蘇教版選修41 圓的切線 學案.doc

1.2.2 圓的切線自主整理1.當直線與圓有2個公共點時，直線與圓_;當直線與圓有且只有1個公共點時，直線與圓_,此時直線是圓的_,公共點稱為_;當直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離.2.設o的半徑為r，直線l與圓心o的距離oh為d,則dr直線與圓_;d=r直線與圓_;dr直線與圓_.3.切線的判定定理：過半徑外端且與這條半徑_的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理：圓的切線_于經(jīng)過切點的半徑.4.切點與圓心的連線與圓的切線_，過切點且與圓的切線垂直的直線過_.5.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線長_.6.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的_.7.同?。ɑ虻然。┥系南仪薪莀，同弧（或等?。┥系南仪薪桥c圓周角_.8.三角形的三內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離，若以此交點為圓心，該點到邊的距離為半徑作圓，該圓必與三角形的三邊都_,該圓就是三角形的_，三角形則是圓的_三角形，該點稱為三角形的_.高手筆記1.圓的切線的性質(zhì)定理及推論（1）圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.此定理強調(diào)半徑必須經(jīng)過切點，否則結(jié)論不成立.由于過已知點有且只有一條直線與已知直線垂直，所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點；反過來，過切點垂直于切線的直線一定經(jīng)過圓心，因此可以得到兩個推論：推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.(2)分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得出如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.垂直于切線；過切點；過圓心.于是在利用切線性質(zhì)時，過切點的半徑是常作的輔助線.(3)另外，圓的切線還有兩條性質(zhì)應當注意:一是切線和圓只有一個公共點；二是切線和圓心的距離等于圓的半徑.在許多實際問題中，我們也利用它們來解決.2.切線的判定定理(1)切線的判定定理是經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.在定理中要分清定理的題設和結(jié)論,強調(diào)“經(jīng)過半徑外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線，如圖1.2-36的例子就不同時滿足兩個條件，所以都不是圓的切線 . 圖1.2-36(2)用判定定理證明一直線與圓相切時，必須滿足兩個條件：過半徑的外端；垂直于這條半徑.因此在解決相關(guān)問題時，若已知要證的切線經(jīng)過圓上一點，則需把這點與圓心相連，證這條直線與此半徑垂直；否則需先向這條直線作垂線，再證此垂線段是圓的半徑.3.切線長定理（1）我們知道，過圓外一點可以引兩條直線與圓相切，在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長稱為切線長.切線長是一條線段的長，而這條線段的兩端分別是圓外的已知點和切點.注意切線是一條直線，而切線長是切線上一條線段的長，屬于切線的一部分.（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角.圖1.2-37（3）如圖1.2-37，pa、pb是o外一點向圓作的兩條切線，切點分別為a和b，那么連結(jié)oa、ob、op，因為pa、pb與o相切于a、b兩點，則有oaap，obbp，于是oap、obp都是直角.又oa=ob，op=op，所以rtaoprtbop,所以pa=pb，apo=bpo.(4)由切線長定理，可以得到圓外切四邊形的一個重要性質(zhì)：圓的外切四邊形的兩組對邊和相等.利用這一性質(zhì)可以方便地解決許多問題.4.弦切角（1）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(2)弦切角的特點：頂點在圓周上；一邊與圓相交；一邊與圓相切.(3)弦切角定義中的三個條件缺一不可.圖1.2-38各圖中的角都不是弦切角.圖（1）中，缺少“頂點在圓上”的條件；圖（2）中，缺少“一邊和圓相交”的條件；圖（3）中，缺少“一邊和圓相切”的條件；圖（4）中，缺少“頂點在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件.圖1.2-38(4)如圖1.2-39所示，弦切角可分為三類：圓心在角的外部；圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部.圖1.2-395.