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“考研數(shù)學”做到更好,追求最好 南工程考研數(shù)學輔導材料之一 高 等 數(shù) 學 主編: 楊降龍 楊 帆 劉建新翁連貴 吳業(yè)軍序近幾年來,隨著高等教育的大眾化、普及化,相當多的大學本科畢業(yè)生由于就業(yè)的壓力,要想找到自己理想的工作比較困難,這從客觀上促使越來越多的大學畢業(yè)生選擇考研繼續(xù)深造,希望能學到專業(yè)的知識,取得更高的學歷,以增強自己的競爭能力;同時還有相當多的往屆大學畢業(yè)生由于種種的原因希望通過讀研來更好地實現(xiàn)自我。這些年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明:應屆與往屆的考生基本各占一半。自1989年起,研究生入學數(shù)學考試實行全國統(tǒng)一命題,其命題的范圍與內容嚴格按照國家考試中心制定的“數(shù)學考試大綱”,該考試大綱除了在1996年實施了一次重大的修補以外,從1997年起一直沿用至今,但期間也進行了幾次小規(guī)模的增補。因此要求考生能及時了解掌握當年數(shù)學考試大綱的變化,并能按大綱指明的“了解”,“理解”,“掌握”的不同考試要求系統(tǒng)有重點的復習。通常研究生入學數(shù)學考試與在校大學生的期末考試相比,考試的深度與難度都將大大的增加,命題者往往將考試成績的期望值設定在80(按總分150分)左右命題,試題涉及的范圍大,基礎性強,除了需要掌握基本的計算能力、運算技巧外,還需掌握一些綜合分析技能(包括各學科之間的綜合)。這使得研究生數(shù)學入學考試的競爭力強,淘汰率很高。為了我院學生的考研需要,我們編寫了這本輔導講義。該講義共分三個部分,編寫時嚴格按照考試大綱,含蓋面廣、量大,在突出重點的同時,注重于基本概念的理解及基本運算能力的培養(yǎng),力求給同學們做出有效的指導。第一章 函數(shù) 極限與連續(xù)考試內容函數(shù)的概念及其表示,函數(shù)的有界性、單調性、奇偶性及周期性,復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù),基本初等函數(shù)的圖形與性質,初等函數(shù)的建立,數(shù)列極限與函數(shù)極限的性質,函數(shù)的左右極限,無窮小與無窮大的關系,無窮小的性質及無窮小的比較,極限的四則運算,極限存在的兩個準則,兩個重要極限,函數(shù)連續(xù)的概念,函數(shù)間斷點的類型,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質??荚囈?、理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系。2、了解函數(shù)的有界性、單調性、奇偶性及周期性的概念,注意這些問題與其它概念的結合應用。3、理解復合函數(shù)、分段函數(shù)的概念,了解隱函數(shù)、反函數(shù)的概念。4、掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形。5、理解極限、左右極限的概念,以及極限存在與左右極限的關系。6、掌握極限的性質與四則運算。7、掌握極限存在的兩個準則,并會利用它們求極限;掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念;掌握無窮小的比較方法,會用等價無窮小計算極限。9、掌握利用羅必達法則求不定式極限的方法。10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念,會判別函數(shù)間斷點的類型。11、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最值存在、介值定理),并會利用這些性質。1 函數(shù)一、函數(shù)的概念 二、函數(shù)的性質:有界性、單調性、奇偶性、周期性;三、函數(shù)的運算(重要考點):四則運算、復合運算(復合函數(shù))、逆運算(反函數(shù));四、函數(shù)的分類:初等函數(shù)、非初等函數(shù)。例題1、(88)已知,且,求及定義域。2、(92)已知,求定義域。3、設,求。4、,求。5、(97),求。6、設,求。7、(90),求。8、求的反函數(shù)。9、(96)設函數(shù),(1)寫出的反函數(shù)的表達式;(2)是否有間斷點、不可導點,若有,指出這些點。10、設滿足:為常數(shù),且,試證:為奇函數(shù)。11、滿足:,求。