數(shù)模論文——關于美國大學招生的數(shù)學模型.doc

比賽題目申請美國大學的流程通常是，學生首先準備必要的考試和一些證明，然后將考試成績和這些證明寄給自己想去的大學，一般學生可根據(jù)自己的情況選擇申請多所學校。每所大學計劃招生人數(shù)有限，所以只會錄取申請的一部分學生，以及考慮是否給予已錄取學生獎學金，但是收到多個學校錄取通知書的學生只能選擇一個學校。要求為美國大學建立一個數(shù)學模型，通過此模型來保證盡量滿足招生計劃并使學生質(zhì)量最大。 關于美國大學招生的數(shù)學模型摘要本文根據(jù)學生申請美國大學的流程和大學最終錄取的過程，聯(lián)系實際情況與數(shù)據(jù)，找出影響學校預招生數(shù)量的關鍵因素獎學金總額，通過對影響招生質(zhì)量與數(shù)量的分析，選取優(yōu)化模型。通過模型建立求解后，對結(jié)果與開始時作出的初步分析進行檢驗，進一步保證結(jié)果的準確性。對影響結(jié)果準確性的學生選擇學校的概率，提出了模糊算法的概念，對模型提出改進。最后通過求出發(fā)放通知書的數(shù)量與預錄取學生數(shù)量的比值，使模型更具推廣型與普遍意義。關鍵詞：優(yōu)化模型 模糊算法 比例系數(shù)一 問題重述 申請美國大學的流程通常是，學生首先準備必要的考試和一些證明，然后將考試成績和這些證明寄給自己想去的大學，一般學生可根據(jù)自己的情況選擇申請多所學校。每所大學計劃招生人數(shù)有限，所以只會錄取申請的一部分學生，以及考慮是否給予已錄取學生獎學金，但是收到多個學校錄取通知書的學生只能選擇一個學校。要求為美國大學建立一個數(shù)學模型，通過此模型來保證盡量滿足招生計劃并使學生質(zhì)量最大。二 對象分析及模型假設背景 : 為了使模型更接近于現(xiàn)實 , 在進行建模之前 , 對美國大學實際招生情況進行了大量的調(diào)查，信息搜集 , 分析工作 , 從而得出了模型的主要模擬對象美國大學招收留學生情況的主要特點：1 美國大學錄取留學生的數(shù)量主要以其確定的獎學金總額確定，其他條件如申請人數(shù)、專業(yè)變動、經(jīng)濟環(huán)境等均有一定量影響；2 接到錄取通知書的學生有一定比例因為拒簽，不能去學校報到。根據(jù)題設條件和調(diào)查所得對象的主要特點，做出如下假設：1 學校錄取學生時根據(jù)學生遞交的材料，計算學生的綜合成績，根據(jù)綜合成績排名，依次發(fā)放通知書。2 學校每年的獎學金總金額和發(fā)放比例固定，按照比例和學生綜合成績排名，依次發(fā)放獎學金。3 學校錄取留學生數(shù)量由獎學金總金額確定，不會因為其他因改變。三 符號說明 A表示學校錄取留學生的數(shù)量； B表示學校最終決定發(fā)放的錄取通知書數(shù)量； C表示學校獎學金總額； D表示向?qū)W校提交申請的總?cè)藬?shù)； E表示學生的質(zhì)量； m表示學校向被錄取的留學生發(fā)放的獎學金金額； a表示學生對學校的錄取通知書的接受率； b表示學生被拒簽的概率； c表示學校發(fā)放獎學金的比例； P表示發(fā)放錄取通知書的數(shù)量與欲錄取人數(shù)的比值；四 建立模型 本題目的問題實際上是利用建立優(yōu)化模型的數(shù)學方法解決實際問題：考慮影響美國大學最終錄取結(jié)果的因素（是否滿足招生計劃，招收學生的質(zhì)量），當學校發(fā)出多封錄取通知書后，可最大限度的滿足招生計劃，但不能保證學生質(zhì)量。若學校僅按照招生計劃嚴格發(fā)放錄取通知書，則可最大限度保證學生質(zhì)量，但由于存在無效錄取通知書的各種因素：1學生收到多封通知書，選擇其他學校 2學生選擇本學校，但被申請簽證被拒簽。所以，在學生質(zhì)量和招生計劃的約束下，通過建立優(yōu)化模型的數(shù)學方法，尋求美國大學最終錄取結(jié)果的最優(yōu)化方案。 建立模型如下: Max f(X)； X; S.t. 由題意已知：當獎學金經(jīng)費確定為C的學校向每個被錄取學生發(fā)放獎學金的數(shù)額為m發(fā)放比例為c時，則理論上該學校最大也是最理想的錄取人數(shù)為；設學生接收到學校發(fā)來的錄取通知書后，由學校的因素決定其愿意去該所學校的概率為a而且；接到錄取通知書以后在申請簽證的過程中，拒簽率為d；B表示學校實際學生發(fā)出的錄取通知書數(shù)量；D表示已向該所學校遞交申請書的學生的總?cè)藬?shù)；所有的學校所有的學校都必須先交申請書，再決定是否發(fā)放錄取通知書，則由以上可以確定B的范圍：。由已知，知道B為學校最終發(fā)放錄取通知書的數(shù)量，而在整個學生錄取過程中，導致某些收到錄取通知書后又沒向?qū)W校報到的因素有以下兩個：1、 學生收到多封錄取通知書故沒去報到（學校的水平影響結(jié)果）。2、 由于簽證因素導致收到了錄取通知書卻沒能報到?？紤]到這兩個因素影響所以實際的錄取人數(shù)應該表示為Ba(1b)。