北師大版選修12 歸納與類比..歸納推理 學(xué)案.doc

3.1.1 歸納推理自主整理1.根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷這類事物中每一個都有這種屬性,我們把這種推理方式稱為_.2.歸納推理是由_到_,由_到_的推理.3.歸納推理得出的結(jié)論_(填“一定”或“不一定”)正確.高手筆記1.歐拉公式:一個凸多面體中,多面體的面數(shù)(f)、棱數(shù)(e)、頂點(diǎn)數(shù)(v),它們之間的關(guān)系為:v-e+f=2.2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題,并且在一般情況下,如果歸納的個別情況越多,越具有代表性,那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠,學(xué)習(xí)中通過實(shí)例去分析、歸納問題的一般性命題,加強(qiáng)應(yīng)用.特別注意,由歸納推理所獲得的結(jié)論,僅僅是一種猜測,并不一定可靠,其可靠性需要通過證明.3.對于數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法,常用歸納猜想.4.歸納推理是我們探求數(shù)學(xué)問題的一種重要方法和途徑,通過歸納推理發(fā)現(xiàn)許多未知的內(nèi)容是科學(xué)前沿結(jié)論的重要手段.名師解惑1.歸納推理得到的結(jié)論一定正確嗎? 剖析:歸納推理是根據(jù)已經(jīng)知道的個別事例具有的屬性推斷出所有這類事物所具有的共性,有時(shí)結(jié)論正確,有時(shí)結(jié)論不正確.在歸納結(jié)論時(shí),要對大量的個體進(jìn)行觀察,其正確性還需要通過嚴(yán)格的證明,不正確的結(jié)論只需舉出一個特例不符合即可.講練互動【例1】如下圖是由一連串直角三角形演化而成的,其中oa1=a1a2=a2a3=a7a8=1,記oa1、oa2、oa3、oa8、oan的長度所成的數(shù)列為ln(nn),(1)寫出數(shù)列的前4項(xiàng);(2)求ln的通項(xiàng)公式.分析:(1)利用勾股定理可逐項(xiàng)求出前4項(xiàng);(2)觀察歸納規(guī)律得通項(xiàng)公式.解:(1)l1=oa1=1,由勾股定理得l2=.l3=.l4=2.(2)觀察ln的前n項(xiàng),可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的項(xiàng)恰好是序號n的算術(shù)平方根.通項(xiàng)公式an=.綠色通道本題目顯然有l(wèi)n+1=,ln+12=ln2+1,ln2為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,ln2=1+(n-1)=n.ln=.數(shù)列問題可通過求得前n項(xiàng)、觀察得到通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練1.根據(jù)所給數(shù)列前幾項(xiàng)的值,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:=,=,于是猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.【例2】已知數(shù)列an滿足an+1=an2-nan+1(n=1,2,3,),當(dāng)a1=2時(shí),求a2、a3、a4,并由此猜想出an的一個通項(xiàng)公式.分析:本題主要考查猜想、歸納推理及分析和解決問題的能力,先求出a2、a3、a4,并結(jié)合a1,觀察它們之間有什么共同的特征,然后猜想通項(xiàng)公式.解:由a1=2,得a2=3,由a2=3,得a3=4,由a3=4,得a4=5,由此猜想an=n+1(n1且nn+).綠色通道 解決此類問題,要寫出前幾項(xiàng),通過觀察、分析、比較找出規(guī)律,從而猜測出可能的結(jié)果.變式訓(xùn)練2.已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a1=1,且an+1=(n=1,2,),試歸納出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:當(dāng)n=1時(shí),a1=1,a2=,a3=,a4=.觀察可得an=.【例3】在平面內(nèi)觀察:凸四邊形有2條對角線,凸五邊形有5條對角線,凸六邊形有9條對角線,由此猜想凸n邊形有幾條對角線?分析:在找規(guī)律時(shí),盡量發(fā)現(xiàn)對角線的條數(shù)與凸n邊形的邊數(shù)n之間的直接關(guān)系,或?qū)ふ遗c前面n-1邊形的對角線條數(shù)之間的關(guān)系.解:凸四邊形有2條對角線.凸五邊形的對角線比凸四邊形多3條.凸六邊形的對角線比凸五邊形多4條. 于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n-1邊形多n-2條對角線,由此凸n邊形對角線條數(shù)為2+3+4+5+(n-2)=n(n-3)(n4,nn+).綠色通道 在歸納推理的過程中,應(yīng)注意探求前后聯(lián)系,如本題中隨多邊形邊數(shù)及對角線條數(shù)的共變現(xiàn)象作定量分析,才能發(fā)現(xiàn)其對角線條數(shù)的增加規(guī)律.變式訓(xùn)練3.平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),試歸納它們的交點(diǎn)個數(shù).解:n=2時(shí),交點(diǎn)個數(shù)f(2)=1,n=3時(shí),交點(diǎn)個數(shù)f(3)=3=1+2,n=4時(shí),交點(diǎn)個數(shù)f(4)=6=3+3=1+2+3,n=5時(shí),交點(diǎn)個數(shù)f(5)=10=6+4=1+2+3+4.猜出f(n)=1+2+3+n-1=(n2).【例4】猜想不等式1+滿足什么條件成立?分析:不等式的左邊不能合并,但當(dāng)n取較小的自然數(shù)時(shí),可以合并,n可從1開始取值進(jìn)行探討.解:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=,不等式不成立.當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=,右邊=.2+,左邊2=右邊.不等式成立.猜想當(dāng)nn且n3時(shí)不等式成立.綠色通道 有些結(jié)論是在某些條件下成立,不一定恒成立,需探究其成立的條件.變式訓(xùn)練4.zf(n)=n2+n+41,nn+，計(jì)算f(1),f(2),f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n=40驗(yàn)證猜想是否正確.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.43,47,53,6