弦切角定理（1）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.(2)定理的證明：由于弦切角可分為三類，即圖1.2-40所示的情況，所以在證明定理時分三種情況加以討論：當弦切角一邊通過圓心時圖1.2-40(1)，顯然弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角；當圓心o在cab外時圖1.2-40(2)，作o的直徑aq，連結(jié)pq，則bac=baq-1=apq-2=apc；當圓心o在cab內(nèi)時圖1.2-40(3)作o的直徑aq，連結(jié)pq，則bac=qab+1=qpa+2=apc.圖1.2-40(3)在證明弦切角定理的過程中，我們從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理.通過弦切角定理的證明過程，要明確用運動變化的觀點觀察問題，進而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認識規(guī)律.（4）由弦切角定理，可以直接得出一個結(jié)論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等，我們把這一結(jié)論稱為弦切角定理的推論，它也是角的變換的依據(jù).(5)弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.這就建立了弦切角與弧的數(shù)量之間的關(guān)系，它為直接依據(jù)弧進行角的轉(zhuǎn)換確立了基礎.名師解惑1.判斷一條直線是否是圓的切線，通常有哪些方法？一般如何選取合適的方法？剖析:判定切線通常有三種方法：（1）和圓有唯一一個公共點的直線是圓的切線；（2）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線.“過半徑外端，垂直于這條半徑的直線是圓的切線”只是把“到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線”的定理具體化，在使用時要根據(jù)題目的具體要求選取合適的方法，如果涉及到數(shù)值計算或距離問題，通常利用（2），如果涉及到線段的位置關(guān)系等，通常選?。?）.2.到目前為止，對于圓中有關(guān)的角我們已學過圓心角、圓周角、弦切角，它們各自有定義、定理及和它所對的弧的度數(shù)關(guān)系，這三種角在證明題和計算題中經(jīng)常用到，它們是幾何綜合題中不可缺少的知識點.它們相互之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？如何把握這些聯(lián)系和區(qū)別？剖析:圓心角、圓周角、弦切角是圓中三類重要的角，準確理解它們的定義、定理及與所對、所夾的弧的關(guān)系，對于我們在圓中的計算、證明，起著舉足輕重的作用，將這些知識總結(jié)對比列表如下，你可以在比較中把握其異同點，從而快速、準確的應用.名稱圓心角圓周角弦切角定義頂點在圓心的角頂點在圓上的；兩邊和圓相交頂點在圓上；一邊和圓相交；另一邊和圓相切圖形有關(guān)定理圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)在同圓或等圓中相等的圓心角所對弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等同弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半弦切角等于它所夾弧所對的圓周角有關(guān)推論四者關(guān)系定理的推論圓周角定理推論弦切角定理的推論角與弧的關(guān)系aob的度數(shù)=的度數(shù)acb的度數(shù)=的度數(shù)acb的度數(shù)=的度數(shù)講練互動圖1.2-41【例1】如圖1.2-41所示，梯形abcd中，adbc，c=90,且ad+bc=ab，ab為o的直徑.求證：o與cd相切.分析：欲證o與cd相切只需證明圓心o到直線cd的距離等于o的半徑即可.證明：過o點作oecd，垂足為e，adoebc.o為ab的中點，e為cd的中點.oe=（ad+bc）.又ad+bc=ab,oe=ab=o的半徑.o與cd相切.綠色通道 在不知道圓與直線是否有公共點的情況下通常過圓心作直線的垂線段，然后證垂線段的長等于半徑，即“作垂直，證半徑”，這是證直線與圓相切的常用方法之一.變式訓練圖1.2-421.如圖1.2-42,已知：直線ab經(jīng)過o上的點c，并且oa=ob，ca=cb.求證：直線ab是o的切線.證明:連結(jié)oc.oa=ob，ca=cb，oc是等腰三角形oab底邊ab上的中線.aboc.直線ab經(jīng)過半徑oc的外端c，并且垂直于半徑oc，所以ab是o的切線.圖1.2-43【例2】如圖1.2-43所示，已知ab為半圓o的直徑，直線mn切半圓于點c，admn于點d，bemn于點e，be交半圓于點f，ad=3 cm,be=7 cm.(1)求o的半徑；（2）求線段de的長.分析:（1）連結(jié)oc，證c為de的中點.