數(shù)學(xué)蘇教版選修11 導(dǎo)數(shù)的概念1.ppt

導(dǎo)數(shù)的概念 一 復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 掌握函數(shù)y xn n n 的導(dǎo)數(shù)公式 會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二 重點(diǎn)解析 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線的斜率 導(dǎo)數(shù)的物理意義是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度 無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念 用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想 導(dǎo)數(shù)的定義 利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟 1 求 y 三 知識(shí)要點(diǎn) f x0 或y x x0 即 函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f x0 就是曲線y f x 在點(diǎn)p x0 f x0 處的切線的斜率k 即 k tan f x0 2 導(dǎo)數(shù)的意義 1 幾何意義 2 物理意義 函數(shù)s s t 在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s t0 就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s s t 時(shí) 物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度v 即 v s t0 1 導(dǎo)數(shù)的概念 3 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 c 0 c為常數(shù) xn nxn 1 n q 4 如果f x g x 有導(dǎo)數(shù) 那么 f x g x f x g x f x g x f x g x cf x cf x 典型例題1 解 1 y 3x3 6x y 3x3 6x 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 y 3x x2 2 2 y 2 x3 2 2 y 4 4x3 x6 3 y x 1 2x2 1 4 y 2x2 3 3x 2 9x2 6 y 4 4x3 x6 12x2 6x5 3 y 2x3 2x2 x 1 y 6x2 4x 1 4 y 6x3 4x2 9x 6 y 18x2 8x 9 典型例題2 已知f x 的導(dǎo)數(shù)f x 3x2 2 a 1 x a 2 且f 0 2a 若a 2 求不等式f x 0的解集 解 f x 3x2 2 a 1 x a 2 可設(shè)f x x3 a 1 x2 a 2 x b f 0 2a b 2a f x x3 a 1 x2 a 2 x 2a x2 x a x x a 2 x a x a x2 x 2 x 1 x 2 x a 令 x 1 x 2 x a 0 由于a 2 則 當(dāng)a 2時(shí) 不等式f x 0的解集為 1 當(dāng)a 2時(shí) 不等式f x 0的解集為 1 2 a 典型例題3 已知曲線c y x3 3x2 2x 直線l y kx 且直線l與曲線c相切于點(diǎn) x0 y0 x0 0 求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo) 點(diǎn) x0 y0 在曲線c上 y0 x03 3x02 2x0 又y 3x2 6x 2 在點(diǎn) x0 y0 處曲線c的切線斜率k y x x0 x02 3x0 2 3x02 6x0 2 整理得2x02 3x0 0 注有關(guān)曲線的切線問(wèn)題 可考慮利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線c在某一定點(diǎn)處的切線是唯一的 因此斜率也是唯一的 若存在的話 采用斜率相等這一重要關(guān)系 往往都可解決這類問(wèn)題 典型例題4 它在p處的切線斜率k1 2 典型例題5 求曲線y x3 3x2 5過(guò)點(diǎn)m 1 1 的切線方程 解 由y x3 3x2 5知y 3x2 6x 設(shè)切點(diǎn)為p x0 y0 則 y x x0 3x02 6x0 曲線在點(diǎn)p處的切線方程為 y y0 3x02 6x0 x x0 又切線過(guò)點(diǎn)m 1 1 1 y0 3x02 6x0 1 x0 即y0 3x03 3x02 6x0 1 而點(diǎn)p x0 y0 在曲線上 滿足y0 x03 3x02 5 x03 3x02 5 3x03 3x02 6x0 1 整理得x03 3x0 2 0 解得x0 1或x0 2 切點(diǎn)為p 1 1 或p 2 1 故所求的切線方程為9x y 10 0或y 1 課后練習(xí)1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 