可化為一元二次方程的分式方程2.doc

文件 sxc3dja0005.doc科目 數(shù)學(xué)年級(jí) 初三章節(jié) 關(guān)鍵詞 一元二次方程/分式方程標(biāo)題 可化為一元二次方程的分式方程內(nèi)容 教學(xué)目標(biāo)(一)使學(xué)生理解把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解方程的一個(gè)原則；(二)使學(xué)生會(huì)解可化為一元二次方程的分式方程；(三)使學(xué)生理解在方程兩邊乘以整式有可能增根，從而知道驗(yàn)根是解分式方程的必要步驟；(四)使學(xué)生進(jìn)一步掌握換元法的技巧.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)解可化為一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必須驗(yàn)根.難點(diǎn)：理解方程的同解原理，會(huì)運(yùn)用換元思想方法等計(jì)算技巧.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)前一階段，我們對(duì)于一元二次方程已作了較完整的研究：研究了一元二次方程的各種解法、一元二次方程的根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系以及歸結(jié)為列出一元二次方程的應(yīng)用題.今后三課進(jìn)我們要研究可化為一元二次方程的分式方程的解法與有關(guān)的應(yīng)用題.我們?cè)诔踔写鷶?shù)第二冊(cè)第九章已經(jīng)學(xué)過(guò)了可化為一元一次方程的分式方程.所以今后的三課時(shí)，只是在方程形式上不同，解法與算理是和初二代數(shù)里的分式方程一樣的.解：方程兩邊都乘以x(x-1),去分母得(x+5)-3(x-1)=6x,x=1.把x=1代入x(-1),它等于零，所以x=1是原方程的增根，原方程無(wú)解.另解：把方程的各個(gè)分式都移到等號(hào)左邊，并化簡(jiǎn) x-1是方程的分母的因式，必須x-10,所以分子、分母約去x-1,得,因?yàn)榉肿硬粸榱悖?，即原方程無(wú)解.請(qǐng)同學(xué)回答以下問(wèn)題：1.什么是分式方程?2.解分式方程的一般方法與步驟是什么?3.為什么解分式方程必須驗(yàn)根?應(yīng)當(dāng)怎樣驗(yàn)根?(分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，解分式方程的一般方法是去分母化分式方程為整式方程.解分式方程有三步：第一步：去分母，化分式方程為整式方程.第二步：解整式方程.第三步：驗(yàn)根.把整式方程的根中不適合分式方程的舍去.驗(yàn)根的方法是把變形后求得的形式方程的根代入去分母時(shí)所乘的整式，如果使這個(gè)整式等于0，就是增根)去分母的關(guān)鍵是找出各分母的最簡(jiǎn)公分母.由于去分母過(guò)程是在方程兩邊乘以含未知數(shù)的整式(最簡(jiǎn)公分母)，當(dāng)此乘式為零時(shí)，就破壞了方程的同解原理，因此從第二步解出的整式方程的根就不一定是原分式方程的根，所以必須驗(yàn)根.(二)新課方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),約去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，整理后，得x2-3x+2=0,解這個(gè)方程，得x1=1,x2=2.檢驗(yàn)：把x=1化入最簡(jiǎn)公分母，它不等于0，所以x=1是原方程的根；把x=2代入最簡(jiǎn)公分母，它等于0，所以x=2是增根.因此原方程的根是x=1.解：把各個(gè)分母分解因式，并求出最簡(jiǎn)公分母 方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(2x+1)(2x-1)(2x-3),得2(2x-1)-(2x+1)+(2x-5)(2x-3)=0,整理，得 4x2-14x+12=0,2x2-7x+6=0,x1=2,x2=把x=2代入最簡(jiǎn)公分母，所得的值不為零；把x=代入最簡(jiǎn)公分母，所得的值為零，所以x=是增根.答：原方程的根是x=2.分析：(1)這個(gè)分式方程如果用去分母法解，方程兩邊要同乘以(x+1)(x2+1),所得到的將是一個(gè)難題的四次方程.所以，要考慮別的解法.(2) 觀察方程的特點(diǎn)，可見(jiàn)含未知數(shù)的兩部分式子互為倒數(shù).(3) 由于具有倒數(shù)關(guān)系，如果設(shè)，原方程就可變形為 ，此方程去分母可化為一元二次方程2x2-7y+6=0.從中解出y，再解出x.因此，原分式方程可用換元法來(lái)解.方程的兩邊都乘以y,約去分母，得2y2-7y+6=0. 