人教B版選修45 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測 學(xué)案.doc

知識整合與階段檢測對應(yīng)學(xué)生用書p46對應(yīng)學(xué)生用書p46歸納猜想證明不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探求結(jié)論，但結(jié)論是否為真有待證明，因而數(shù)學(xué)中我們常用歸納猜想證明的方法來解決與正整數(shù)有關(guān)的歸納型和存在型問題例1設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3，(1)當(dāng)a12時，求a2，a3，a4，并由此猜想出數(shù)列an的一個通項公式(2)當(dāng)a13時，證明對所有的n1，有ann2；.解(1)由a12，得a2aa113；由a23，得a3a2a214；由a34，得a4a3a315.由此猜想：ann1(nn)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，a1312，不等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，即akk2，那么當(dāng)nk1時，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2)1k3(k1)2，也就是說，當(dāng)nk1時，ak1(k1)2.綜上可得，對于所有n1，有ann2.由an1an(ann)1及，對k2，有akak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak112(2ak21)122ak22123ak32221ak2k1a12k2212k1a12k112k1(a11)1，于是1ak2k1(a11)，k2.因此，原不等式成立.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的常用技巧在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時，一般說來，第一步驗證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設(shè)“p(k)成立”是問題的條件，而“命題p(k1)成立”就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下面簡要分析一些常用技巧1分析綜合法用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“p(k)”到“p(k1)”，常常可用分析綜合法例2求證：，nn.證明(1)當(dāng)n1時，因為1，所以原不等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kn)時，原不等式成立，即有，當(dāng)nk1時，.因此，欲證明當(dāng)nk1時，原不等式成立，只需證明.從而轉(zhuǎn)化為證明，也就是證明，即()2()2k2k12120，從而.于是當(dāng)nk1時，原不等式也成立由(1)、(2)可知，對于任意的正整數(shù)n，原不等式都成立2放縮法涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“k”過渡到“k1”，有時也考慮用放縮法例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立證明(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kn)時不等式成立，即.則當(dāng)nk1時，.當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立3遞推法用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時，有時要利用an與an1的關(guān)系，實現(xiàn)從“k”到“k1”的過渡例4設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對一切nn，有1an1，又a11a，顯然命題成立(2)假設(shè)nk(k1，kn)時，命題成立，即1ak(1a)a1，同時，ak1a1a，當(dāng)nk1時，命題也成立即1ak1.綜合(1)、(2)可知，對一切正整數(shù)n，有1an.4學(xué)會借用同一題中已證明過的結(jié)論在從k到k1的過程中，若僅僅利用已知條件，有時還是沒有證題思路，這時考查同一題中已證明過的結(jié)論，看是否可借用，這種“借用”思想非常重要例5設(shè)xn是由x12，xn1(nn)定義的數(shù)列，求證：不等式xn2.所以xn(nn)顯然成立下面證明：xn(nn)(1)當(dāng)n1時，x121，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn)時，不等式成立，即xk，那么，當(dāng)nk1時，xk1.