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第1課時三角函數(shù)的周期性問題1:今天是周三,66天后的那一天是周幾?你是如何推算的?提示:66天后的那一天是周六,因為每隔七天,周一到周日依次循環(huán),而66793,所以66天后的那一天是周六問題2:在三角函數(shù)中:(1)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等,即sin(xk2)sin x(kz)(2)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等,即cos(xk2)cos x(kz)上述兩個結論說明正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有什么共同性質?提示:正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有周期性1周期函數(shù)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零的常數(shù)t,使得定義域內的每一個x值,都滿足f(xt)f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)t叫做這個函數(shù)的周期2最小正周期(1)定義:對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k(kz且k0)都是它們的周期,它們的最小正周期都是2.(3)正切函數(shù)ytan x也是周期函數(shù),并且最小正周期是.問題:由周期函數(shù)的定義可知ysin x,ysin 2x,ysin 3x,ysin,ysin的周期分別為2,4,6.你能猜出ysin 4x,ysinx的周期嗎?那么ysin x(0)的周期又是什么?提示:ysin 4x,ysinx的周期分別為,8;ysin x(0)的周期為.(1)若函數(shù)yf(x)的周期為t,則函數(shù)yaf(x)的周期為(其中a,為常數(shù),且a0,0)(2)函數(shù)yasin(x)及yacos(x)(其中a,為常數(shù),且a0,0)的周期t.1對周期函數(shù)與周期定義中的“對定義域內的任意一個x”,要特別注意“任意一個”的要求,如果只是對某些x有f(xt)f(x)成立,那么t就不是函數(shù)f(x)的周期例如:sinsin,但是sinsin,也就是說,不能對x在定義域內的每一個值都有sinsin x成立,因此不是函數(shù)ysin x的周期2從等式f(xt)f(x)(t0)來看,應強調的是與自變量x相加的常數(shù)才是周期,如f(2xt)f(2x),t不是最小正周期,而應寫成ff(2x),則是f(x)的最小正周期3若f(x)是周期函數(shù),則其圖象平移周期的整數(shù)倍后,一定與原圖象完全重合,即周期函數(shù)的周期不唯一 例1求下列函數(shù)的最小正周期(1)f(x)2sin;(2)f(x)2cos;(3)f(x)sin;(4)f(x)2cos(a0)思路點撥直接利用周期公式求解精解詳析(1)t6,最小正周期為6.(2)t,最小正周期為.(3)t4,最小正周期為4.(4)t,最小正周期為.一點通利用公式求yasin(x)或yacos(x)的最小正周期時,要注意的正負,公式可記為t;函數(shù)yatan(x)的最小正周期為t.1函數(shù)f(x)sin的最小正周期為_解析:t4.答案:42函數(shù)f(x)tan的最小正周期為_解析:t.答案:3若f(x)5sin的最小正周期為,求k.解:由t.|k|10,k10. 例2若f(x)是以為周期的奇函數(shù),且f1,求f.思路點撥利用奇偶性、周期性將轉化可求精解詳析fffffff1.一點通函數(shù)的周期性與其它性質相結合是一類熱點問題,一般在條件中,周期性起到變量值轉化作用,也就是將所求函數(shù)值轉化為已知求解4設f(x)是定義在r上的以4為周期的奇函數(shù),且f(1)1,則f(2 015)_.解析:f(x)的周期為4,f(x)為奇函數(shù),且f(1)1.f(2 015)f(45041)f(1)f(1)(1)1.答案:15若f(x)是r上周期為5的奇函數(shù),且滿足f(1)1,f(2)2,則f(3)f(4)_.解析:由于f(x)的周期為5,所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)為r上的奇函數(shù),f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案:16已知f(x)在r上是奇函數(shù),且滿足f(x4)f(x),當x(0,2)時,f(x)2x2,求f(7)的值解:f(x4)f(x),f(x)是周期為4的函數(shù),f(7)f(241)f(1),又f(x)在r上是奇函數(shù),f(x)f(x),f(1)f(1),而當x(0,2)時,f(x)2x2,f(1)2122,f(7)f(1)f(1)2.1求三角函數(shù)的周期的常用方法正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性實質是由終邊相同的角所具有的周期性決定的求三角函數(shù)的周期的常用方法有:(1)公式法:對形如函數(shù)yasin(x)及yacos(x)(a,為常數(shù),a0,0)的周期直接用公式t求解;(2)定義法:用周期函數(shù)的定義求解;(3)圖象法:周期函數(shù)的圖象總是周而復始地重復同一個形狀,因而觀察圖象是不是周期性的循環(huán)也是判斷周期性的常用方法2周期函數(shù)的一些常見結論由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足f(x)
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