數(shù)學(xué)思想方法系列：從整體考慮.doc

數(shù)學(xué)思想方法系列：從整體考慮有的同學(xué)在閱讀課外讀物的時(shí)候，或在聽老師講課的時(shí)候，書上的例題或老師講解的例題他都能聽懂，但一遇到?jīng)]有見過面的問題就不知從何處入手?？磥?，要提高解決問題的能力，首先得提高分析問題的能力，這就需要學(xué)習(xí)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。先說說最基本最重要的：從整體考慮從整體上來考察研究的對(duì)象，不糾纏于問題的各項(xiàng)具體的細(xì)節(jié)，從而能夠拓寬思路，抓住主要矛盾，一舉解決問題。例1 右圖是一個(gè)44的表格，每個(gè)方格中填入了數(shù)字0或1。按下列規(guī)則進(jìn)行“操作”：每次可以同時(shí)改變某一行的數(shù)字：1變成0，0變成1。問：能否通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1？解：我們考察表格中填入的所有數(shù)的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一個(gè)奇數(shù)，每一次“操作”，要改變一行或一列四個(gè)方格的奇偶性，顯然整個(gè)16格中所有數(shù)的和的奇偶性不變。但當(dāng)每一格中所有數(shù)字都變成1時(shí)，整個(gè)16格中所有數(shù)的和是16，為一偶數(shù)。故不能通過若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1。例2 有三堆石子，每堆分別有1998，998，98?！，F(xiàn)在對(duì)這三堆石子進(jìn)行如下的“操作”：每次允許從每堆中各拿掉一個(gè)或相同個(gè)數(shù)的石子，或從任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式進(jìn)行“操作”，能否把這三堆石子都取光？如行，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案；如不行，請(qǐng)說明理由。解：要把三堆石子都取光是不可能的。按“操作”規(guī)則，每次拿掉的石子數(shù)的總和是3的倍數(shù)，即不改變石子總數(shù)被 3除時(shí)的余數(shù)。而1998+998+98=3094，被3除余1，三堆石子被取光時(shí)總和被3除余0。所以，三堆石子都被取光是辦不到的。例3 要在一個(gè)圓周上標(biāo)出一些數(shù)，第一次先把圓周二等分，在兩個(gè)分段圓弧分別二等分，在四個(gè)分點(diǎn)旁標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)旁所標(biāo)兩數(shù)的和（如圖3少？分析與解：當(dāng)?shù)诎舜螛?biāo)完數(shù)以后，圓周上已標(biāo)的數(shù)共有256個(gè)，考慮每一步增加的每一個(gè)數(shù)是很繁的。我們考慮每一步增加的數(shù)的總和，因?yàn)樵黾拥拿總€(gè)數(shù)都是原來相鄰兩個(gè)數(shù)之和，所以每次增加數(shù)的總和恰好是原來所有數(shù)總和的2倍，也就是說每次標(biāo)完數(shù)之后圓周上所有數(shù)的總和是前一步標(biāo)完數(shù)后圓周上所有數(shù)的和的3倍。于是，第八次標(biāo)完數(shù)后圓周上所有數(shù)的總和是：例4：自行車輪胎安裝在前輪上，行駛5000千米報(bào)廢；若安裝在后輪上，只能行駛3000米。為了行駛盡可能多的路，如果采用當(dāng)自行車行駛一定路程時(shí)前后輪胎調(diào)換的方法，那么安裝在自行車上的一對(duì)輪胎，最多可以行駛多少千米？ 分析與解：輪胎安裝在前輪上，行駛5000千米報(bào)廢,考慮每個(gè)輪胎的可使用量為單位1，那安裝在前輪上每千米路的消耗為1/5000，安裝在后輪上每千米路的消耗為1/3000，自行車每行駛1千米共消耗1/5000+1/3000，一對(duì)輪胎的總量為2，2（1/5000+1/3000）=3750 米， 答：最多可以行駛3750米。