由歸納假設(shè)，xk，則因為、不是同向不等式，所以由遞推式無法完成由k到(k1)的證明，到此好像“山重水復(fù)疑無路”，證題思路受到阻礙受阻原因分析：要利用遞推式xk1，只要找出關(guān)系式這樣一個條件，才可以接通思路當(dāng)注意到前面已證明xn以后，問題就可以解決了思路受阻的原因就在于不會借用前面已經(jīng)證明的結(jié)論事實上，xk，.xk1.即xk10和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()an01bn02cn01,2 d以上答案均不正確解析：先驗證n1時，x11成立，再用數(shù)學(xué)歸納法證明答案：a2設(shè)f(n)(nn)，則f(n1)f(n)()a bc d解析：由題意知f(n)，f(n1)，故f(n1)f(n).答案：d3已知數(shù)列an中，a11，a22，an12anan1(nn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除，假設(shè)a4k能被4整除，然后應(yīng)該證明()aa4k1能被4整除 ba4k2能被4整除ca4k3能被4整除 da4k4能被4整除解析：由假設(shè)a4k能被4整除，則當(dāng)nk1時，應(yīng)該證明a4(k1)a4k4能被4整除答案：d4在數(shù)列an中，a1，且snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()a bc d解析：因為a1，由snn(2n1)an，得a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4.猜想an.答案：c二、填空題5用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kn)命題為真時，進而需證n_時，命題亦真解析：由數(shù)學(xué)歸納法及n為正奇數(shù)，在假設(shè)n2k1成立，需證n2k1命題成立答案：2k16若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是f(k1)_.解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k)(2k1)2(2k2)27用數(shù)學(xué)歸納法證明：cos cos 3cos 5cos(2n1)(sin0，nn)，在驗證n1時，等式右邊的式子是_解析：本題在n1時，右邊考查二倍角的正弦公式，右cos .答案：cos 8設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，則它的通項an_.解析：法一：分別令n1,2,3求出a2，a3，通過不完全歸納法知an.法二：對已知等式因式分解得(n1)an1nan(an1an)0.由an0知，再由累乘法求得an.答案：三、解答題9在數(shù)列an中，a1a21，當(dāng)nn時，滿足an2an1an，且設(shè)bna4n，求證：bn各項均為3的倍數(shù)證明：(1)a1a21，故a3a1a22，a4a3a23.b1a43，當(dāng)n1時，b1能被3整除(2)假設(shè)nk時，即bka4k是3的倍數(shù)，則nk1時，bk1a4(k1)a4k4a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4k3a4k12a4k. 由歸納假設(shè)，a4k是3的倍數(shù)，3a4k1是3的倍數(shù)，故可知bk1是3的倍數(shù)，nk1時命題也正確綜合(1)、(2)可知，對正整數(shù)n，數(shù)列bn的各項都是3的倍數(shù)10用數(shù)學(xué)歸納法證明：對nn時成立證明：(1)當(dāng)n1時，不等式成立(2)假設(shè)nk時不等式成立即.則nk1時，即nk1時不等式成立由(1)、(2)知不等式對任意nn都成立11已知數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足a1，an2snsn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；(2)求sn和an；(3)求證：sss.解：(1)s1a1，2.當(dāng)n2時，ansnsn1，即snsn12snsn1.2，故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得2(n1)22n，sn(nn)，當(dāng)n2時，an2snsn1.當(dāng)n1時，a1，an(3)證明：當(dāng)n1時，s，成立假設(shè)nk(k1，且kn)時，不等式成立，即sss成立，則當(dāng)nk1時，ssssn21對于nn0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()a2 b3c5 d6解析：取n01,2,3,4,5驗證，可知n05.答案：c3已知a1，an1，nn，則an的取值范圍是()a(，2) b，2)c(0，) d0，解析：n1時，a2，排除c，d.an1an為遞增數(shù)列可用數(shù)學(xué)歸納法證明an成立時，當(dāng)n2時驗證的不等式是()a1bcd以上都不對解析：當(dāng)n2時，左邊11，右邊，1.答案：a5用數(shù)學(xué)歸納法證明“sn1(nn)”時，s1等于()a bc d解析：因為s1的首項為，末項為，所以s1，故選d.