在解有關(guān)圓的切線問題時，常常需要作出過切點的半徑.對于（2）則連結(jié)af，證四邊形adef為矩形，從而得到ad=ef，de=af，然后在rtabf中運用勾股定理，求af的長.解：（1）連結(jié)oc.mn切半圓于點c，ocmn.admn,bemn,adocbe.oa=ob,cd=ce.oc=(ad+be)=5（cm）.o的半徑為5 cm.(2)連結(jié)af.ab為半圓o的直徑，afb=90,afe=90.又ade=def=90,四邊形adef為矩形.de=af，ad=ef=3（cm）.在rtabf中，bf=be-ef=4（cm）,ab=2oc=10（cm）.由勾股定理，得af=，de=（cm）.綠色通道 在梯形當中，最常見的輔助線是高，通過作高，可以構(gòu)造出直角三角形，然后在直角三角形中進行相關(guān)計算；當題目中涉及圓的切線問題時，常常需要作出過切點的半徑，通過它可以構(gòu)建有用的垂直關(guān)系.變式訓練圖1.2-442.如圖1.2-44,已知兩個同心圓o，大圓的直徑ab交小圓于c、d，大圓的弦ef切小圓于c，ed交小圓于g，若小圓的半徑為2，ef=4，試求eg的長.解:連結(jié)gc，則gced.ef和小圓切于c,efcd,ec=ef=2.又cd=4，在rtecd中，有ed=.ec2=eged，eg=圖1.2-45【例3】如圖1.2-45,ad是o的切線，ac是o的弦，過c作ad的垂線，垂足為b，cb與o相交于點e，ae平分cab，且ae=2，求abc各邊的長.分析：bae為弦切角，于是bae=c，再由ae平分cab和abc是直角三角形可得c的度數(shù)，進而解直角三角形即可.解：ad為o的切線，bae=c.ae平分cab，bac=2bae.又c+bac=90,bae=c=30.則有be=1，ab=，bc=，ac=2.綠色通道 本題應用弦切角、解直角三角形的知識，此題為基礎題型，求解此類題時，要注意弦切角在角的轉(zhuǎn)換中的作用，本題正是由于這一條件，溝通了角之間的數(shù)量關(guān)系.變式訓練圖1.2-463.如圖1.2-46，ad是abc中bac的平分線，經(jīng)過點a的o與bc切于點d，與ab、ac分別相交于e、f.求證：efbc.證明:連結(jié)df.ad是bac的平分線，bad=dac.efd=bad,efd=dac.o切bc于d，fdc=dac.efd=fdc.efbc.圖1.2-47【例4】如圖1.2-47,abc內(nèi)接于o，ab=ac，直線xy切o于點c，弦bdxy，ac、bd相交于點e.(1)求證：abeacd；（2）若ab=6 cm，bc=4 cm，求ae的長.分析：第（1）問中的全等已經(jīng)具備了ab=ac，再利用弦切角定理與圓周角定理可以得角的相等關(guān)系；對于（2），則利用bceacb建立比例式，解方程獲得ae的長.(1)證明：xy是o的切線，1=2.bdxy，1=3.2=3.3=4,2=4.abd=acd,又ab=ac,abeacd.(2)解：3=2,bce=acb,bceacb.acce=bc2,即ac(ac-ae)=bc2.ab=ac=6,bc=4,6(6-ae)=16.ae=(cm).綠色通道 本題利用平行線、弦切角、圓周角等進行了角的轉(zhuǎn)換，利用相似建立方程求線段的長度，綜合應用時，必須非常熟悉圖形中的各個量，盯準要求的數(shù)值，向圖形和已知索取條件.變式訓練4.如圖1.2-48，半徑為3 cm和2 cm的o1和o2外切于點p，ab是兩圓的外公切線，a、b為切點，兩圓的內(nèi)公切線交ab于點q.求pq的長.圖1.2-48解法一:連結(jié)ap，bp，則在apb中有qa=qp=qb,1=2，3=4.1+2+3+4=180,即2（1+4）=180,1+4=90,pq是rtapb斜邊上的中線.過o2作o2ho1a于點h，即可解得pq=6（cm）.解法二:如圖所示，連結(jié)qo1，qo2.qp、qa分別切o1于p，a1=2，同理3=4,1+2+3+4=180,即2（2+3）=180,2+3=90,o1qo2=90.又qpo1o2,2+5=90,3=5,rto1pqrtqpo2,pq2=po1po2=6,pq=6（cm）.【例5】如圖1.2-49所示，ab為o的直徑，bc、cd為o的切線，b、d為切點.（1）求證：adoc；（2）若o的半徑為1，求adoc的值.圖1.2-49分析：對于（1），連結(jié)od、bd，證adbd，ocbd；對于（2），連結(jié)bd，證abdocb即可.(1)證明：連結(jié)od、bd.bc、cd是o的切線，obbc，odcd.obc=odc=90.又ob=od,oc=oc,rtobcrtodc,bc=cd.ob=od,ocbd.又ab為o的直徑，adb=90，即adbd.adoc.(2)解：adoc,a=boc.又adb=obc=90,abdocb.,adoc=abob=21=2.綠色通道 兩直線平行的判定可以利用同位角相等證明，而求兩個線段的乘積通常利用三角形相似得出比例式,然后利用比例的性質(zhì)求解.變式訓練圖1.2-505.如圖1.2-50，已知o的弦ab的延長線和切線ep交于點p，e為切點，連結(jié)ea、eb，過點p的一條直線交ea、eb于c、d，若ec=ed.求證：（1）apc=cp