初二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納.doc

江蘇 蘇科版2012.1.1數(shù)學(xué)八年級(jí)知識(shí)點(diǎn)歸納上冊(cè)第一章 軸對(duì)稱圖形一、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形沿某直線對(duì)折能夠完全重合，是兩個(gè)圖形之間的一種關(guān)系，而軸對(duì)稱圖形是兩部分能完全重合的一個(gè)圖形。聯(lián)系：兩者都有完全重合的特征，都有對(duì)稱軸，都有對(duì)稱點(diǎn)。二、軸對(duì)稱的性質(zhì)1、定義垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。2、 把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。3、 把一個(gè)圖形沿著一條某直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。4、 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線。三、線段、角的軸對(duì)稱性1、 線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸。線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；2、 到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合。3、 角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸。角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。四、等腰三角形的軸對(duì)稱性1、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸。2、等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。3、如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱“等角對(duì)等邊”）。4、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。5、直角三角形中30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。6、三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有3條對(duì)稱軸。等邊三角形的每個(gè)角都等于60。7、三條邊都相等的三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角是60的三角形是等邊三角形。有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。五、等腰梯形的軸對(duì)稱性1、定義梯形中，平行的一組對(duì)邊稱為底，不平行的一組對(duì)邊稱為腰。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，過兩底中點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸。等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等。3、等腰梯形的對(duì)角線相等；對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。4、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。 第一章小結(jié)軸對(duì)稱性質(zhì)軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形角線段等腰梯形等邊三角形等腰三角形角平分線線段的垂直平分線在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等等腰梯形的對(duì)角線相等直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等邊對(duì)等角等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合等角對(duì)等邊角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段上的垂直平分線上線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等第二章 勾股定理與平方根一、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。我國古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。結(jié)論為：“勾三股四弦五”。2+2=2b1、 如果三角形的三邊長a、b、c滿足2+2=2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。2、 滿足2+2=2的3個(gè)正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù)。（例如，3、4、5是一組勾股數(shù)）。利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形。二、平方根1、定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也稱為二次方根。也就是說，如果2=a，那么就叫做a的平方根。2、一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。3、 求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。4、 正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中正的平方根，也叫做a的算術(shù)平方根。例如：4的平方根是2，其中2叫做4的算術(shù)平方根，記作4=2；2的平方根是2，其中2叫做2的算術(shù)平方根。0只有一個(gè)平方根，0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，即0 =0三、立方根1、定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，也稱為三次方根。也就是說，如果3=a，那么就叫做a的立方根，數(shù)a的立方根記作“3a”，讀作“三次根號(hào)a”。2、求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。3、正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0。四、實(shí)數(shù)1、無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。2、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。3、每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。五、近似數(shù)與有效數(shù)字1、例如，本冊(cè)數(shù)學(xué)課本約有100千字，這里100是一個(gè)近似數(shù)。2、對(duì)一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都稱為這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。第三章 中心對(duì)稱圖形（一）一、圖形的旋轉(zhuǎn)1、定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小。2、結(jié)論旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等。二、 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形1、定義把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱。這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。2、一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)。3、成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。4、把一個(gè)平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。三、平行四邊形1、定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。2、性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊相等。平行四邊形的對(duì)角相等。平行四邊形的對(duì)角線互相平分。3、判斷依據(jù)一組對(duì)邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。四、矩形、菱形、正方形（一）矩形1、定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形通常也叫做長方形。矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)。2、性質(zhì)矩形的對(duì)角線相等且互相平分，四個(gè)角都是直角。3、判斷依據(jù)有3個(gè)角是直角的四邊形是矩形。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（二）菱形1、定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)。2、 性質(zhì)菱形的四條邊都相等。 菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。3、 判斷依據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（三）正方形1、定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。2、關(guān)系：正方形矩形有一組 鄰邊相等菱形有一個(gè) 角是直角平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系：平行四邊形正方形 菱形矩形 正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)。五、三角形、梯形的中位線1、連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。2、連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。圖形的性質(zhì)平行四邊形矩形菱形正方形對(duì)邊平行且相等四邊都相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相垂直對(duì)角線相等第四章 數(shù)量、位置的變化一、數(shù)量的變化（略）二、位置的變化（略）三、平面直角坐標(biāo)系1、平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。