甘肅省武威市涼州區(qū)武威第一中學2019-2020學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）.doc

武威一中2019年秋季學期期中考試高二年級數(shù)學試卷第卷（選擇題共48分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設為定點，動點滿足|，則動點的軌跡是（ ）a. 橢圓b. 直線c. 圓d. 線段【答案】d【解析】因為為定點，動點滿足|，即動點到兩定點的距離之和等于兩定點連線的距離，所以動點的軌跡是線段（若不在上，必有|）,故選d.【此處有視頻，請去附件查看】2.已知是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于兩點，則的周長為（ ）a. 16b. 8c. 25d. 32【答案】a【解析】因為橢圓方程我，所以 ，由題意的定義可得的周長，故選a.3.設命題，則為（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】a【解析】【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，可直接得出結果.【詳解】解：表示對命題的否定，“，”的否定是“，” 故選【點睛】本題主要考查命題的否定，只需改寫量詞與結論即可，屬于常考題型.4.雙曲線的焦點軸上，若焦距為4，則等于（ ）a. 1b. c. 4d. 10【答案】c【解析】 由題意雙曲線的焦點在軸上，則方程可化為， 又由，即，所以，故選c5.“”是“方程表示雙曲線”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】若方程表示雙曲線，則有，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為方程表示雙曲線等價于，所以“”，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選a.【點睛】本題考查充分條件與必要條件以及雙曲線的性質，屬于基礎題.6.有下列命題：面積相等的三角形是全等三角形；“若，則”的逆命題；“若，則”的否命題；“矩形的對角線互相垂直”的逆命題，其中真命題為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】逐一考查所給的命題：面積相等的三角形不一定是全等三角形，該命題錯誤;“若,則”的逆命題為“若,則”，該命題正確;“若,則”的否命題為“若,則”，該命題正確;“矩形對角線互相垂直”為假命題，則其逆否命題為假命題，原命題錯誤.綜上可得：真命題為.本題選擇b選項.7.雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求雙曲線的一條漸近線為，再利用直線互相垂直得，代入即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線為，漸近線與直線垂直，得，即，代入故選：c【點睛】本題考查了雙曲線的離心率求法，漸近線方程，屬于基礎題.8.橢圓中以點m(1，2)為中點的弦所在直線斜率為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設弦的兩端點為，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選a.【點睛】本題主要考查了橢圓的性質以及直線與橢圓的關系在解決弦長的中點問題，涉及到“中點與斜率”時常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化，達到解決問題的目的，屬于中檔題.9.下列命題中，不是真命題的是（ ）a. 命題“若，則”的逆命題.b. “”是“且”的必要條件.c. 命題“若，則”的否命題.d. “”是“”的充分不必要條件.【答案】a【解析】命題“若，則”的逆命題為：若，則,顯然是錯誤的，當m=0時則不成立，故a是假命題.10.已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，則線段的中點到軸的距離為 ( ) a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，的中點為，過作準線的垂線，垂足為，則可利用幾何性質得到，故可得到軸的距離.【詳解】拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，的中點為，過作準線的垂線，垂足為，因為是該拋物線上的兩點，故，所以，又為梯形的中位線，所以，故到軸的距離為，故選c.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，屬于基礎題.【此處有視頻，請去附件查看】11.已知圓和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是a. b. c. d. 【答案】b【解析】試題分析：因為m是線段bp的垂直平分線上的點，所以，因為p是圓上一點，所以，所以m點的軌跡為以b,c為焦點的橢圓，所以，所以軌跡方程為.考點：本小題主要考查軌跡方程的求解.點評：求軌跡方程時，經(jīng)常用到圓錐曲線的定義，根據(jù)定義判斷出動點的軌跡是什么圖形，再根據(jù)標準方程求解即可.12.已知橢圓：的右焦點為，短軸的一個端點為，直線：交橢圓于，兩點，若，點與直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：設為橢圓的左焦點，連接，由橢圓的對稱性，結合橢圓的定義可得，利用點與直線的距離不小于列不等式求解即可.詳解：可設為橢圓的左焦點，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可得四邊形是平行四邊形，取，點到直線的距離不小于，所以，解得，橢圓的離心率的取值范圍是，故選b.點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應先將 用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍.