數(shù)學(xué)人教版九年級上冊動態(tài)幾何中的定值問題.docx

動態(tài)幾何中的定值問題廣西大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)組 李佳2017.6.20動態(tài)幾何中的定值問題是近幾年中考命題的熱點，題目靈活、多變，能夠全面學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。動態(tài)幾何中的定值問題是指在研究的圖形中有一部分圖形的大小、位置固定，而另一部分圖形的大小、位置按某種規(guī)律變動，但是與變動圖形有關(guān)的幾何量一定。下面舉幾例來看看動態(tài)幾何中的定值問題。例1如圖，已知BC是O的弦，A是O外一點，ABC為正三角形，D為BC的中點，M為O上一點，并且BMC=60（1）求證：AB是O的切線；（2）若E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個動點，且EDF=120，O的半徑為2，試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由考點：切線的判定；等邊三角形的性質(zhì).專題：證明題分析：（1）連結(jié)OB、OD，如圖1，由于D為BC的中點，根據(jù)垂徑定理的推理得ODBC，BOD=COD，再根據(jù)圓周角定理得BOD=M=60，則OBD=30，所以ABO=90，于是根據(jù)切線的判定定理得AB是O的切線；（2）作DMAB于M，DNAC于N，連結(jié)AD，如圖2，根據(jù)等邊三角形三角形的性質(zhì)得AD平分BAC，BAC=60，則利用角平分線性質(zhì)得DM=DN，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得MDN=120，由于EDF=120，所以MDE=NDF，接著證明DMEDNF得到ME=NF，于是BE+CF=BM+CN，再計算出BM=BD，CN=OC，則BE+CF=BC，于是可判斷BE+CF的值是定值，為等邊ABC邊長的一半解答：（1）證明：連結(jié)OB、OD，如圖1，D為BC的中點，ODBC，BOD=COD，ODB=90，BMC=BOC，BOD=M=60，OBD=30，ABC為正三角形，ABC=60，ABO=60+30=90，ABOB，AB是O的切線；（2）解：BE+CF的值是為定值作DMAB于M，DNAC于N，連結(jié)AD，如圖2，ABC為正三角形，D為BC的中點，AD平分BAC，BAC=60，DM=DN，MDN=120，EDF=120，MDE=NDF，在DME和DNF中，DMEDNF，ME=NF，BE+CF=BMEM+CN+NF=BM+CN，在RtDMB中，DBM=60，BM=BD，同理可得CN=OC，BE+CF=OB+OC=BC，BE+CF的值是定值，為等邊ABC邊長的一半點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可也可了等邊三角形的性質(zhì)例2如圖，在ABC中，D是AB邊上一點，O過D、B、C三點，DOC=2ACD=90（1）求證：直線AC是O的切線；（2）如果ACB=75，若O的半徑為2，求BD的長；試問CD：BC的值是否為定值？若是，直接寫出這個比值；若不是，請說明理由（考點）切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)（專題）證明題（分析）（1）由DOC=2ACD=90易得ACD=45，OCD為等腰直角三角形，則OCD=45，于是可計算出OCA=90，則可根據(jù)切線的判定定理得到直線AC是O的切線；（2）由于ACB=75，ACD=45則DCB=30，由OCD為等腰直角三角形得到CD=OC=2，根據(jù)圓周角定理得到DBC=COD=45，作DHBC于H，如圖，利用解直角三角形，先在RtCDH中求出DH=CD=，然后在RtBDH中可計算出BD的長；設(shè)O的半徑r，則CD=r，與一樣先求出DH=CD=r，CH=DH=r，再求出BH=DH=r，所以BC=BH+CH=r，然后的值（1）證明：DOC=2ACD=90，ACD=45，OCD為等腰直角三角形，OCD=45，OCA=OCD+ACD=90，OCAC，直線AC是O的切線；（2）解：ACB=75，ACD=45，DCB=30，OCD為等腰直角三角形，CD=OC=2，DBC=COD=45，作DHBC于H，如圖，在RtCDH中，DCH=30，DH=CD=2=，在RtBDH中，DBH=45，BD=DH=2；CD：BC的值是定值設(shè)O的半徑r，則CD=r，在RtCDH中，DCH=30，DH=CD=r，CH=DH=r，在RtBDH中，DBH=45，BH=DH=r，BC=BH+CH=