2、水平方向的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直方向的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，它們統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。公共原點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)。3、兩條坐標(biāo)軸將平面分成四個(gè)象限，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。平面內(nèi)的點(diǎn)就與一對(duì)有序?qū)崝?shù)(點(diǎn)的坐標(biāo))建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 逆時(shí)針順序分別記為第一、二、三、四象限。4、點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（a，-b），關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（-a，b），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)位（-a，-b）；x軸上的點(diǎn)為（x，0），y軸上的點(diǎn)為（0，y）。例圖： 在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）所描述的點(diǎn)P的位置： y b P（a，b） 過x軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)畫x軸的垂線，過y軸上表示實(shí)數(shù)b的點(diǎn)畫 這兩條垂線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P。x O a在圖中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），其中a稱為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，b稱為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面。5、在平面直角坐標(biāo)系中，一對(duì)有序?qū)崝?shù)可以確定一個(gè)點(diǎn)的位置；反之，任意一點(diǎn)的位置都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來表示。這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做點(diǎn)的坐標(biāo)。6、點(diǎn)的坐標(biāo)通常與表示該點(diǎn)的大寫字母寫在一起，如P（a，b），Q（m，n）。第五章 一次函數(shù)一、函數(shù)1、定義一般地，如果在一個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就稱為是x的函數(shù)。其中，x是自變量，y是因變量。（補(bǔ)充：在一變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量；始終不變的量叫常量。常量與變量均不帶單位。）例如： 水庫蓄水量是水位的函數(shù)（蓄水量隨著水位的升高或下降而增大或減小）；圓面積是半徑的函數(shù)（S=r2）等。2、表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用3種方法：表格、圖形和數(shù)學(xué)式子。表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的式子通常稱為函數(shù)關(guān)系式。例如： 汽車油箱內(nèi)存油40L，每行駛100km耗油10L,求行駛過程中油箱內(nèi)剩余油量Q升與行駛路程S公里的函數(shù)關(guān)系式。解： Q= 40 -10 S100 ,即Q= 40 - S10在一個(gè)變化過程中，自變量的取值通常有一定的范圍。本例題中的自變量取值范圍是0S400（存油40L，每10L油可以行駛100km,即行駛的最大路程S= 4010100= 400公里）3、在直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么所有這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。二、一次函數(shù)定義一般地，如果兩個(gè)變量x和y之間的函數(shù)關(guān)系，可以表示為y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k0）的形式，那么稱y是x的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)。例1： 一盤蚊香長105cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm。（1）寫出蚊香點(diǎn)燃后的長度y（cm）與蚊香燃燒時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該盤蚊香可以使用多長時(shí)間？解： （1）y=105-10t（2）蚊香燃盡時(shí)，即y=0，由(1)得，105-10t=0，即t= 10510 =10.5答：該盤蚊香可使用10.5h。例2： 在彈性限度內(nèi)，彈簧伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比。（1） 已知一根彈簧自身的長度為cm，且所掛物體的質(zhì)量每增加1g，彈簧長度增加kcm，試寫出彈簧長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（g）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知這根彈簧掛10g物體時(shí)的長度為11cm，掛30g物體時(shí)的長度為15cm，試確定彈簧長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（g）之間的函數(shù)關(guān)系式。解：（1）根據(jù)題意，得函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+b（2）由x=10時(shí)，y=11，得11=10k+b由x=30時(shí)，y=15，得15=30k+b解方程組10k+b=1130k=b=15 得， k=0.2b=9所求函數(shù)關(guān)系式為: y=0.2x+9三、 一次函數(shù)的圖象1、特點(diǎn)一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k0）的圖象是一條直線。當(dāng)k0，那么y隨x的增大而增大；當(dāng)k0，那么y隨x的增大而減小。2、一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k0）的圖象與k、b的關(guān)系： k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過一、二、三象限； k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過一、三、四象限； k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過一、二、四象限； k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過二、三、四象限。3、一般地，正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k0）的圖象是由正比例函數(shù)y=kx（k0）的圖象沿y軸向上（b0）或向下（b0）平移|b|個(gè)單位長度得到的一條直線。4、畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要確定兩個(gè)點(diǎn)的位置，過這兩點(diǎn)畫直線就可以了。例題： 在平面直角坐標(biāo)系中，畫一次函數(shù)y=-3x+3的圖象。解： 把x=0代入y=-3x+3，得 3 y y=3 把y=0代入y=-3x+3，得 x=1 過點(diǎn)（0，3）、（1，0）畫一條直線， -2 -1 o 1 2 x這條直線就是函數(shù)y=-3x+3的圖象。 -1 y=-3x+3 -25、由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象，一般按下列步驟進(jìn)行：列表、描點(diǎn)、連線。描的點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確。有時(shí)不能把所有的點(diǎn)都描出，就用光滑的曲線連結(jié)所畫的點(diǎn)，從而得到函數(shù)的近似的圖象。6、兩個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系：當(dāng)k相等，b不相等時(shí)，這兩條直線平行；當(dāng)k不相等的時(shí)，這兩條直線相交。7、在求一個(gè)算式時(shí)，若已知所求結(jié)果具有某種形式，則可引入一些待確定的系數(shù)來表示結(jié)果，建立起給定算式和結(jié)果之間的恒等式，再根據(jù)條件對(duì)恒等式變形，確定待定的系數(shù)。這種方法稱為待定系數(shù)法。8、一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b （k0），根據(jù)題中所給的條件，通過待定系數(shù)法，確定k和b值，即可求出一次函數(shù)的關(guān)系式。9、在解決一些實(shí)際問題時(shí)，確定一次函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵是找到兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，運(yùn)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。運(yùn)用一次函數(shù)解決問題時(shí)，注意函數(shù)的自變量的取值范圍要符合實(shí)際情況。例題： 洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（L）與時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如折線圖所示：y/L 40Ox/min4 15根據(jù)圖象解答下列問題：1 洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？2 已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19L。求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式；如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量。分析： 此類問題是常見的生活問題，解決此題的關(guān)鍵是通過閱讀和信息的處理進(jìn)行分析，看清、讀懂題意及題目中的數(shù)量關(guān)系。解： 由圖象可知：洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是4min，清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是40L。由于圖象經(jīng)過（15，40），排水速度為19L,設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-19x+b。40=-191