答案：d6已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()a若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立b若f(4)16成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立c若f(7)49成立，則當(dāng)k7時，均有f(k)1642成立當(dāng)k4時，有f(k)k2成立答案：d7用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nn)能被8整除時，當(dāng)nk1時，對于34(k1)152(k1)1可變形為()a563(4k1)25(34k152k1)b3434k15252kc34k152k1d25(34k152k1)解析：34(k1)152(k1)1變形中必須出現(xiàn)nk時歸納假設(shè)，故變形為5634k125(34k152k1)答案：a8若k棱柱有f(k)個對角面，則(k1)棱柱對角面的個數(shù)為()a2f(k) bk1f(k)cf(k)k df(k)2解析：由nk到nk1時增加的對角面的個數(shù)與底面上由nk到nk1時增加的對角線一樣，設(shè)nk時，底面為a1a2ak，nk1時底面為a1a2a3akak1，增加的對角線為a2ak1，a3ak1，a4ak1，ak1ak1，a1ak，共有(k1)條，因此對角面也增加了(k1)個答案：b9下列代數(shù)式，nn，可能被13整除的是()an35n b34n152n1c62n11 d42n13n2解析：a中，n1時，156，不能被13整除；b中，n1時，3553368不能被13整除；c中，n1時，617亦不能被13整除答案：d10用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn)時，從k到k1，左邊需要增加的代數(shù)式為()a2k1 b2(2k1)c d解析：當(dāng)nk時左邊的最后一項是2k，nk1時左邊的最后一項是2k2，而左邊各項都是連續(xù)的，所以nk1時比nk時左邊少了(k1)，而多了(2k1)(2k2)因此增加的代數(shù)式是2(2k1)答案：b二、填空題(本大題共有4小題，每小題5分，共20分)11設(shè)a，b均為正實數(shù)，nn，已知m(ab)n，nannan1b，則m，n的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：由貝努利不等式(1x)n1nx(x1，且x0，n1，nn)，當(dāng)n1時，令x，所以n1n，所以n1n，即(ab)nannan1b，當(dāng)n1時，mn，故mn.答案：mn12若數(shù)列an的通項公式an，記cn2(1a1)(1a2)(1an)，試通過計算c1，c2，c3的值，推測cn_.解析：c12(1a1)2，c22(1a1)(1a2)2，c32(1a1)(1a2)(1a3)2，故cn.答案：13從11,14(12)，149123,14916(1234)，歸納出：14916(1)n1n2_.解析：等式的左邊符號正負(fù)間隔出現(xiàn)，先正后負(fù)，所以最后一項系數(shù)應(yīng)為(1)n1，和的絕對值是前n個自然數(shù)的和為.答案：(1)n114設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an42n12的第二步中，設(shè)nk(k1，kn)時結(jié)論成立，即ak42k12，那么當(dāng)nk1時，需證明ak1_.解析：當(dāng)nk1時，把ak代入，要將42k2變形為42(k1)12的形式答案：42(k1)12三、解答題(本大題共有4小題，共50分)15(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：123252(2n1)2n(4n21)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(k1，kn)，命題成立，即123252(2k1)2k(4k21)那么當(dāng)nk1時，123252(2k1)22(k1)12k(4k21)(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)(2k3)(k1)(k1)4(k1)21當(dāng)nk1時，命題也成立由(1)(2)得：對于任意nn，等式都成立16(本小題滿分12分)求證：，(n2，nn)證明：(1)當(dāng)n2時，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn)時，命題成立，即，則當(dāng)nk1時，.