《線性代數(shù)》電子教程之十.ppt

1 線性代數(shù) 電子教案之十 2 主要內(nèi)容 第十講線性方程組 續(xù) 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念 基礎(chǔ)解系的求法 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 即齊次線性方程組的通解表達式 齊次線性方程組的解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系 非齊次線性方程組的通解表達式 基本要求 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念及系數(shù)矩陣的秩與全體解向量的秩之間的關(guān)系 熟悉基礎(chǔ)解系的求法 理解非齊次線性方程組的通解的構(gòu)造 3 一 復(fù)習(xí) 第四節(jié)線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 1 系數(shù)矩陣是方陣的線性方程組 設(shè)為方陣 若 則線性方程組有惟一解 2 系數(shù)矩陣是一般矩陣的線性方程組 克萊默法則 個未知數(shù)的齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩 個未知數(shù)的非齊次線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩 且當(dāng)時方程組有惟一解 當(dāng)時方程組有無限多個解 4 二 齊次線性方程組的解的構(gòu)造 1 齊次線性方程組的解的性質(zhì) 性質(zhì)1若為的解 則也是的解 證 因為為的解 所以 因而 即滿足方程 5 性質(zhì)2若為的解 為實數(shù) 則也是的解 證 因而 因為為的解 所以 即滿足方程 6 2 齊次線性方程組的解空間 設(shè)齊次線性方程組的所有解組成的集合為 顯然非空 根據(jù)性質(zhì)1知 對于加法封閉 根據(jù)性質(zhì)2知 對于數(shù)乘封閉 所以是一個向量空間 稱為的解空間 7 3 基礎(chǔ)解系 定義 齊次線性方程組的解空間的基稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 換句話說 齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 8 4 齊次線性方程組的解的構(gòu)造 根據(jù)最大無關(guān)組的定義或基的定義知 由齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 就可以構(gòu)造齊次線性方程組的通解表示式 設(shè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 則方程組的通解為 9 三 基礎(chǔ)解系的求法 設(shè)個未知數(shù)的方程組的系數(shù)矩陣的秩 并不妨設(shè)的前個列向量線性無關(guān) 則的行最簡形矩陣為 如果非零首元不在前 有類似結(jié)論 只是非自由未知數(shù)不同 10 方法一 先求同解再求基礎(chǔ)解系 選取作為自由未知數(shù) 并令它們依次等于 得 11 即 12 寫成向量形式為 記作 13 可知解集中的任一向量能由線 又顯然可見線性無關(guān) 所以 性表示 是解集的最大無關(guān)組 即 是方程組的基礎(chǔ)解系 方法二 先求基礎(chǔ)解系再求通解 選取作為自由未知數(shù) 令它們分別取下列組數(shù) 14 依次代入方程組 可以取其它情形的數(shù)組 只要所取的個數(shù)組線性無關(guān)即可 15 于是所求基礎(chǔ)解系為 16 四 解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系 根據(jù)上述求基礎(chǔ)解系的過程可得 齊次線性方程組的解集的秩與系數(shù)矩陣的關(guān)系是 定理7 設(shè)矩陣的秩 則元齊次 線性方程組的解集的秩 注意 當(dāng)時 則的解集的秩 即方程組只有零解 此時方程組沒有基礎(chǔ)解系 當(dāng)時 則的基礎(chǔ)解系含有 個向量 17 解 析 此例是最基本的求基礎(chǔ)解系與求解齊次方程的訓(xùn)練題 與前面解決同一問題的方法相比較 現(xiàn)在求解此問題時 大致有三個方面的提高 解題思想更具有理論意義 解題手法更加靈活 并賦予它的解集以鮮明的集合意義 18 對系數(shù)矩陣作初等行變換 變?yōu)樾凶詈喰?