12、設連續(xù),且,求。13、(89)設連續(xù),且,求。14、(97)設,求。2 極限一、定義及性質 (1)唯一性;(2)局部有界性;(3)局部保號性: 二、求極限的方法(重點)1、用定義證明和觀察法如 。2、用極限的四則運算法則和函數(shù)的連續(xù)性3、用兩個重要極限: (或)注意比較如下幾個極限:,一般形式:,通常對于含三角函數(shù)的型極限用i),對于型極限用ii)。4、(1) 用等價無窮小計算極限 時,常見的等價無窮小有.注意: 的廣泛的代表性,等(2) 有界函數(shù)乘無窮小仍為無窮小。5、用羅必達法則 設(1),(或) (2)在的某個去心鄰域內(當充分大時)可導,且 (3)則 基本類型有和。對于,可以通過初等變形轉化為和。對于,通過取對數(shù)再用羅必達法則。6、用變量代換注意:該方法要視極限的具體形式而定,如:在計算的極限時,如果被求極限中含有的因式時,可以令=;在計算的極限中,如果被求極限中含有,則可令。在研究生數(shù)學入學考試中不常出現(xiàn)7、用極限存在的二個準則i)夾逼(兩邊夾)定理;ii)單調有界定理:單調遞增(減)有上界(下界)的數(shù)列必有極限。8、利用導數(shù)定義(ch.2) 9、用定積分定義(ch.3) 當已知函數(shù)可積時,有 ,= = 10、用微分和積分中值定理(ch.2) 11、用Taylor公式(ch.2)注意:下面幾類極限一般要討論左右極限: 分段函數(shù)在分段點的極限; 時,與絕對值或開偶次方根有關的極限; 時,含有形如因式的極限。三、無窮小階的比較設均為無窮小,且不為0,如果:(1)時,則稱是的高階無窮小,或稱是的低階無窮小,記。(2)時,則稱與為同階無窮小,特別當時,稱與是等價無窮小。(3)時,則稱是的k階無窮小。注意:無窮小的比較是在數(shù)學考試中一個經??嫉目键c,尤其在數(shù)二、三、四中。其主要考法有: 已知函數(shù)與另一已知函數(shù)是同階無窮小,求中所含的參數(shù); 當函數(shù)滿足什么條件時,是的同階(高階)無窮??; 將給出的幾個無窮小按其階從小到大排列。例題(一)極限的計算1、(00)設對任意的x,總有,且,則:(A)存在且等于零, (B)存在但不一定為零,(C)一定不存在, (D)不一定存在。2、(1); (2);(3)(97); (4)(00)。3、(1); (2)(99)。4、(1)(00)。 (2)(05)(數(shù)三、四) 5、(1); (2)。6、(1)(04)求極限; (2)(93);7、(1)(99); (2)(94)。8、(1)(03); (2)。9、(05)設函數(shù)連續(xù),且,求極限 10、(07)= 。(二)關于數(shù)列極限:10、(03)設均為非負數(shù)列,且,則必有:(A)對任意n成立; (B)對任意n成立;(C)極限不存在; (D)極限不存在。11、(98)設數(shù)列與滿足,則下列判斷正確的是:(A)若發(fā)散,則必發(fā)散, (B)若無界,則必有界,(C)若有界,則必為無窮小, (D)若為無窮小,則必為無窮小。12、(1)(98); (2)。 (3)(02)13、,求。14、(96),證明存在并求之。15、(97)設,證明:存在。16、設,求。17、(06)設數(shù)列滿足, 證明:(1)存在,并求該極限; (2)計算18、。 19、(95)。(三)極限中常數(shù)的確定20、(04)若,求a、b。21、(1)(97)設時,與是同階無窮小,則(2)(96)設時,為x 的三階無窮小,求a, b。(3)(05數(shù)二)當時,與是等價無窮小,則 ?(4)設,則當時是的( ) :低階無窮小 :高階無窮小 :等價無窮小 :同階但不等價無窮?。?)(06)試確定常數(shù),使得 (1/3,-2/3,1/6) 22、(98)求a, b, c,使。23、(94)設,則有:(A), (B), (C), (D)。24、(1)(01)設當時,是比高階的無窮小,而是比高階的無窮小,則正整數(shù)n等于:(A)1, (B)2, (C)3, (D)4。(2)(01)已知在內可導,且,求c的值。25、(02)設函數(shù)在的某個領域內具有一階連續(xù)導數(shù),且,若在時是比h高階的無窮小,試確定a、b的值。26、(02)設函數(shù)在的某領域內具有二階連續(xù)導數(shù),且,證明:存在惟一的一組實數(shù),使得當時,是比高階的無窮小。27、,求a, b。 3 連續(xù)與間斷一、在點連續(xù)(重點):。初等函數(shù)在定義區(qū)間內是連續(xù)的,分段函數(shù)分界點的連續(xù)性要用定義討論。二、若在點a不連續(xù),稱a為的間斷點。