這題是第八屆華羅庚金杯賽的一道決賽題。換一次的話，應(yīng)在3750米的中途，即1875米處換輪胎。換二次較復(fù)雜，可在第一個(gè)四等分點(diǎn)的地方換一次，再在第三個(gè)四等分點(diǎn)的地方換一個(gè)拓展：三輪摩托車(前面一個(gè)輪,后面并排兩個(gè)輪)的三個(gè)輪胎從新安裝到報(bào)廢所行駛的千米數(shù)不同.安裝在前輪上的輪胎行駛24000千米后報(bào)廢；安裝在左后輪和右后輪上的輪胎分別只能行駛15000千米和10000千米.為了使某摩托車行駛盡可能多的路程,采用行駛一定路程后將2個(gè)輪胎對(duì)調(diào)的方法,如果最多可對(duì)調(diào)2次,那么該摩托車用三條新輪胎最多可以行駛多少千米?分析：此題是第八屆華杯賽決賽試題的一個(gè)改編，原題是自行車只有兩個(gè)輪胎，現(xiàn)在是三個(gè)輪胎，比原題更復(fù)雜些。還是可以從整體考慮。設(shè)每個(gè)輪胎可消耗物為“1”，則安裝在前輪行每千米消耗輪胎的，在左后輪每行1千米消耗輪胎的，在右后輪每行1千米消耗，因此這輛三輪摩托車每行駛1千米，共消耗一個(gè)輪胎的（），那么三條新輪胎里有多少個(gè)就可以行多少千米。314400千米。因?yàn)檫@題只需填答案，因此不必糾纏于到底第一次在何時(shí)換，第二次在何時(shí)換。從整體考慮是一種用途極廣的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)同學(xué)們做題要經(jīng)常想得起來。例5、甲、乙、丙三個(gè)容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的倒入乙容器，再把乙容器中的酒精的倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的倒入甲容器,那么三個(gè)容器中各有酒精千克.問甲容器中原來有酒精多少千克?分析：此題也可以列方程做，設(shè)甲，乙，丙的原有酒精量分別為甲，乙，丙。則根據(jù)題意可列方程： （甲+乙）（1-）= （1） （甲+乙）+丙 （1-）= （2） （甲+乙）+丙+甲= （3）別看上面這三個(gè)式子這么復(fù)雜，其實(shí)只要掌握一點(diǎn)小技巧，就很快能做出來的。這個(gè)小技巧就是從整體考慮，把（甲+乙）看作一個(gè)整體，通過（1）式可以求到（甲+乙）=，把（2）式中的（甲+乙）用來代替，則很容易求得丙=，把（2）式中的（甲+乙）+丙也看成一個(gè)整體，可根據(jù)第二個(gè)式子求得（甲+乙）+丙= ，把它代入（3）式可求得甲=，則乙=1-=例6 ：有8只盒子，每只盒內(nèi)放有同一種筆。8只盒子所裝筆的支數(shù)分別為17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在這些筆中，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆支數(shù)的2倍，鋼筆支數(shù)是鉛筆支數(shù)的，只有1只盒里放的是水彩筆。這盒水彩筆共有多少支？ 解：（1）余數(shù)分析，從整體考慮。設(shè)定鋼筆的支數(shù)是1份，則圓珠筆的支數(shù)是2份，鉛筆支數(shù)是3份，這三種筆總數(shù)是6份。那么筆的總數(shù)扣去水彩筆的數(shù)量要被6整除。把總數(shù)加起來則1723333638424951289。除以6的余數(shù)是1。而所有盒中的筆數(shù)，只有49除以6的余數(shù)是1?？梢娺@盒水彩筆有49支。例7 求下圖中陰影部分的面積（單位：cm）。求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積，要設(shè)法找出它與規(guī)則圖形面積的關(guān)系，化不規(guī)則為規(guī)則分析與解：本題可以采用一般方法，也就是分別計(jì)算兩塊陰影部分面積，再加起來，但不如整體考慮好。我們可以運(yùn)用翻折的方法，將左上角一塊陰影部分（弓形）翻折到半圓的右上角（以下圖中虛線為折痕），把兩塊陰影部分合在一起，組成一個(gè)梯形（如下圖所示），這樣