于是可得 19 選取為自由未知數(shù) 令 及 代入所得同解方程組 對應(yīng)有 及 所以 所求基礎(chǔ)解系為 方程組的通解為 20 說明 上述的解題過程是一個 標準程序 其中把系數(shù)矩陣化為行最簡形也是采用 標準程序 第一行第一列的元素是非零首元 自由未知數(shù)取不同的數(shù)組 可以得到不同的基礎(chǔ)解系 若 對應(yīng)的基礎(chǔ)解系為 21 用初等行變換化簡系數(shù)矩陣 若不采用 標準程序 化為行最簡形 而是將系數(shù)矩陣的某些列化為單位坐標向量 這樣可以靈活地選取自由未知數(shù) 從而得到不同于按 標準程序 得到的基礎(chǔ)解系 22 所以基礎(chǔ)解系為 由以上說明更加清晰看出 基礎(chǔ)解系不是惟一的 所以通解表達式也不是惟一的 但是基礎(chǔ)解系中所含向量個數(shù)是惟一的 23 例2設(shè) 證明 證 記 則 都是方程的解 設(shè)的解集為 由知 即 而由定理7知 故 24 說明 由于當(dāng)時 有 所以 的解 的行向量都是齊次方程的解 此例的結(jié)論 當(dāng)時 有著十分廣泛的應(yīng)用 當(dāng)時 的列向量都是齊次方程 這里 矩陣的列數(shù) 矩陣的行數(shù) 25 證 析 討論兩個向量組等價 首先想到定理2的推論 但是推論講的是兩個列向量組等價的充要條件 即 矩陣與的向量組等價 現(xiàn)在討論的是行向量組 而與的行向量組就是與的列向量組 因此 矩陣與的行向量組等價 26 必要性 矩陣與的行向量組等價 就是方程組與可以互推 也就是方程組與同解 充分性 方程組與同解 方程組 與同解 它們的解集的秩相等 它們系數(shù)矩陣的秩相等 即 矩陣與的行向量組等價 27 說明 矩陣與的行向量組等價 就是方程組與可以互推 因此 此例可以該敘為 齊次方程組與可互推的充要條件是它們同解 28 例4證明 證 析 此題仍然是運用解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系證明結(jié)論的一道題目 下面證方程組與同解 若滿足 則有 即 設(shè)為矩陣 為維列向量 若滿足 則有 即 從而推知 由以上可知與同解 因此 29 說明 此題的結(jié)論對任意實矩陣都是成立的 但對復(fù)矩陣結(jié)論不成立 因為 對于復(fù)列向量 不能由推出 復(fù)矩陣 結(jié)論應(yīng)該為 此題的結(jié)論是矩陣的一個重要性質(zhì) 30 五 非齊次線性方程組的解的構(gòu)造 1 非齊次線性方程組的解的性質(zhì) 性質(zhì)3設(shè)都是的解 則是其對應(yīng)的齊次方程組的解 證 性質(zhì)4設(shè)是方程組的解 是其對應(yīng)的齊次方程組的解 則仍是 的解 證 31 2 非齊次線性方程組的解的構(gòu)造 設(shè)是的任一解 若已經(jīng)求得的一個解 則總可以表示為 其中為方程的解 若的基礎(chǔ)解系為則 反之 對任何實數(shù)上式總是的解 32 非齊次線性方程組的解 設(shè) 若的基礎(chǔ)解系為 是一個解 特解 則的通解為 33 注意 34 例5求解方程組 解 對增廣矩陣施行初等行變換 35 可見 故方程組有解 且有 所以特解為 又對應(yīng)的齊次方程組可化為 36 所以對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系為 于是所求通解為 37 例6已知方程組 的一個基礎(chǔ)解系為 38 試寫出方程組 的通解 并說明理由 解 析 此題的目的是運用解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的關(guān)系求解方程 把方程組 與 的系數(shù)矩陣分別記為與 則此題可敘述為 39 于是可得 因而 由定理7 40 六 小結(jié) 設(shè)元齊次線性方程組的解集為 則 解集的一個最大無關(guān)組稱為齊次方程組的基礎(chǔ)解系 設(shè) 則 知基礎(chǔ)解系含個解向量 設(shè)為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 則其通解為 設(shè)非齊次方程組的一個解為 對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 則的通解為 41 求解方程組的 標準程序 用初等行變換化簡增廣矩陣 判斷