蘇教版必修4 1.3 第1課時　三角函數(shù)的周期性 學案.doc

第1課時三角函數(shù)的周期性問題1：今天是周三，66天后的那一天是周幾？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因為每隔七天，周一到周日依次循環(huán)，而66793，所以66天后的那一天是周六問題2：在三角函數(shù)中：(1)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(xk2)sin x(kz)(2)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即cos(xk2)cos x(kz)上述兩個結論說明正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有什么共同性質？提示：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有周期性1周期函數(shù)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零的常數(shù)t，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(xt)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)t叫做這個函數(shù)的周期2最小正周期(1)定義：對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k(kz且k0)都是它們的周期，它們的最小正周期都是2.(3)正切函數(shù)ytan x也是周期函數(shù)，并且最小正周期是.問題：由周期函數(shù)的定義可知ysin x，ysin 2x，ysin 3x，ysin，ysin的周期分別為2，4，6.你能猜出ysin 4x，ysinx的周期嗎？那么ysin x(0)的周期又是什么？提示：ysin 4x，ysinx的周期分別為，8；ysin x(0)的周期為.(1)若函數(shù)yf(x)的周期為t，則函數(shù)yaf(x)的周期為(其中a，為常數(shù)，且a0，0)(2)函數(shù)yasin(x)及yacos(x)(其中a，為常數(shù)，且a0，0)的周期t.1對周期函數(shù)與周期定義中的“對定義域內的任意一個x”，要特別注意“任意一個”的要求，如果只是對某些x有f(xt)f(x)成立，那么t就不是函數(shù)f(x)的周期例如：sinsin，但是sinsin，也就是說，不能對x在定義域內的每一個值都有sinsin x成立，因此不是函數(shù)ysin x的周期2從等式f(xt)f(x)(t0)來看，應強調的是與自變量x相加的常數(shù)才是周期，如f(2xt)f(2x)，t不是最小正周期，而應寫成ff(2x)，則是f(x)的最小正周期3若f(x)是周期函數(shù)，則其圖象平移周期的整數(shù)倍后，一定與原圖象完全重合，即周期函數(shù)的周期不唯一 例1求下列函數(shù)的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)2cos；(3)f(x)sin；(4)f(x)2cos(a0)思路點撥直接利用周期公式求解精解詳析(1)t6，最小正周期為6.(2)t，最小正周期為.(3)t4，最小正周期為4.(4)t，最小正周期為.一點通利用公式求yasin(x)或yacos(x)的最小正周期時，要注意的正負，公式可記為t；函數(shù)yatan(x)的最小正周期為t.1函數(shù)f(x)sin的最小正周期為_解析：t4.答案：42函數(shù)f(x)tan的最小正周期為_解析：t.答案：3若f(x)5sin的最小正周期為，求k.解：由t.|k|10，k10. 例2若f(x)是以為周期的奇函數(shù)，且f1，求f.思路點撥利用奇偶性、周期性將轉化可求精解詳析fffffff1.一點通函數(shù)的周期性與其它性質相結合是一類熱點問題，一般在條件中，周期性起到變量值轉化作用，也就是將所求函數(shù)值轉化為已知求解4設f(x)是定義在r上的以4為周期的奇函數(shù)，且f(1)1，則f(2 015)_.解析：f(x)的周期為4，f(x)為奇函數(shù)，且f(1)1.f(2 015)f(45041)f(1)f(1)(1)1.答案：15若f(x)是r上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(3)f(4)_.解析：由于f(x)的周期為5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)為r上的奇函數(shù)，f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案：16已知f(x)在r上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當x(0,2)時，f(x)2x2，求f(7)的值解：f(x4)f(x)，f(x)是周期為4的函數(shù)，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在r上是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而當x(0,2)時，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2.1求三角函數(shù)的周期的常用方法正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性實質是由終邊相同的角所具有的周期性決定的求三角函數(shù)的周期的常用方法有：(1)公式法：對形如函數(shù)yasin(x)及yacos(x)(a，為常數(shù)，a0，0)的周期直接用公式t求解；(2)定義法：用周期函數(shù)的定義求解；(3)圖象法：周期函數(shù)的圖象總是周而復始地重復同一個形狀，因而觀察圖象是不是周期性的循環(huán)也是判斷周期性的常用方法2周期函數(shù)的一些常見結論由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足f(x)