人教B版必修二 2.2.3　兩條直線的位置關(guān)系 學(xué)案.doc

數(shù)學(xué)人教b必修2第二章2.2.3兩條直線的位置關(guān)系1會(huì)通過(guò)解方程組發(fā)現(xiàn)直線相交、平行、重合的條件2會(huì)判斷兩條直線相交、平行和重合，并會(huì)求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)3理解用勾股定理推導(dǎo)兩條直線垂直的條件，并能熟練運(yùn)用這一條件判斷兩條直線是否垂直1兩條直線相交、平行與重合的條件(1)兩條直線l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20的位置關(guān)系，可以用方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，也可用直線方程的系數(shù)進(jìn)行判斷，方法如下：方程組的解位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)代數(shù)條件無(wú)解_無(wú)交點(diǎn)a1b2a2b10且b1c2b2c10(a2c1a1c20)或_有唯一解相交_a1b2a2b10或_(a2b20)有無(wú)數(shù)個(gè)解重合無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)a1a2，b1b2，c1c2(0)或_(a2b2c20)(2)兩條直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2的位置關(guān)系，也可用兩直線的斜率和在y軸上的截距來(lái)進(jìn)行判斷，具體判斷方法如表所示.位置關(guān)系平行重合相交圖示k，b滿足條件_【做一做1】直線l1與l2為兩條不重合的直線，則下列命題：若l1l2，則斜率k1k2；若斜率k1k2，則l1l2；若傾斜角12，則l1l2；若l1l2，則傾斜角12.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a1 b2 c3 d42兩條直線垂直的條件(1)設(shè)直線l1，l2的方程分別為a1xb1yc10，a2xb2yc20(a1，a2，b1，b2均不為0)，則l1l2_.(2)設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1xb1，yk2xb2，則l1l2_.與直線l：axbyc0平行與垂直的直線若直線l與l平行，則l可設(shè)為axbyd0(dc)；若直線l與l垂直，則l可設(shè)為bxayd0.過(guò)點(diǎn)(x0，y0)且與axbyc0平行的直線可表示為a(xx0)b(yy0)0；過(guò)點(diǎn)(x0，y0)且與axbyc0垂直的直線可表示為b(xx0)a(yy0)0.【做一做2】下列直線中與直線xy0垂直的是()axy10 baxaya0cxy10 dxy01關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題剖析：設(shè)直線l：axbyc0，則l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是axb(y)c0；l關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程是a(x)byc0；l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是a(x)b(y)c0；l關(guān)于yx對(duì)稱的直線方程是bxayc0；l關(guān)于直線yx對(duì)稱的直線方程是a(y)b(x)c0；l關(guān)于點(diǎn)p(x0，y0)對(duì)稱的直線方程是a(2x0x)b(2y0y)c0.求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線，直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)都是中點(diǎn)問(wèn)題與垂直問(wèn)題的結(jié)合2教材中的“思考與討論”已知直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，如何用這兩條直線的斜率k1，k2以及b1，b2，判定這兩條直線平行或者重合？證明你的結(jié)論，并說(shuō)明與直線ykxb平行的直線可表示為ykxb1(b1b)剖析：l1l2的條件是k1k2且b1b2；l1與l2重合的條件是k1k2且b1b2.