間斷點分兩類:第一類間斷點(左、右極限都存在):可去間斷點(左、右極限都相等)和跳躍間斷點(左、右極限不相等)第二類間斷點:無窮間斷點(至少有一側極限為無窮大),振蕩間斷點等。注意:這一部分在數(shù)三、四中是一個??嫉目键c,主要以已知連續(xù)性或間斷點的類型確定參數(shù),計算題中以討論間斷點類型并補充定義使其連續(xù)為主;在數(shù)一、二中一般不單獨以單個概念出題,通常會跟函數(shù)的建立、極限、微分方程等概念結合考查。三、閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有以下性質:1)最值定理:閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到最大值M和最小值m(必有界);更一般地:我們可以得到如下結論 設在開區(qū)間內連續(xù),且及都存在,則在內有界。2)介值定理:閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到介于最小值和最大值M之間的任一數(shù);3)零點定理:設在上連續(xù),與異號,則至少有一點,使得。推廣的零點定理: 設在區(qū)間上連續(xù),且,則至少存在一點,使例題1(02)設函數(shù) 在處連續(xù),則a= 。2(03) 設函數(shù) ,問a為何值時,在處連續(xù);a為何值時,是的可去間斷點?3、(00)設函數(shù)在內連續(xù),且,則常數(shù)a、b滿足:(A), (B), (C), (D). 4、(05)設,則( )(A)都是的第一類間斷點。 (B)都是的第二類間斷點。 (C)是的第二類間斷點, 是的第二類間斷點 (D)是的第二類間斷點,是的第一類間斷點5、(04)設,則的間斷點為 。6、(98)設,討論的間斷點,結論為:(A)不存在間斷點, (B)存在間斷點, (C)存在間斷點, (D)存在間斷點。7、下列命題中正確的是( )(A)設函數(shù)在處連續(xù),在處不連續(xù),則+在處必不連續(xù)(B),都在處不連續(xù),則+在處必不連續(xù) (C) 設函數(shù)在處連續(xù),在處不連續(xù),則在處必不連續(xù) (D) ,都在處不連續(xù),則在處必不連續(xù)8、(98)求在內的間斷點及類型。 9、(07)函數(shù)在上的第一類間斷點是 (A) 0; (B) 1; (C) ; (D) 。10、設在上連續(xù),且,求證:,使。11、在上非負連續(xù),證明:對,使。12、證明:方程恰有一個實根,其中為常數(shù),且13、設上連續(xù),試證,對兩個正數(shù)與,一定點,使。(本題的證明思想應掌握,并應能將結論推廣到更為一般的情況)14、(04)函數(shù)在下列哪個區(qū)間內有界:(A)(1,0); (B)(0,1); (C)(1,2); (D)(2,3)。單元練習1、 求函數(shù)的定義域2、 函數(shù)的定義域為 _。3、 若的定義域為(0,1),則函數(shù)的定義域為_。4、 ,是 ()(A)有界函數(shù)(B)單調函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)偶函數(shù)、,則當時,是 ()(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量(D)無界變量、設是連續(xù)函數(shù),且,則_ 7、當時,下列四個無窮小量中,哪一個是比其它三個更高階的無窮小 ( ) (A)(B)(C)(D) 8、設,在的某個領域內連續(xù),且當時是高階的無窮小,則當時,是的 ( ) (A)低階無窮?。˙)高階無窮小 (C)同階但不等價無窮?。―)等價無窮小 9、,則當時是的 ( ) (A)低階無窮?。˙)高階無窮小 (C)同階但不等價無窮?。―)等價無窮小 10、已知,則 ( ) (A)(B)(C)(D)11、當時,變量是 ( ) (A)無窮大量 (B)無窮小量(C)有界變量,但不是無窮小 (D)無界變量,但不是無窮大 12、 13、 14、 15、 16、 17、18、(1)設,問在處是否連續(xù),若不連續(xù),修改函數(shù)在處的定義,使之連續(xù)。 (2)(06)設函數(shù)在連續(xù),則 。 19、討論函數(shù)的連續(xù)性 20、研究函數(shù)的連續(xù)性 21、討論函數(shù)的間斷點,并指出其類型 22、設,證明數(shù)列收斂,并求 23、若在區(qū)間上

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