數(shù)學人教版九年級上冊24.1.2垂直于弦的直徑-教學設計.doc

您的指導是我前行的明燈，您的鼓勵是我前行的動力，您的幫助是我前行的源泉24.1.2 垂直于弦的直徑 教學設計大連市第四中學王丹24.1.2垂直于弦的直徑大連市第四中學 王丹一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容圓的軸對稱性及證明；垂徑定理及其推論；垂徑定理及其推論的應用.2.內(nèi)容解析圓是常見的幾何圖形之一，也是平面幾何中基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學習數(shù)學以及其他科學重要的基礎.圓的許多性質(zhì)也被廣泛應用，垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關系的重要依據(jù)，同時為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)，在本章中占有重要的地位.圓的軸對稱性是圓的基本性質(zhì)之一，先通過觀察、實驗等探究得出，再進行證明，實現(xiàn)圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形的證明的有機結合.垂徑定理及其推論是由圓的軸對稱性得出的，它建立了直徑、弧、弦之間的關系，為圓的計算和證明提供了方法和依據(jù).盡管在課標（2011年版）中，垂徑定理的探索與證明是選學內(nèi)容，但垂徑定理的應用是教科書的重點，尤其是例2趙州橋問題，很好地利用垂徑定理解決了實際問題，突出了弦長、弦心距、半徑以及弓形高之間的關系，體現(xiàn)了建模思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：垂徑定理及其推論的應用，建模思想.二、目標和目標解析1.目標（1）理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理及其推論，并學會運用這些結論解決一些有關證明、計算和作圖的問題.（2）通過觀察、實驗、探究、證明等數(shù)學活動，進一步提高學生的思維能力和邏輯推理能力；通過利用所學知識解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，體會建模思想.（3）通過實際問題的解決和合作交流，增強應用數(shù)學和合作互助的意識，提高學習數(shù)學的興趣和數(shù)學交流、表達的能力.2.目標解析達成目標（1）的標志是：學生觀察、實驗、證明出圓的軸對稱性，能通過圓的軸對稱性得出垂徑定理及其推論，并能用文字、圖形、符號三種語言進行描述；能運用圓的軸對稱性、垂徑定理及其推論解決數(shù)學和生活中的問題.達成目標（2）的標志是：學生積極參與觀察、實驗、探究、證明等數(shù)學活動，經(jīng)歷幾何圖形性質(zhì)探究的一般過程，能說出結論并加以證明；在應用時，能把實際問題轉化為數(shù)學問題，并能利用所學知識解決.達成目標（3）的標志是：學生通過解決實際問題，增強應用數(shù)學的意識，認識到數(shù)學來源于生活應用于生活；經(jīng)歷獨立思考、合作交流等活動解決問題，養(yǎng)成良好的思考習慣，學會與人合作，能在小組中傾聽他人觀點和發(fā)表自己的建議.三、教學問題診斷分析上節(jié)課，學生已經(jīng)學習了圓的相關概念，從概念到性質(zhì)是研究幾何圖形的基本思路，學生容易從觀察、實驗、探究中得出圓的軸對稱性，但證明圓的軸對稱性比較困難，教學時應適當啟發(fā)；從圓的軸對稱性到垂徑定理再到推論也容易接受，但定理及推論的題設和結論比較復雜，容易混淆，這也是難點，教學時要適時強調(diào)；學習了垂徑定理及其推論后如何應用，也是學生容易出現(xiàn)的問題，教學時要適時指導，尤其是輔助線的做法，以及如何把實際問題轉化為數(shù)學問題等.本節(jié)課的教學難點是：圓的軸對稱性的證明以及垂徑定理的應用.四、教學過程設計1.提出問題、類比研究問題1：上節(jié)課我們學習了圓的有關概念，類比一般幾何圖形的研究思路，接下來我們應該研究圓的什么內(nèi)容呢？師生活動：教師提出問題；學生思考、回答.設計意圖：從概念到性質(zhì)是研究幾何圖形的基本思路，由此類比以前學習的幾何圖形，如三角形、四邊形等引導學生明確學習任務，體現(xiàn)了學習知識的整體性和連貫性.2.明確思路，探究證明問題2：再類比以前學過的幾何圖形，我們應該怎樣研究圓的性質(zhì)呢？師生活動：教師出示問題；學生思考、回答.設計意圖：再次類比以前學過的幾何圖形，如等腰三角形的研究思路，明確圓的性質(zhì)的研究思路，即實驗-猜想-證明，引導學生把新知轉化成舊知，貫徹幾何圖形的研究策略和方法.問題3：明確了圓的性質(zhì)的研究思路，下面請同學們利用手中的圓形紙片探究圓的性質(zhì). 通過實驗操作你有什么發(fā)現(xiàn)？