北師大版選修21 用向量討論垂直與平行(一) 學案.docx

學習目標1.理解直線的方向向量與平面的法向量，并能運用它們證明平行問題.2.會用向量語言表述線線、線面、面面的平行關系.知識點一直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的非零向量，叫做直線的一個方向向量平面的法向量直線l，取直線l的方向向量n，則向量n叫做平面的法向量知識點二空間平行關系的向量表示(1)線線平行設直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則lmababa1a2，b1b2，c1c2(r).(2)線面平行設直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為u(a2，b2，c2)，則lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)面面平行設平面，的法向量分別為u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，則uvuva1a2，b1b2，c1c2(r).題型一利用方向向量和法向量判定線面、面面的位置關系例1根據(jù)下列條件，判斷相應的線、面位置關系：(1)直線l1與l2的方向向量分別是a(2,3，1)，b(6，9,3)；(2)直線l1與l2的方向向量分別是a(2,1,4)，b(6,3,3)；(3)平面與的法向量分別是u(1，1,2)，v；(4)平面與的法向量分別是u(2，3,4)，v(4，2,1)；(5)直線l的方向向量，平面的法向量分別是a(0，8，12)，u(0,2，3).解(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，即l1l2.(2)a(2,1,4)，b(6,3,3)，ab0且akb(kr)，a，b既不共線也不垂直，即l1與l2相交或異面.(3)u(1，1,2)，v，uv3210，uv，即.(4)u(2，3,4)，v(4，2,1)，uv0且ukv(kr)，u與v既不共線也不垂直，即和相交但不垂直.(5)a(0，8,12)，u(0,2，3)，ua，ua，即l.反思與感悟(1)兩直線的方向向量共線時，兩直線平行；否則兩直線相交或異面.(2)直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直.(3)兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不垂直.跟蹤訓練1設平面的法向量為(1,3，2)，平面的法向量為(2，6，k)，若，則k_.答案4解析，(1,3，2)(2，6，k)，k4.題型二求平面的法向量例2如圖所示，在四棱錐sabcd中，底面是直角梯形，abc90，sa底面abcd，且saabbc1，ad，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求平面scd與平面sba的一個法向量.解如圖，以a為原點，以，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則a(0,0,0)，d(，0,0)，c(1,1,0)，s(0,0,1)，則(，1,0)，(，0,1).易知向量(，0,0)是平面sab的一個法向量.設n(x，y，z)為平面sdc的法向量，則即取x2，則y1，z1，平面sdc的一個法向量為(2，1,1).反思與感悟求平面法向量的方法與步驟：(1)求平面abc的法向量時，要選取平面內兩不共線向量，如，；(2)設平面的法向量為n(x，y，z)；(3)聯(lián)立方程組并求解；(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量.跟蹤訓練2已知a(1,0,1)，b(0,1,1)，c(1,1,0)，求平面abc的一個法向量.解設平面abc的法向量為n(x，y，z)，由題意知(1,1,0)，(1,0，1).n，n，解得令x1，則yz1.平面abc的一個法向量為n(1,1,1).題型三利用空間向量證明平行關系例3在四棱錐pabcd中，四邊形abcd是正方形，側棱pd垂直于底面abcd，pddc，e是pc的中點.證明：pa平面edb.證明如圖所示，建立空間直角坐標系，d是坐標原點，設pddca.方法一連接ac，交bd于點g，連接eg，依題意得d(0,0,0)，a(a,0,0)，p(0,0，a)，e(0，).因為四邊形abcd是正方形，所以g是此正方形的中心，故點g的坐標為(，0)，所以(，0，).又(a,0，a)，所以2，這表明paeg.而eg平面edb，且pa平面edb，所以pa平面edb.方法二設平面bde的法向量為n(x，y，z)，(0，)，(a，)，則有即即令y1，則所以n(1，1,1)，又(a,0，a)，所以n(1，1,1)(a,0，a)aa0.所以n.所以pa平面edb.方法三假設存在實數(shù)，使得，即(a,0，a)(0，)(a，)，則有解得所以，所以pa平面bde.反思與感悟通過證明平面內的一個向量與直線的方向向量平行來證明線面平行，需要特別說明直線的方向向量不在平面內；通過證明平面的法向量與直線的方向向量垂直來證明直線與平面平行，求解法向量的賦值與運算一定要準確；本題應用共面向量定理證明線面平行轉化為判定中和是否存在的問題.跟蹤訓練3如圖，已知在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，且ad2，ab1，pa平面abcd，e，f分別是線段ab，bc的中點.判斷并說明pa上是否存在點g，使得eg平面pfd.解pa平面abcd，bad90，ab1，ad2，如圖，建立空間直角坐標系axyz，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1,1,0)，d(0,2,0).不妨令p(0,0,t)，(1,1,t)，(1,1,0)，設平面pfd的法向量為n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，n(，1).設點g的坐標為(0,0，m)，又e(，0,0)，則(，0，m).要使eg平面pfd，只需n0，即()0m10，即m0，解得mt，從而滿足agap的點g即為所求.利用向量法判斷直線與平面平行例4已知u是平面的一個法向量，a是直線l的一個方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，則l與的位置關系是_.錯解因為ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220，所以ua，所以l.錯解分析錯誤的根本原因是忽視了直線與平面平行和向量與平面平行的區(qū)別.實際上，本例中由向量ua可得l或l.正解因為ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220.所以ua，所以l或l.答案l或l1.已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量.若l1l2，則()a.x6，y15b.x3，yc.x3，y15d.x6，y答案d解析由l1l2得，解得x6，y.2.已知線段ab的兩端點坐標為a(9,3,4)，b(9,2,1)，則線段ab與坐標平面()a.xoy平行b.xoz平行c.yoz平行d.yoz相交答案c解析因為(9,2,1)(9，3,4)(0,5，3)，所以ab平面yoz.3.若a(1,0，1)，b(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是()a.(2,2,6) b.(1,1,3)c.(3,1,1) d.(3,0,1)答案a解析a，b在直線l上，(1,1,3)，與共線的向量(2,2,6)可以是直線l的一個方向向量.4.設直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，若ab0，則()a.lb.lc.ld.l或l答案d解析ab0，l或l.5.在直三棱柱abca1b1c1中，以下向量可以作為平面abc法向量的是_.(填序號)；.答案解析aa1平面abc，b1b平面abc，與可以作為平面abc的法向量.1.利用向量解決立體幾何問題的“三步曲”：(1)建