證明：設(shè)直線l1，l2的一般式分別為a1xb1yc10，a2xb2yc20，則k1，b1，k2，b2，而當(dāng)a1b2a2b10且b1c2c1b20時(shí)，l1l2，所以當(dāng)k1k2且b1b2時(shí)，l1l2.又因?yàn)楫?dāng)a1a2，b1b2，c1c2(0)時(shí)，l1與l2重合，所以當(dāng)k1k2，b1b2時(shí)，l1與l2重合，所以k1k2且b1b2時(shí)，l1與l2重合題型一 判斷兩直線的位置關(guān)系【例1】判斷下列直線的位置關(guān)系(1)已知兩條直線l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)已知兩條直線l1：3x6y140，l2：2xy20.分析：利用判斷兩直線位置關(guān)系的條件，可以用斜率形式，也可以用一般形式反思：(1)判斷兩條直線平行，首先判斷其斜率相等(斜率存在時(shí))，即k1k2.兩條直線斜率相等，則兩條直線可能平行也可能重合，還需要再進(jìn)一步判斷截距不相等，即b1b2.如果兩條直線斜率不存在，兩條直線為xa1，xa2，只需a1a2即可；判斷兩直線平行，也可用系數(shù)比(2)判斷兩直線垂直：如果斜率都存在，只判斷k1k21；如果一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率必等于零，從斜率的角度判斷，應(yīng)注意上面的兩種情況；利用a1a2b1b20判斷題型二 利用兩直線的位置關(guān)系定參數(shù)【例2】已知兩條直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？分析：根據(jù)兩條直線相交、平行、重合的條件列方程或不等關(guān)系求解反思：利用兩直線的位置關(guān)系定參數(shù)問(wèn)題一定不要忽視特殊情況，即斜率為0或斜率不存在的情況，再者注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)題型三 求與已知直線平行或垂直的直線方程【例3】已知點(diǎn)a(2,2)和直線l：3x4y200.求：(1)過(guò)點(diǎn)a和直線l平行的直線方程；(2)過(guò)點(diǎn)a和直線l垂直的直線方程分析：本題可根據(jù)直線平行與垂直時(shí)斜率間的關(guān)系，求出所求直線的斜率后用點(diǎn)斜式求解，也可利用直線系方程的方法來(lái)求解反思：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(x0，y0)與直線l：axbyc0平行或垂直的直線方程，當(dāng)l的斜率存在(求垂直直線時(shí)，要求斜率不為零)時(shí)，可利用直線方程的點(diǎn)斜式求直線方程，也可利用待定系數(shù)法根據(jù)直線系方程求直線方程題型四 對(duì)稱問(wèn)題【例4】光線由點(diǎn)a(1,4)射出，在直線l：2x3y60上反射，已知反射光線過(guò)點(diǎn)b，求反射光線所在直線的方程分析：根據(jù)反射規(guī)律，所求反射光所在直線除了過(guò)點(diǎn)b外，還經(jīng)過(guò)a關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)a.反思：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱一般要利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線的垂直來(lái)綜合解決，至于光的反射問(wèn)題一定要看清誰(shuí)做鏡面，及入射光與反射光經(jīng)過(guò)的點(diǎn)題型五 易錯(cuò)辨析【例5】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,1)且與直線2xay100垂直的直線l的方程錯(cuò)解：所求直線與2xay100垂直，根據(jù)l1l2k1k21，得所求直線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式得l：y1(x2)，整理得ax2y2a20.錯(cuò)因分析：漏掉a0時(shí)特殊情況的討論，其實(shí)斜率為0的直線與斜率不存在的直線也是相互垂直的，但卻不能用k1k21來(lái)求【例6】當(dāng)a為何值時(shí)，直線x2ay10和直線(3a1)xay10平行？錯(cuò)解：由1，得3a1.a，當(dāng)a時(shí)，兩直線平行錯(cuò)因分析：漏掉對(duì)a0時(shí)的討論，要知道利用上述分式條件容易丟解，克服的辦法是先將特殊情況討論完1已知兩條直線yax2和y(a2)x1互相垂直，則a等于()a2 b1 c0 d12過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()ax2y10bx2y10c2xy20dx2y103已知兩直線l1：(3a)x4y53a0與l2：2x(5a)y80.