第卷（共72分）二填空題：本大題共4小題，每小題4分共16分.13.已知點為上一點，則p到拋物線的焦點f的距離是_.【答案】3【解析】【詳解】解析過程略14.設，分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，是的中點，則點到橢圓左焦點的距離為_【答案】【解析】分析】先由題意得到，是中位線，由求出，再由橢圓定義，即可求出結果.【詳解】解：根據(jù)題意知，是中位線，故答案為4【點睛】本題主要考查橢圓上的點到焦點的距離，熟記橢圓定義即可，屬于基礎題型.15.設是橢圓的兩個焦點，在橢圓上，且滿足，則的面積是_?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意，得，即，則，即，所以面積為.點睛：本題考查橢圓的定義和余弦定理的應用；在處理橢圓或雙曲線中涉及兩個焦點問題時，往往利用橢圓或雙曲線的定義（定和或定差）進行處理，往往再結合正弦定理、余弦定理進行求解.16.已知點及拋物線上一動點，則的最小值是_.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，將轉化為，并由此求得最小值.【詳解】拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可知，所以.故當三點共線時，有最小值.故答案為：.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.三、解答題：共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知命題：“曲線：表示焦點在軸上的橢圓”，命題：不等式對于任意恒成立，若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】根據(jù)曲線方程表示焦點在軸上的橢圓列不等式，解不等式求得命題為真時，的取值范圍.根據(jù)一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式，解不等式求得命題為真時，的取值范圍.由于為真命題，故取上述為真時的取值范圍的并集，得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】：，：，由于為真命題，故為真命題或為真命題，從而有或，即.【點睛】本小題主要考查根據(jù)含有邏輯連接詞命題的真假性求參數(shù)的取值范圍，考查方程表示橢圓的條件，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.18.已知雙曲線：的離心率為，實軸長為2（1）求雙曲線的方程； （2）若直線被雙曲線截得的弦長為，求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率、實軸長以及，求得出的值，進而求得雙曲線的標準方程.（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，寫出韋達定理，根據(jù)弦長公式列方程，解方程求得的值.【詳解】（1）由離心率為，實軸長為2，解得，所求雙曲線的方程為（2）設，聯(lián)立，化為，化為，解得【點睛】本小題主要考查雙曲線標準方程的求法，考查直線和雙曲線相交所得弦長有關計算問題，考查運算求解能力，考查方程的思想，屬于中檔題.19.（文科學生做）已知集合，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求出a,b集合的解集，a集合求定義，b集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關系求解.詳解：(1), 則 (2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且 由，得，解得 經(jīng)檢驗，當時，成立，故實數(shù)的取值范圍是 點睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關系是解題關鍵，屬于基礎題.20.已知拋物線：與直線交于，兩點（1）求弦的長度；（2）若點在拋物線上，且的面積為12，求點的坐標【答案】（1）（2）或【解析】試題分析：（1）由，弦的長度為；（2）設點到的距離或點為或試題解析：（1）設，由得，由韋達定理有，弦的長度為（2）設點，設點到的距離為，則，即，解得或，點為或考點：1、直線與拋物線；2、弦長；3、三角形面積.21.已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且，求直線的斜率的取值范圍；【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）利用離心率，點在曲線上，列出的方程。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程根據(jù)韋達定理列出，關系式，利用向量關系式，列出關于斜率的不等式，解出取值范圍。詳解：（1）設橢圓的方程為： ， 由已知： 得： ， ，所以，橢圓的方程為： . （2）由題意，直線斜率存在，故設直線的方程為由得 由即有 即有解得 綜上：實數(shù)的取值范圍為點睛：求參數(shù)的取值范圍，最終落腳點在于計算直線與曲線的交點坐標的關系式。根據(jù)題目的條件，轉化為，關系的式子是解題的關鍵。22.已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設直線斜率為，且與橢圓的另一個交點為，是否存在點，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1) (2)見解析【解析】【分析】（1）由題可得當為的短軸頂點時，的面積有最大值，根據(jù)橢圓的性質得到、的方程，解方程即可得到橢圓的方程；（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，得到關于的一元二次方程，表示出根與系數(shù)的關系，即可得到的中點坐標，要使，則直線為線段的垂直平分線，利用直線垂直的關系