蘇教版選修22 第2章推理與證明 章末專題整合 課件（26張）.ppt

第2章推理與證明 第2章推理與證明 1 合情推理歸納推理和類比推理是常用的合情推理 都是根據(jù)已有的事實(shí) 經(jīng)過(guò)觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進(jìn)行歸納類比 然后提出猜想的推理 歸納推理是由部分特殊的對(duì)象特征得到一般性的結(jié)論的推理方法 它在數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有十分重要的意義 通過(guò)歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新知識(shí) 探索新結(jié)論 探索解題思路 預(yù)測(cè)答案等 合情推理與演繹推理 類比推理是從特殊到特殊的一種推理方法 類比法有助于啟迪思維 觸類旁通 拓寬知識(shí)面 發(fā)現(xiàn)新命題等 進(jìn)行類比推理時(shí) 要合理確定類比對(duì)象 要對(duì)兩類對(duì)象的共同特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比 著名哲學(xué)家康德說(shuō) 每當(dāng)理智缺乏可靠論證思路時(shí) 類比法往往能指明前進(jìn)的方向 合情推理的結(jié)論不一定正確 有待于演繹推理的驗(yàn)證 而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得的 合情推理可以為演繹推理提供方向和思路 給出一個(gè) 三角形 的數(shù)表如下圖 此表構(gòu)成的規(guī)則是 第一行是0 1 2 999 以后下一行的數(shù)是上一行相鄰兩個(gè)數(shù)的和 試求第四行的數(shù)中能被999整除的數(shù) 2 演繹推理演繹推理又叫邏輯推理 是由一般性的命題推出特殊命題的一種推理形式 其中 最普遍的一種演繹推理叫三段論 三段論的公式中包含三個(gè)命題 第一個(gè)命題稱為大前提 它提供了一個(gè)一般的原理 第二個(gè)命題叫小前提 它指出了一個(gè)特殊對(duì)象 這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái) 揭示了一般原理和特殊對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系 從而產(chǎn)生了第三個(gè)命題 結(jié)論 如圖 正三棱柱abc a1b1c1的棱長(zhǎng)均為a d e分別為c1c與ab的中點(diǎn) a1b交ab1于點(diǎn)g 1 求證 a1b ad 2 求證 ce 平面ab1d 證明 1 如圖 連結(jié)a1d dg bd 三棱柱abc a1b1c1是棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱 四邊形a1abb1為正方形 a1b ab1 d是c1c的中點(diǎn) a1c1d bcd a1d bd 點(diǎn)g為a1b與ab1的交點(diǎn) 點(diǎn)g為a1b的中點(diǎn) a1b dg 又 dg ab1 g a1b 平面ab1d 1 綜合法和分析法 綜合法和分析法是直接證明中兩種最基本的證明方法 但這兩種方法證明思路完全相反 綜合法是 由因?qū)Ч?而分析法是 執(zhí)果索因 一般情況下是用分析法尋找解題思路 然后用綜合法證明問(wèn)題 它們相互轉(zhuǎn)換 相互滲透 要充分利用這一辨證關(guān)系 在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用 轉(zhuǎn)換解題思路 增加解題途徑 直接證明與間接證明 2 反證法 反證法是一種間接證明的方法 它的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的兩個(gè)命題為等價(jià)命題 它反映了 正難則反 的思想 反證法著眼于命題的轉(zhuǎn)換 改變了研究的角度和方向 使論證的目標(biāo)更為明確 由于增加了推理的前提 原結(jié)論的否定 更易于開(kāi)拓思路 因此對(duì)于直接論證較為困難的時(shí)候 往往采用反證法證明 所以反證法在數(shù)學(xué)證明中有著廣泛的應(yīng)用 適宜用反證法證明的命題有 a 結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的命題 b 關(guān)于惟一性 存在性的命題 c 結(jié)論是以 至多 至少 等形式出現(xiàn)的命題 d 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體 更容易研究的命題 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求證 a 0 b 0 c 0 證明 假設(shè)a0 知bc0 知b c a 0 于是ab bc ca a b c bc0矛盾 故a 0 同理可證b 0 c 0 數(shù)學(xué)歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)問(wèn)題的最有力的工具 它的第一步稱為奠基步驟 是論證的基礎(chǔ)保證 即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn) 這個(gè)起點(diǎn)必須真實(shí)可靠 它的第二步稱為遞推步驟 是命題具有后續(xù)傳遞性的保證 兩步合在一起為完全歸納步驟 這兩步缺一不可 第二步中證明 當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論正確 的過(guò)程中 必須使用 歸納假設(shè) 否則證明就是錯(cuò)誤的 就不是數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法 1 一般與特殊的思想一般與特殊的思想是本章中體現(xiàn)出的另一個(gè)比較明顯的學(xué)科思想 它主要應(yīng)用于歸納 猜想 證明中 常見(jiàn)題型是 第一步給出命題 與正整數(shù)有關(guān) 的結(jié)構(gòu) 第二步要求學(xué)生計(jì)算出三個(gè)至四個(gè)初始值 第三步要求學(xué)生通過(guò)已計(jì)算出的初始值 應(yīng)用不完全歸納法 發(fā)現(xiàn)命題的一般性規(guī)律 做出科學(xué)的猜想和判斷 敢于猜想 善于猜想 最后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)相關(guān)問(wèn)題加以證明 數(shù)學(xué)思想方法 2 轉(zhuǎn)化與化歸的思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法 數(shù)學(xué)中的一切問(wèn)題的解決都離不開(kāi)化歸與轉(zhuǎn)化 化歸與轉(zhuǎn)化的原則是 將不熟悉的或難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問(wèn)題 將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問(wèn)題 將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題 將一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問(wèn)題 將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 本章中無(wú)論是推理過(guò)程還是用分析法 綜合法 反證法 數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程中都用到了化歸與轉(zhuǎn)化思想 解 由f x 是r上的奇函數(shù)可得f 0 0 又f x 在 0 上是增函數(shù) 故f x 在r上為增函數(shù) 由題設(shè)條件