(1)l1與l2相交時(shí)，a_；(2)l1與l2平行時(shí)，a_；(3)l1與l2重合時(shí)，a_；(4)l1與l2垂直時(shí)，a_.4求和直線4x3y50平行且在x軸上的截距為3的直線方程答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1(1)平行(a2b2c20)有一個(gè)交點(diǎn)(2)k1k2且b1b2k1k2且b1b2k1k2【做一做1】c錯(cuò)，正確2(1)a1a2b1b20(2)k1k21【做一做2】a典型例題領(lǐng)悟【例1】(1)解法一：直線l1化為斜截式為yx，直線l2化為斜截式為yx，由此可知l1的斜率為k1，在y軸上的截距為b1，l2的斜率為k2，在y軸上的截距為b2.因?yàn)閗1k2，b1b2，所以l1l2.解法二：因?yàn)?，所以l1l2.(2)解法一：由直線l1的方程，知l1的斜率為k1；由直線l2的方程，知l2的斜率為k22.顯然，k1k2(2)1，所以l1l2.解法二：因?yàn)?2(6)1660，所以l1l2.【例2】解：直線l1：xmy60，直線l2：(m2)x3y2m0，a11，b1m，c16，a2m2，b23，c22m.(1)若l1與l2相交，則a1b2a2b10，即13m(m2)0，即m22m30，(m3)(m1)0，m3且m1.故當(dāng)m3且m1時(shí)，直線l1與l2相交(2)若l1l2，則有即即m1.故當(dāng)m1時(shí)，直線l1與l2平行(3)若l1與l2重合，則有即m3.故當(dāng)m3時(shí)，直線l1與l2重合綜上所述，當(dāng)m3且m1時(shí)，兩直線相交；當(dāng)m1時(shí)，兩直線平行；當(dāng)m3時(shí)，兩直線重合【例3】(1)解法一：利用直線方程的點(diǎn)斜式求解由l：3x4y200，得kl.設(shè)過(guò)點(diǎn)a且平行于l的直線為l1，則kl1kl，所以l1的方程為y2(x2)，即3x4y140.解法二：利用直線系方程求解設(shè)過(guò)點(diǎn)a且平行于直線l的直線l1的方程為3x4ym0.由點(diǎn)a(2,2)在直線l1上，得3242m0，解得m14.故直線l1的方程為3x4y140.(2)解法一：設(shè)過(guò)點(diǎn)a與l垂直的直線為l2.因?yàn)閗lkl21，所以kl2，故直線l2的方程為y2(x2)，即4x3y20.解法二：設(shè)l2的方程為4x3ym0.因?yàn)閘2經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,2)，所以4232m0，解得m2.故l2的方程為4x3y20.【例4】解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)a關(guān)于直線l：2x3y60的對(duì)稱點(diǎn)a的坐標(biāo)為(x0，y0)，則，即3x02y011.aa的中點(diǎn)在直線l上，2360，即2x03y020.由解得由兩點(diǎn)式方程可得反射光線所在直線的方程為y(x3)，即13x26y850.【例5】正解1：當(dāng)a0時(shí)，已知直線化為x5，此時(shí)直線斜率不存在，則所求直線l的斜率為0，直線l過(guò)點(diǎn)a(2,1)，直線l的方程為y10(x2)，即y1.當(dāng)a0時(shí)，已知直線2xay100的斜率為，直線l與已知直線垂直，設(shè)所求直線斜率為k，k1，k.直線l過(guò)點(diǎn)a(2,1)，所求直線l的方程為y1(x2)，即ax2y2a20.所求直線l的方程為y1或ax2y2a20.又y1是ax2y2a20的一個(gè)特例，因此上兩條直線可合寫(xiě)成ax2y2a20.正解2：根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ax2yd0，又點(diǎn)a在直線l上，2a21d0，d22a，所求直線l的方程為ax2y22a0.【例6】正解1：當(dāng)a0時(shí)，由1，得3a1，a.當(dāng)a0時(shí)，直線方程分別為x1和x1，兩直線平行綜上，當(dāng)a0或a時(shí)，兩直線平行正解2：由兩直線平行，得由可得a0或a，由可得a.當(dāng)a0或a時(shí)，兩直線平行隨堂練習(xí)鞏固1d兩條直線的斜率分別為a和a2且相互垂直，即a(a2)1，解得a1.2a與直線x2y20平行的直線方程可設(shè)為x2yc0，將點(diǎn)(1,0)代入解得c1，故直線方程為x2y10.3(1)7或1(2)7(3)1(4)由