整數(shù)a的最小值為4 典例 1 2016 河北武邑中學(xué)期末 若展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1024 則展開式中含x項的系數(shù)為 2 2016 河北邯鄲一中調(diào)研 已知 x m 7 a0 a1x a2x2 a7x7的展開式中x4的系數(shù)是 35 則a1 a2 a7 二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù) 現(xiàn)場糾錯系列15 錯解展示 現(xiàn)場糾錯 糾錯心得 和二項展開式有關(guān)的問題 要分清所求的是展開式中項的系數(shù)還是二項式系數(shù) 是系數(shù)和還是二項式系數(shù)的和 解析答案 1 5 2 27 1 返回 解析 故展開式中含x項的系數(shù)為 15 答案 1 15 2 1 令x 1 得0 1 a1 a2 a7 即a1 a2 a3 a7 1 令x 0 a0 m 7 m 1 a0 m 7 1 在 x m 7 a0 a1x a2x2 a7x7中 返回 課時作業(yè) 1 在x2 1 x 6的展開式中 含x4項的系數(shù)為A 30B 20C 15D 10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2015 湖南 已知的展開式中含的項的系數(shù)為30 則a等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4x 2 x 6 x R 展開式中的常數(shù)項是A 20B 15C 15D 20 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12x 3kx 0恒成立 k 4 4 2015 湖北 已知 1 x n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等 則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為A 29B 210C 211D 212 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 若在 x 1 4 ax 1 的展開式中 x4的系數(shù)為15 則a的值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 1 4 ax 1 x4 4x3 6x2 4x 1 ax 1 x4的系數(shù)為4a 1 15 a 4 答案 解析 6 若 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1 1 x a2 1 x 2 an 1 x n 則a0 a1 a2 a3 1 nan等于 答案 解析 在展開式中 令x 2 得3 32 33 3n a0 a1 a2 a3 1 nan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 若 x a 2 1 5的展開式中常數(shù)項為 1 則a的值為A 1B 9C 1或 9D 1或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 依題意 a2 10a 10 1 解得a2 10a 9 0 即a 1或a 9 8 2016 北京 在 1 2x 6的展開式中 x2的系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 天津 的展開式中x7的系數(shù)為 用數(shù)字作答 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 10 若將函數(shù)f x x5表示為f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5為實數(shù) 則a3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 f x x5 1 x 1 5 11 1 x 8 1 y 4的展開式中x2y2的系數(shù)是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 168 解答 12 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令x 1 則a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 令x 1 則a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 2 2 3 2 4 方法一 1 2x 7展開式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 方法二 a0 a1 a2 a7 即 1 2x 7展開式中各項的系數(shù)和 令x 1 a0 a1 a2 a7 37 2187 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 求證 1 2 22 25n 1 n N 能被31整除 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25n 1 32n 1 31 1 n 1