所以當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對一切n2，nn均成立17(本小題滿分12分)利用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n1)7n1(nn)能被9整除證明：(1)當(dāng)n1時，(311)71127，能被9整除，所以命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn)時，命題成立，即(3k1)7k1能被9整除那么當(dāng)nk1時，3(k1)17k11(3k4)7k11(3k1)7k1137k1(3k1)7k137k16(3k1)7k(3k1)7k17k(2163k6)(3k1)7k197k(2k3)由歸納假設(shè)知，(3k1)7k1能被9整除，而97k(2k3)也能被9整除，故3(k1)17k11能被9整除這就是說，當(dāng)nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對一切nn，(3n1)7n1都能被9整除18(本小題滿分14分)an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a10，a23，an1an(an12)(an22)，n3,4,5，.(1)求a3；(2)證明：anan22(n3，且nn)解：(1)由已知a4a3(a22)(a12)52101，a3可能取值1,2,5,10.若a31，a410，從而a5，顯然a5不是非負(fù)整數(shù)，與題設(shè)矛盾若a310，則a41，從而a560.但再計算a6，也與題設(shè)矛盾a32，a45.(因a35，a42a5n，舍去)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時，a32，a1202，a3a12，即n3時等式成立；假設(shè)nk(k3)時，等式成立，即akak22，由題設(shè)ak1ak(ak12)(ak22)，因為akak220.所以ak1ak12，也就是說，當(dāng)nk1時，等式ak1ak12成立則根據(jù)知，對于n3(nn)，有anan22.模塊綜合檢測(時間90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1已知a，b為非零實數(shù)，且ab，則下列命題成立的是()aa2b2bab2a2bc d解析：a項中a2b2(ab)(ab)，由ab知ab0.但ab的符號不確定，故a項錯誤b項中，ab2a2bab(ba)，由a0，但ab的符號不確定，故b項錯誤c項中，由ab知ab0，又已知a，b為非零實數(shù)，0，即b baa.答案：b3已知函數(shù)f(x)、g(x)，設(shè)不等式|f(x)|g(x)|0)的解集是m，不等式|f(x)g(x)|0)的解集為n，則集合m與n的關(guān)系是()anm bmncmn dmn解析：由絕對值不等式的性質(zhì)知|f(x)g(x)|f(x)|g(x)|，集合n與集合m成mn關(guān)系答案：c4已知r，則4cos 的最大值是()a2 b3c d解析：由4cos 3.當(dāng)且僅當(dāng)4cos ，即sin ，cos 時，等號成立，故選b.答案：b5不等式|x1|x2|5的解集為()a(，22，)b(，12，)c(，23，)d(，32，)解析：由題意不等式|x1|x2|5的幾何意義為數(shù)軸上到1，2兩個點的距離之和大于等于5的點組成的集合，而2,1兩個端點之間的距離為3，由于分布在2,1以外的點到2,1的距離要計算兩次，而在2,1內(nèi)部的距離則只計算一次，因此只要找出2左邊到2的距離等于1的點3，以及1右邊到1的距離等于1的點2，這樣就得到原不等式的解集為(，32，)答案：d6已知為銳角，a，b均為正實數(shù)則下列不等式成立的是()a(ab)2b(ab)2ca2b2d(ab)2解析：設(shè)m，n(cos ，sin )，則|ab| ，所以(ab)2.答案：a7(安徽高考)若函數(shù)f(x)|x1|2xa|的最小值為3，則實數(shù)a的值為()a5或8 b1或5c1或4 d4或8解析：當(dāng)a2時，f(x)如圖1可知，當(dāng)x時，f(x)minf13，可得a8；當(dāng)a1時，不等式ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()a(，2) b2，)c3，) d(，3解析：ax，由xx113，即x的最小值為3.答案：d9若實數(shù)x、y滿足1，則x22y2有()a最大值32 b最小值32c最大值6 d最小值6解析：由題知，x22y2(x22y2)332，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立答案：b10若x1，則函數(shù)yx的最小值為()a16 b8c4 d非上述情況解析：yxx28，當(dāng)且僅當(dāng)x2時等號成立答案：b二、填空題(本大題共有4小題，每小題5分，共20分)11若x，y，z是正數(shù)，且滿足xyz(xyz)1，則(xy)(yz)的最小值為_解析：(xy)(yz)xyy2yzzxy(xyz)zx22.答案：212(廣東高考)不等式|x1|x2|5的解集為_解析：當(dāng)x1時，原不等式即x1x25x2，此時得到x2.于是原不等式的解集為x3或x2答案：x|x3或x213若不等式|xa|x2|1對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由題得|xa|x2|(xa)(x2)|a2|，|a2|1，解得a(，13，)答案：(，13，)14設(shè)正數(shù)a，b，c的乘積abc1，的最小值為_解析：設(shè)a，b，c，則xyz1，則可化為，不妨設(shè)xyz，則，據(jù)排序不等式得zxy，yzx，兩式相加并化簡可得23.即.即.所以的最小值為.答案：三、解答題(本大題共有4小題，共50分)15(本小題滿分12分)已知a，b是不