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11.3導數(shù)的幾何意義明目標、知重點1.理解導數(shù)的幾何意義.2.根據(jù)導數(shù)的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程1.割線斜率與切線斜率設函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,AB是過點A(x0,f(x0)與點B(x0x,f(x0x)的一條割線,此割線的斜率是.當點B沿曲線趨近于點A時,割線AB繞點A轉動,它的極限位置為直線AD,這條直線AD叫做此曲線在點A處的切線于是,當x0時,割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k,即kf(x0) .2導數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點xx0處的導數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率也就是說,曲線yf(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率是f(x0)相應地,切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)情境導學如果一個函數(shù)是路程關于時間的函數(shù),那么函數(shù)在某點處的導數(shù)就是瞬時速度,這是函數(shù)的實際意義,那么從函數(shù)的圖象上來考察函數(shù)在某點處的導數(shù),它具有怎樣的幾何意義呢?這就是本節(jié)我們要研究的主要內容探究點一導數(shù)的幾何意義思考1如圖,當點Pn(xn,f(xn)(n1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點P(x0,f(x0)時,割線PPn的變化趨勢是什么?答當點Pn趨近于點P時,割線PPn趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線思考2曲線的切線是不是一定和曲線只有一個交點?答不一定曲線的切線和曲線不一定只有一個交點,和曲線只有一個交點的直線和曲線也不一定相切如圖,曲線的切線是通過逼近將割線趨于確定位置的直線例1如圖,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)h(t)4.9t26.5t10的圖象根據(jù)圖象,請描述、比較曲線h(t)在t0,t1,t2附近的變化情況解我們用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線,刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況(1)當tt0時,曲線h(t)在t0處的切線l0平行于t軸所以,在tt0附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降(2)當tt1時,曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h(t1)0.所以,在tt1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在tt1附近單調遞減(3)當tt2時,曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h(t2)0(即切線的斜率大于零),則函數(shù)yf(x)在xx0附近的圖象是上升的;若f(x0)0,所以,在tt3,tt4附近單調遞增,且曲線h(t)在t3附近比在t4附近遞增得快(2)若函數(shù)yf(x)的導函數(shù)在區(qū)間a,b上是增函數(shù),則函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的圖象可能是()答案A解析依題意,yf(x)在a,b上是增函數(shù),則在函數(shù)f(x)的圖象上,各點的切線的斜率隨著x的增大而增大,觀察四個選項的圖象,只有A滿足探究點二求切線的方程思考1怎樣求曲線f(x)在點(x0,f(x0)處的切線方程?答根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)yf(x)在點(x0,f(x0)處的導數(shù),即曲線在該點處的切線的斜率,再由直線方程的點斜式求出切線方程思考2曲線f(x)在點(x0,f(x0)處的切線與曲線過某點(x0,y0)的切線有何不同?答曲線f(x)在點(x0,f(x0)處的切線,點(x0,f(x0)一定是切點,只要求出kf(x0),利用點斜式寫出切線即可;而曲線f(x)過某點(x0,y0)的切線,給出的點(x0,y0)不一定在曲線上,即使在曲線上也不一定是切點例2已知曲線yx2,求:(1)曲線在點P(1,1)處的切線方程;(2)曲線過點P(3,5)的切線方程解(1)設切點為(x0,y0),y|xx0 2x0,斜率k2.曲線在點P(1,1)處的切線方程為y12(x1),即2xy10.(2)點P(3,5)不在曲線yx2上,設切點為(x0,y0)由(1)知,k2x0,切線方程為yy02x0(xx0),由P(3,5)在所求直線上得5y02x0(3x0)再由A(x0,y0)在曲線yx2上得y0x聯(lián)立,得,x01或x05.從而切點A的坐標為(1,1)或(5,25)當切點為(1,1)時,切線的斜率為k12x02,此時切線方程為y12(x1),即2xy10,當切點為(5,25)時,切線的斜率為k22x010,此時切線方程為y2510(x5),即10xy250.綜上所述,過點P(3,5)且與曲線yx2相切的直線方程為2xy10或10xy250.反思與感悟求曲線上某點處的切線方程,可以直接利用導數(shù)求出曲線上此點處的斜率,然后利用點斜式寫出切線方程;求曲線過某點的切線方程,要先求出切點坐標跟蹤訓練2已知直線l:y4xa和曲線C:yf(x)x32x23相切,求a的值及切點坐標解設直線l與曲線C相切于點P(x0,y0),f(x) 3x24x,kf(x0)3x4x0.由題意可知k4,即3x4x04,解得x0或x02,切點的坐標為(,)或(2,3)當切點為(,)時,有4()a,解得a.當切點為(2,3)時,有342a,解得a5.當a時,切點坐標為(,);當a5時,切點坐標為(2,3)1已知曲線f(x)2x2上一點A(2,8),則點A處的切線斜率為()A4 B16 C8 D2答案C解析f(2) (82x)8,即k8.2若曲線yx2axb在點(0,b)處的切線方程是xy10,則()Aa1,b1 Ba1,b1Ca1,b1 Da1,b1答案A解析由題意,知k 1,a1.又(0,b)在切線上,b1,故選A.3已知曲線yf(x)2x24x在點P處的切線斜率為16,則P點坐標為_答案(3,30)解析設點P(x0,2x4x0),則f(x0) 4x04,令4x0416得x03,P(3,30)呈重點、現(xiàn)規(guī)律1導數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0,f(x0)處的切線的斜率,即k f(x0),物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度2“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值,不是變數(shù),“導函數(shù)”是一個函數(shù),二者有本質的區(qū)別,但又有密切關系,f(x
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