中考數(shù)學專題：最短距離問題.doc

最短距離問題分析 洪湖市峰口鎮(zhèn)二中 劉萬兵最值問題是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強的問題，它貫穿初中數(shù)學的始終，是中考的熱點問題，它主要考察學生對平時所學的內(nèi)容綜合運用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論（如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等）。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都歸于兩類基本模型：、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：（1）歸于“兩點之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時，大都應用這一模型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最大值”時，大都應用這一模型。 ABPl幾何模型：條件：如圖，、是直線同旁的兩個定點問題：在直線上確定一點，使的值最小方法：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點，則的值最?。ú槐刈C明）ABECBD圖1模型應用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱連結(jié)交于，則的最小值是_；OABC圖2P（2）如圖2，的半徑為2，點在上，是上一動點，求的最小值；解：（1）的最小值是 （2）的最小值是【典型例題分析】ADEPBC1.如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（ ） A B C3 DBOAxy2如圖，拋物線的頂點為A，與y 軸交于點B(1)求點A、點B的坐標；(2)若點P是x軸上任意一點，求證：PA-PBAB；(3)當PA-PB最大時，求點P的坐標.解：(1)令x=0，得y=2， B(0，2) A(-2，3)(2)證明：.當點P是AB的延長線與x軸交點時，PA-PB=AB；.當點P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點時，BOAxyPH在點P、A、B構(gòu)成的三角形中，PA-PBAB. 綜合上述：PA-PBAB.(3)作直線AB交x軸于點P由(2)可知：當PA-PB最大時，點P是所求的點作AHOP于H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)標為 的周長即是 第4題4.一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標原點，設OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PCPD的最小值，并求取得最小值時P點坐標解：(1)將點A、B的坐標代入ykxb并計算得k2，b4解析式為：y2x4；(2)設點C關(guān)于點O的對稱點為C，連結(jié)PC、DC，則PCPCPCPDPCPDCD，即C、P、D共線時，PCPD的最小值是CD連結(jié)CD，在RtDCC中，CD2；易得點P的坐標為(0，1)(亦可作RtAOB關(guān)于y軸對稱的)5.已知：拋物線的對稱軸為與軸交于兩點，與軸交于點其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小請求出點P的坐標ACxyBO5題圖ACxyBO解：（1）此拋物線的解析式為（2）連結(jié)、.因為的長度一定，所以周長最小，就是使最小.點關(guān)于對稱軸的對稱點是點，與對稱軸的交點即為所求的點.（第24題圖）OACxyBEPD設直線的表達式為則解得此直線的表達式為把代入得點的坐標為6.如圖，拋物線的頂點P的坐標為，交x軸于A、B兩點，交y軸于點DOxyBEPAC（1）求拋物線的表達式（2）把ABC繞AB的中點E旋轉(zhuǎn)180，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）由題意知DOxyBEPCP解得， 拋物線的解析式為 （2）設點A（，0），B（，0），則，解得 OA1，OB3又tanOCBOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ACBD，BCAD 四邊形ADBC是平行四邊形 又ACB90四邊形ADBC是矩形 （3）延長BC至N，使假設存在一點F，使FBD的周長最小即最小DB固定長只要FD+FB最小又CABN FD+FBFD+FN當N、F、D在一條直線上時，F(xiàn)D+FB最小 又C為BN的中點， （即F為AC的中點） 又A（1，0），C（0，） 點F的坐標為F（，） 存在這樣的點F（，），使得FBD的周長最小 AFEM7.如圖（1），拋物線和軸的交點為為的中點，若有一動點，自點處出發(fā)，沿直線運動到軸上的某點（設為點），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設為點），最后又沿直線運動到點，求使點運動的總路程最短的點，點的坐標，并求出這個最短路程的長。解：如圖（1），由題意可得（0，3），拋物線的對稱點為，點關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為（6，3）。連結(jié)。根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知，的長就是所求點運動中最短總路程的長，在直線的方程為（過程略）。AFEMB33設與的交點為則為在軸上所求的點，與直線的交點為所求的F點。