北師大版選修45 幾個(gè)重要的不等式 課件（33張）.pptx

第二章幾個(gè)重要的不等式 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 梳理本章的重點(diǎn)知識(shí) 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 2 進(jìn)一步理解柯西不等式 排序不等式和貝努利不等式 并能夠熟練應(yīng)用 3 理解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想 初步形成 歸納 猜想 證明 的思維模式 知識(shí)梳理 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 題型探究 內(nèi)容索引 知識(shí)梳理 1 柯西不等式定理1 對(duì)任意實(shí)數(shù)a b c d 有 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 當(dāng)向量 a b 與向量 c d 共線時(shí) 等號(hào)成立 2 排序不等式定理1 設(shè)a b和c d都是實(shí)數(shù) 如果a b c d 那么ac bd ad bc 當(dāng)且僅當(dāng)a b 或c d 時(shí)取 號(hào) 定理2 排序不等式 設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組a1 a2 an及b1 b2 bn 則 順序和 a1b1 a2b2 anbn 亂序和 逆序和 a1bn a2bn 1 anb1 其中j1 j2 jn是1 2 n的任一排列方式 上式當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an 或b1 b2 bn 時(shí)取 號(hào) 3 貝努利不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x 1和任何正整數(shù)n 有 1 x n 1 nx 4 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法原理是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題 步驟 1 驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0 如n0 1或2等 時(shí)命題正確 2 假設(shè)當(dāng)n k時(shí) k n k n0 命題正確 證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也正確 題型探究 類型一利用柯西不等式證明不等式 證明 又已知a b c d不全相等 則 中等號(hào)不成立 反思與感悟利用柯西不等式證題的技巧 2 利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù) 并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化 運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì) 原結(jié)論成立 證明 類型二利用排序不等式證明不等式 證明不妨設(shè)a b c 于是a b c 由排序不等式 得aa bb cc aa bb cc aa bb cc ba cb ac aa bb cc ca ab bc 三式相加 得3 aa bb cc a b c a b c 證明 引申探究 證明 證明不妨設(shè)a b c 于是a b c 由0 b c a 0 a b c 0 a c b 有0 a b c a c a b c b a c b a b c a b a c b c a b c a 2a b 2b c 2c a b c 2 aa bb cc 反思與感悟利用排序不等式證明不等式的策略 1 在利用排序不等式證明不等式時(shí) 首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組 并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合 這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇 2 根據(jù)排序不等式的特點(diǎn) 與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題 利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷 證明由a b c的對(duì)稱性 不妨設(shè)a b c 證明 等號(hào)成立的條件為a b c 類型三歸納 猜想 證明 例3已知數(shù)列 an 的第一項(xiàng)a1 5且sn 1 an n 2 n n 1 求a2 a3 a4 并由此猜想an的表達(dá)式 解答 解a2 s1 a1 5 a3 s2 a1 a2 10 a4 s3 a1 a2 a3 5 5 10 20 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 an 的通項(xiàng)公式 證明 證明 當(dāng)n 2時(shí) a2 5 22 2 5 公式成立 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)成立 即ak 5 2k 2 k 2 k n 當(dāng)n k 1時(shí) 由已知條件和假設(shè) 有ak 1 sk a1 a2 ak 5 5 10 5 2k 2 故當(dāng)n k 1時(shí)公式也成立 由 可知 對(duì)n 2 n n 均有an 5 2n 2 反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路 觀察 歸納 猜想 證明 即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn) 進(jìn)行歸納 判斷并猜想出一般結(jié)論 然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 跟蹤訓(xùn)練3在數(shù)列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差數(shù)列 bn an 1 bn 1成等比數(shù)列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 并猜想an bn的表達(dá)式 解答 猜想an n n 1 bn n 1 2 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 證明 證明 當(dāng)n 1時(shí) 由a1 2 b1 4知 結(jié)論正確 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k n 時(shí)結(jié)論正確 即ak k k 1 bk k 1 2 則當(dāng)n k 1時(shí) ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 即當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論正確 由 知猜想的結(jié)論正確 類型四利用柯西不等式或排序不等式求最值 例4 1 求實(shí)數(shù)x y的值 使得 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2達(dá)到最小值 解答 解由柯西不等式 得 12 22 12 y 1 2 3 x y 2 2x y 6 2 1 y 1 2 3 x y 1 2x y 6 2 1 解設(shè)b1 b2 b3 b4 b5是a1 a2 a3 a4 a5的一個(gè)排列 且b1 b2 b3 b4 b5 因此b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 b5 5 解答 反思與感悟利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧 1 有關(guān)不等式問題往往要涉及對(duì)式子或量的范圍的限定 其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理 在這類題目中 利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易 2 在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí) 要關(guān)注等號(hào)成立的條件 不能忽略 解答 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1 2 4 3 5 y 3 y的最大值為3 答案 解析 1 2 4 3 5 答案 解析 p q 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an 0時(shí)等號(hào)成立 1 2 4 3 5 a p qb p qc p qd p q 答案 解析 解析設(shè)a1 a2 an 0 1 2 4 3 5 解析 k 1 3 5 k 1 k3 3k2 3k 1 5k 5 k3 5k 3k2 3k 6 k3 5k 3k k 1 6 4 用數(shù)學(xué)歸納法證明 n3 5n能被6整除 的過程中 當(dāng)n k 1時(shí) 對(duì)式子 k 1 3 5 k 1 應(yīng)變形為 答案 解析 k3 5k 3k k 1 6 1 2 4 3 5 解析當(dāng)n k 1時(shí) 左端 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 所以增加了 k2 1 k 1 2 k2 1 k 1 2 答案 解析 1 對(duì)于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義 從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式 柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式 2 參數(shù)配方法是由舊知識(shí)得到的新方法 注意體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)思想 3 對(duì)于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含