北師大版選修22 4.1定積分的概念 課件（35張）.pptx

第四章定積分 1定積分的概念 1 曲邊梯形及其面積的求法曲線y f x 與平行于y軸的直線和x軸所圍成的平面圖形叫曲邊梯形 求連續(xù)曲線y f x 對應的曲邊梯形面積s的方法是 分割 近似代替 求面積的和 逼近 2 定積分的背景面積問題 路程問題以及做功問題3個問題 一般通過分割自變量的區(qū)間得到過剩估計值和不足估計值 分割得越細 估計值也就越接近精確值 當分割成的小區(qū)間的長度趨于0時 過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值 3 定積分的概念一般地 給定一個在區(qū)間 a b 上的函數(shù)y f x 其圖像如圖所示 將 a b 區(qū)間分成n份 分點為 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i個小區(qū)間為 xi 1 xi 設其長度為 xi 在這個小區(qū)間上取一點 i 使f i 在區(qū)間 xi 1 xi 上的值最大 設s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 在這個小區(qū)間上取一點 i 使f i 在區(qū)間 xi 1 xi 上的值最小 設s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 如果每次分割后 最大的小區(qū)間的長度趨于0 s與s的差也趨于0 此時 s與s同時趨于某一個固定的常數(shù)a 容易驗證 在每個小區(qū)間 xi 1 xi 上任取一點 i s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn的值也趨于該常數(shù)a 我們稱a是函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 4 定積分的相關名稱 2 定義中區(qū)間的分法和 i的取法是任意的 做一做1 把區(qū)間 1 3 等分成n份 所得n個小區(qū)間的長度均為 答案 b 做一做2 汽車以v v t 在 0 t 內作直線運動 經(jīng)過的路程為s 則下列敘述正確的是 a 將 0 t 等分n份 若以每個小區(qū)間左端點的速度近似替代時 求得的路程是s的不足估計值b 將 0 t 等分n份 若以每個小區(qū)間右端點的速度近似替代時 求得的路程是s的過剩估計值c 將 0 t 等分n份 n越大 求出的路程近似替代s的精確度越高d 將 0 t 等分n份 當n很大時 求出的路程就是s的準確值解析 當n越大時 分割成的小區(qū)間長越小 則求出的路程近似替代s的精確度越高 答案 c 5 定積分的幾何意義及性質 1 當f x 0時 f x dx表示的是y f x 與x a x b和x軸所圍曲邊梯形的面積 2 當f x 表示速度關于時間x的函數(shù)時 f x dx表示的是運動物體從x a到x b時所走過的路程 3 定積分的性質 名師點撥1 性質 對于有限個函數(shù) 兩個以上 也成立 性質 對于把區(qū)間 a b 分成有限個 兩個以上 區(qū)間也成立 答案 1 答案 6 思考辨析判斷以下說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 利用 以直代曲 思想求出的曲邊梯形的面積是近似值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 過剩估計值與不足估計值的應用 例1 一輛汽車在直線形公路上變速行駛 汽車在時刻t的速度為v t t2 5 單位 km h 試估計這輛汽車在0 t 2 單位 h 這段時間內行駛的路程 誤差不超過1 分析 將變速直線運動的路程問題化歸為勻速直線運動的路程問題 通過求矩形面積和即可解決 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 將區(qū)間 0 2 10等分 如圖 設矩形面積的過剩估計值為s 不足估計值為s 則s 02 5 0 22 5 1 82 5 0 2 7 72 s 0 22 5 0 42 5 1 82 5 22 5 0 2 6 92 故估計該車在這段時間內行駛的路程介于6 92km與7 72km之間 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟解決此類問題 是通過分割自變量的區(qū)間求得過剩估計值和不足估計值 分割得越細 估計值就越接近精確值 當分割成的小區(qū)間的長度趨于0時 過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練1求由直線x 1 x 2和y 0及曲線y x2所圍成的曲邊梯形的面積的估計值 并寫出估計誤差 解 將區(qū)間 1 2 5等分 分別以每個小區(qū)間的左 右端點的縱坐標為小矩形的高 得此平面圖形面積的不足估計值s和過剩估計值s 估計誤差不會超過s s 1 32 1 02 0 3 探究一 探究二 探究三 思維辨析 利用定積分的幾何意義求定積分 例2 用定積分的幾何意義求下列各式的值 分析 定積分f x dx的幾何意義是介于x a x b之間 x軸上 下相應曲邊平面圖形面積的代數(shù)和 其中x軸上方部分的面積為正 x軸下方部分的面積為負 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用幾何意義求定積分 關鍵是準確確定被積函數(shù)的圖像 以及積分區(qū)間 正確利用相關的幾何知識求面積 基本步驟如下 1 確定被積函數(shù)和積分區(qū)間 2 準確畫出圖形 3 求出各陰影部分的面積 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練2用定積分表示如圖所示的陰影部分的面積 不要求計算 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練3用定積分的幾何意義求定積分 解 1 如圖1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 定積分性質的應用 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析 本題考查定積分性質的應用問題 合理運用定積分的性質是解題的關鍵 另外分段函數(shù)求積分的方法是分段去求積分 解 由定積分的幾何意義得 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟被積函數(shù)為分段函數(shù)或絕對值函數(shù)時的處理方法 分段函數(shù)和絕對值函數(shù)積分時要分段積分和去掉絕對值符號后再積分 處理這類積分一定要弄清分段臨界點 同時對于定積分的性質 必須熟記在心 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽視被積函數(shù)的圖像在x軸上方或下方對定積分符號的影響而致誤 易錯分析 用定積分求曲邊圖形面積時不判斷曲邊圖形位于x軸上方 還是下方 直接求解易出現(xiàn)錯誤 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練用定積分表示由y sinx與直線x x 0 y 0所圍成的平面圖形的面積 12345 a 與f x 和積分區(qū)間有關 與 i的取法無關b 與f x 有關 與積分區(qū)間及 i的取法無關c 與f x 及 i的取法有關 與積分區(qū)間無關d 與f x 積