檢驗(yàn)：把分別原方程的分母，各分母都不等于0，所以它們都是原方程的根. 換元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的方程的特殊方法.它的基本思想是用換元的方法把某些式子的形式簡(jiǎn)化，從而把原方程的形式簡(jiǎn)化.例4 解分式方程： 經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，這四個(gè)根都適合.所以原分式方程的解是例5 解關(guān)于x的方程：解：方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母abx(a+b+c)去分母，得 bx(a+b+x)+ax(a+b+x)+ab(a+b+x)=abx. 整理得 (a+b)x2+(a+b)2x+ab(a+b)=0. (1) 當(dāng)a+b0時(shí)，x2+(a+b)x+ab=0,x1=-a,x2=-b.(2) 當(dāng)a+b=0時(shí)，方程中的x0.(否則a+b+x=0,使原方程等號(hào)右邊的分式母為零)經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)a+b0時(shí)，原方程的解是x1=-a,x2=-b;當(dāng)a+b=0時(shí)，原方程的解是一切非零實(shí)數(shù).說(shuō)明：當(dāng)a+b=0時(shí)，檢驗(yàn)的方法是x=t(t0)，代入原方程解字母系數(shù)的方程應(yīng)注意對(duì)字母的取值予以討論. (A) 0個(gè) (B) 1個(gè) (C)2個(gè) (D) 無(wú)數(shù)多個(gè)分析：去分母，得4+2(x+3)2=(x-1)(x+3),整理得x2+10x+25=0,得x1=x2=-5.對(duì)朱方程業(yè)說(shuō)，分式方程不計(jì)次數(shù)，應(yīng)算一個(gè)根.所以選(B).例7 判斷下面的解分式方程過(guò)程是否正確?解：方程兩邊通分，得 因?yàn)榉肿酉嗟?，所以分析：上面的解法錯(cuò)誤地認(rèn)為：“相等的兩個(gè)分式，如果分子相等，則分母必相等”，事實(shí)上，時(shí)分子相等，但分母3與5并不相等.正確的解法是：.分析：若用最簡(jiǎn)公分母(x2+11x-8)(x2+2x-8)(x2-13x-8)乘方程兩邊，得(x2+2x-8)(x2-13x-8)+(x2+11x-8)(x2-13x-8)+(x2+11x-8)(x2+2x-8)=0.式中每項(xiàng)的兩個(gè)括號(hào)之積都是4次式，運(yùn)算起來(lái)很復(fù)雜.我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)括號(hào)里都含用x2-8,如果令y=x2-8,即把2次式降為1次式，于是式中每項(xiàng)的兩個(gè)括號(hào)之積都降為2次式，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便些.解令y=x2-8，則原方程轉(zhuǎn)化為 去分母，得 (y+2x)(y-13x)+(y+11x)(y-13x)+(y+11x)(y+2x)=0. 去括號(hào) ，整理得 y2-49x2=0,(y+7x)(y-7x)=0.所以y1=-7x,y2=7x. (1)當(dāng)y1=-7x時(shí)，得x2-8=-7x.即 x2+7x-8=0,x1=-8,x2=1; (2)當(dāng)y2=7x時(shí)，得x2-8=7x.即x2-7x-8=0.x3=8,x4=-1.經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，可知這四個(gè)根都是適合原方程. 答：原方程的根是x1=-8,x2=1,x3=8,x4=-1.(三)課堂練習(xí)(四)小結(jié)在初中代數(shù)第二冊(cè)第九章分式中，我們已學(xué)過(guò)用去分母法解可化為一元一次方程的分式方程.與此相仿，我們也可以用去分母法解可化為一元二次方程的分式方程.解題步驟有三步.第一步：去分母；第二步：解所得的整式方程；第三步：驗(yàn)根.解題關(guān)鍵是找到各分母的最簡(jiǎn)公分母.在去分母時(shí)，要用最簡(jiǎn)公分母乘方程兩邊，注意不要漏掉右邊.驗(yàn)根的方法有兩種：一是把求得的根代入原方程的分母，使分母為零的值是增根，應(yīng)舍去；二是代入所乘的最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母的值為零的值是增根，應(yīng)舍去.(五)作業(yè)1.解下列方程：2.用換元法解下列方程：.3.解下列關(guān)于x的方程：.4.解方程.作業(yè)的答案或提示課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明這里安排兩節(jié)課的內(nèi)