y x2 1 x 2 2 y x 1 x3 2x 6 解 1 y x3 2x2 x 2 y x3 2x2 x 2 2 y x4 x3 2x2 4x 6 3x2 4x 1 y x4 x3 2x2 4x 6 4x3 3x2 4x 4 課后練習(xí)2 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng) 它所經(jīng)過(guò)的路程s 單位 m 和時(shí)間t 單位 s 的關(guān)系是s 3t2 t 1 1 求 2 2 01 這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度 2 當(dāng)t 2時(shí)的瞬時(shí)速度 解 1 s 3 2 012 2 01 1 3 22 2 1 0 1303 13 03 m s 2 v s 6t 1 v t 2 13 即當(dāng)t 2時(shí) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為13m s 課后練習(xí)3 已知函數(shù)f x 2x3 ax與g x bx2 c的圖象都過(guò)點(diǎn)p 2 0 且在點(diǎn)p處有公共切線 求f x g x 的表達(dá)式 解 f x 2x3 ax的圖象過(guò)點(diǎn)p 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的圖象也過(guò)點(diǎn)p 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 g x 4x2 16 綜上所述 f x 2x3 8x g x 4x2 16 課后練習(xí)4 如果曲線y x3 x 10的某一切線與直線y 4x 3平行 求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程 解 切線與直線y 4x 3平行 切線斜率為4 又切線在x0處斜率為y x x0 3x02 1 4 x0 1 當(dāng)x0 1時(shí) y0 8 當(dāng)x0 1時(shí) y0 12 切點(diǎn)坐標(biāo)為 1 8 或 1 12 切線方程為y 4x 12或y 4x 8 x3 x 10 x x0 3x02 1 課后練習(xí)5 已知曲線s y x3 6x2 x 6 1 求s上斜率最小的切線方程 2 證明 s關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱 1 解 由已知y 3x2 12x 1 當(dāng)x 2時(shí) y 最小 最小值為 13 s上斜率最小的切線的斜率為 13 切點(diǎn)為 2 12 切線方程為y 12 13 x 2 即13x y 14 0 2 證 設(shè) x0 y0 s x y 是 x0 y0 關(guān)于 2 12 的對(duì)稱點(diǎn) 則x0 4 x y0 24 y x0 y0 s 24 y 4 x 3 6 4 x 2 4 x 6 整理得y x3 6x2 x 6 x y s 曲線s關(guān)于切點(diǎn) 2 12 對(duì)稱 課后練習(xí)6 已知函數(shù)f x 2x3 ax與g x bx2 c的圖象都過(guò)點(diǎn)p 2 0 且在點(diǎn)p處有公共切線 求f x g x 的表達(dá)式 解 f x 2x3 ax的圖象過(guò)點(diǎn)p 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的圖象也過(guò)點(diǎn)p 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 g x 4x2 16 綜上所述 f x 2x3 8x g x 4x2 16 課后練習(xí)7 設(shè)函數(shù)y ax3 bx2 cx d的圖象與y軸的交點(diǎn)為p點(diǎn) 且曲線在p點(diǎn)處的切線方程為12x y 4 0 若函數(shù)在x 2處取得極值0 試確定函數(shù)的解析式 解 由已知 p點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 d 曲線在p點(diǎn)處的切線方程為12x y 4 0 12 0 d 4 0 又切線斜率k 12 解得 d 4 故函數(shù)在x 0處的導(dǎo)數(shù)y x 0 12 而y 3ax2 2bx c y x 0 c c 12 函數(shù)在x 2處取得極值0 y x 2 0且當(dāng)x 2時(shí) y 0 解得a 2 b 9 y 2x3 9x2 12x 4 課后練習(xí)8 已知函數(shù)f x 2x3 ax與g x bx2 c的圖象都過(guò)點(diǎn)p 2 0 且在點(diǎn)p處有相同的切線 1 求實(shí)數(shù)a b c的值 2 設(shè)函數(shù)f x f x g x 求f x 的單調(diào)區(qū)間 并指出函數(shù)f x 在該區(qū)間上的單調(diào)性 解 1 f x 2x3 ax的圖象過(guò)點(diǎn)p 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的圖象也過(guò)點(diǎn)p 2 0