你得到了什么結論？師生活動：教師提出問題和要求，并巡視學生的做法；學生獨立思考，動手操作.設計意圖：自主探究的前提是思路清晰，在已有研究思路的基礎上，學生可以有的放矢地探究；利用手中的圓形紙片比較直觀地發(fā)現(xiàn)圓的軸對稱性及對稱軸，不僅提高了學生的動手能力和參與熱情，而且為后續(xù)學習打好了基礎.問題4：我們?nèi)绾巫C明這個結論呢？首先，這是一個命題，要證明需要結合圖形把它的題設和結論寫成已知和求證.我們已知什么？求證什么？怎樣證明軸對稱圖形呢？我們不妨回憶一下軸對稱圖形的定義和性質(zhì). 結合軸對稱圖形的定義和性質(zhì)，同學們再考慮一下怎樣證明？動筆試一試.同學們可以以小組為單位交流一下.師生活動：教師啟發(fā)、提問，巡視小組合作情況，適時加以指導；學生思考、回答，小組合作交流證明方法.設計意圖：學生證明圖形的軸對稱性比較困難，教學時一方面寫出已知、求證，另一方面從回顧軸對稱圖形的定義和性質(zhì)中尋找解決問題的方法和策略；學生獨立思考后進行小組合作交流，相互說出各自的想法，資源共享，取長補短，既增強了學生的合作意識又鍛煉了學生的交流、表達能力.問題5：哪個小組講一講你們的證明方法？師生活動：教師提出要求，傾聽學生講解、板書，并適時追問；學生代表講解，其它學生補充或質(zhì)疑.設計意圖：學生講解可以提高學生的語言表達能力，同時教師對證明方法的追問進一步培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力.問題6：請同學們繼續(xù)觀察這個圖，圖中有哪些圓的要素？由圓的軸對稱性可以得到它們之間有什么關系？這些結論成立的前提是什么？這樣的直徑就是我們這節(jié)課學習的24.1.2垂直于弦的直徑，你能用語言概括一下這個結論嗎？這個結論是由圓的軸對稱性得出的，我們稱之為垂徑定理.幾何語言怎樣書寫？師生活動：教師提出問題；學生思考、回答.設計意圖：通過分析圖中圓的各個要素，由圓的軸對稱性得到垂徑定理，從而引出本節(jié)課的課題垂直于弦的直徑，符合學生的認知規(guī)律；概括垂徑定理時，重視文字、圖形、符號三種語言，有利于學生更好地理解垂徑定理，也為垂徑定理的應用作鋪墊.問題7：在這個定理中，有這樣幾個關鍵詞：垂直于弦、直徑、平分弦、平分兩條弧，我們是從兩個條件得出兩個結論，如果我們把、兩個條件互換，即平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，同學們說成立嗎？為什么？由此，我們得到了垂徑定理的推論，幾何語言怎么書寫？師生活動：教師提出問題；學生思考、回答.設計意圖：分析垂徑定理的題設和結論，一方面強化垂徑定理的用法，另一方面提出條件、結論互換的假設，引起學生的爭辯，進而得出垂徑定理的推論以及注意事項，即被平分的弦不是直徑，有利于學生更好地理解垂徑定理及其推論.3.及時鞏固，提煉模型問題8：練習1如圖，在O中，弦AB的長為 8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑 這道題，已知弦長和圓心到弦的距離，我們可以利用垂徑定理和勾股定理求出半徑，其中做垂是解決這類問題常見的輔助線之一.師生活動：教師出示練習；學生思考、解答.設計意圖：一方面及時鞏固垂徑定理的應用，另一方面強化弦長、弦心距、半徑之間的關系，為后續(xù)解決趙州橋問題建立了模型，埋下了伏筆.4.例題講解，拓展訓練問題9：例2：趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數(shù)點后一位）.這是一個實際問題，要想解決我們需要把實際問題轉化為數(shù)學問題，題中要求主橋拱的半徑，主橋拱在哪里？我們把這條圓弧設為AB，半徑在哪里？題目中的已知條件有哪些？你能找到它們在圖中的位置嗎？有了這些條件，我們怎樣解決趙州橋的問題？總結一下，解決這個問題，需要把實際問題轉化為數(shù)學問題，畫出圖形，建立一個數(shù)學模型，在圖中找出已知和未知，做垂的輔助線一方面利用垂徑定理確定弧的中點和弦的一半，另一方面構造了直角三角形利用勾股定理解得答案.師生活動：教師出示問題，板書規(guī)范過程；學生思考，解答.設計意圖：通過例題的學習，學生一方面把實際問題轉化為數(shù)學問題，體現(xiàn)了建模思想；另一方面強化了對垂徑定理的理解，也鞏固了弦長、弦心距、半徑以及弓形高之間的關系的模型，提高了學生分析問題、解決問題的能力；教師及時總結，既加強了所學知識的鞏固，有突出了解決問題的方法和策略；明確輔助線的做法和作用，更有效地提高了學生的邏輯思維能力.問題10（備用）：練習2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E.求證四邊形ADOE是正方形師生活動：教師提出問題；學生獨立思考、解決.設計意圖：垂徑定理既能解決圓的有關計算問題，還能解決圓的有關證明的問題，再次鞏固垂徑定理的應用.5.小結反思問題11：通過這節(jié)課的學習，你