而最佳的錄取通知書發(fā)放方案就是要求：Ba(1b)，且在數(shù)值上盡量的靠近。考慮B和a間的關系：當a增大時，發(fā)出錄取通知書會錄取的比例提高，那么B取值應該趨向于；當a減少時，隨著錄取通知書會錄取的比例的減少，B的取值應該趨向于D，以保證滿足學校的生源。根據(jù)此可得 B=（D）a+D （1） (2)因此由（2）式可得到 代入（1）式得到： B=(-D)+D=BD= cmB(1-b)(B-D)=C(-D)=cmB(B-D-bB+bD)=C(-D)cmB(B-D-bB+bD)=C(-D)=-CD即：-=0解得： （*）五 模型實現(xiàn)通過搜集數(shù)據(jù)及Matlab軟件對數(shù)據(jù)進行分析 得出以下數(shù)據(jù)（均為綜合美國大部分高校數(shù)據(jù)所得平均值）：A表示學校錄取留學生的數(shù)量=1302； B表示學校最終決定發(fā)放的錄取通知書數(shù)量； C表示學校獎學金總額=2,100,263； D表示向?qū)W校提交申請的總?cè)藬?shù)=2039； E表示學生的質(zhì)量； m表示學校向被錄取的留學生發(fā)放的獎學金金額； a表示學生對學校的錄取通知書的接受率=0.73； b表示學生被拒簽的概率=0.021； c表示學校發(fā)放獎學金的比例=0.8127；由matlab計算（*）式得出B=1647.24591 近似得出B=1647六 結(jié)果分析與檢驗判斷B的合理性：將B所得結(jié)果代入 得出結(jié)果滿足不等式，故B合理?？紤]到各大學招生情況不同，及學校實力不同，取學校發(fā)放的錄取通知書和預計錄取人數(shù)的比例P=1.26。根據(jù)學校綜合實力的不同，各學?？稍诖藬?shù)據(jù)進行適度浮動。七 模型評價及改進 本模型是在學校獎學金經(jīng)費C確定且直接決定其錄留學生數(shù)量，又以學校的知名度決定其愿意去該所學校的概率為a 和接到錄取通知書以后申請簽證的過程中的拒絕率為決策變量的情況下做出的分析，故而建立的最優(yōu)化模型。而學生對學校的選擇概率是根據(jù)個人喜好而定，是模糊的概念，所以模型存在一定缺陷，若能加入模糊算法，則模型準確性將有所提高。不過就問題中的條件以及要求而言，本模型實用性以及適用性廣泛，提出比例系數(shù)的概念，使其使用于大部分學校。模型大部分數(shù)據(jù)通過實際調(diào)查得來的，計算過程中完全依賴現(xiàn)實中的數(shù)據(jù)，而且對于類似的優(yōu)化問題也可以同樣以數(shù)據(jù)代入而及其方便的獲得相應的決策，具有普遍性。八 參考文獻1現(xiàn)代數(shù)學建模方法 王庚 王敏生 科學出版社2數(shù)學建模 浙江大學出版社 楊啟帆 方道元3數(shù)學模型（第三版） 高等教育出版社 姜啟源4最優(yōu)化方法及其應用 高等教育出版社 郭科 陳聆 魏友華5獎學金申請 EIC啟德教育附錄附錄一：分析數(shù)據(jù)的運算function r=myobj1996b(x)r= sum(x);約束條件m文件：function C,Ceq= mycon1996b(x)global m ef %全局變量n= length(x);tmpX = x(1);if n=2, for i=2:n, tmpX=tmpX*(x(i)+m);%x1*(x2+m)*(x3+m)*.*(xn+m) endendC=mn -tmpX*ef ;%只有一個約束，決策變量約束用fmincon的參數(shù)lb,ub來處理Ceq=;主程序：solv1996b_2init1996bNmin = fix(log(ef)/log(m/Vmax)+1Nmax = fix( log(ef)/ log(m/VminM) )+1opti_s = 1e6;for n=Nmin:Nmax,%窮舉所有模型 lb=; ub=; lb(1)= VminM; ub(1)= Vmax; if n=2, for j=2:n, lb(j) = VminM- m; ub(j) = Vmax-m; end end lb ub x,fval,exitflag=fmincon(myobj1996b,VminM*ones(1,n),. lb,ub,mycon1996b) if fval opti_s, opti_n = n; opti_s = fval; opti_x = x; endendopti_nopti_sopti_xm附錄二美國各大名校招生人數(shù)（2010年秋季入學）：密歇根大學：約6000人加州大學洛杉磯分校：約4400人加州大學伯克利分校：約4200人北卡大學教堂山分校：約3900人弗吉尼亞大學：約3300人康奈爾大學：3150人；南加州大學：約2800人賓夕法利亞大學：約2400人西北大學：2025人圣母大學：約2000人哈佛大學：約1700人杜克大學：1700人斯坦福大學：1675人范德比爾特大學：約1570人華盛頓圣路易斯大學：約1500人喬治城大學：約1560人塔夫斯大學：約1300人布朗大