高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解.doc

高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 1 第一章第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)函數(shù) 極限 連續(xù) 第第 1 節(jié)節(jié) 函數(shù)函數(shù) 基本內(nèi)容學(xué)習(xí)基本內(nèi)容學(xué)習(xí) 一一 基本概念和性質(zhì)基本概念和性質(zhì) 1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 設(shè)有兩個變量和 變量的變域?yàn)?如果對于中的每一個值 xyxDDx 按照一定的法則 變量有一個確定的值與之對應(yīng) 則稱變量為變量的函yyx 數(shù) 記作 yf x 2 函數(shù)概念的兩要素函數(shù)概念的兩要素 定義域 自變量 的變化范圍 對應(yīng)關(guān)系 給定 值 求值的方法 xxy 3 函數(shù)的三種表示方法函數(shù)的三種表示方法 顯式 形如的稱作顯式 它最直觀 也是初等函數(shù)一般采用的 yf x 形式 隱式 有時有些關(guān)系用顯式無法完全表達(dá) 這時要用到隱式 形如 如橢圓函數(shù) 0F x y 22 22 1 xy ab 參數(shù)式 形如平拋運(yùn)動的軌跡方程稱作參數(shù)式 參數(shù)式將兩個 2 1 2 xvt ygt 變量的問題轉(zhuǎn)化為一個變量的問題 從而使很多難以處理的問題簡化 4 函數(shù)的四個基本性質(zhì)函數(shù)的四個基本性質(zhì) 奇偶性 設(shè)函數(shù)在對稱區(qū)間上有定義 如果對于恒有 f xXxX 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 2 f xfx 或 則稱為偶函數(shù) 或奇函數(shù) 注 偶函數(shù)圖形 f xfx f x f x f x 關(guān)于軸對稱 奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 y f x 有界性 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義 如果 使得對一切 恒 f xX0M xX 有 則稱在區(qū)間上有界 若不存在這樣的 則稱在 f xM f xX0M f x 區(qū)間上無界 注 函數(shù)有無界是相對于某個區(qū)間而言的 X f x 周期性 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義 若存在一個與 無關(guān)的正數(shù) f xXxT 使對任一 恒有 則稱是以為周期的周期函數(shù) 把滿xX f xTf x f xT 足上式的最小正數(shù)稱為函數(shù)的周期 T f x 單調(diào)性 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義 如果對 恒有 f xX 1212 x xX xx 或 則稱在區(qū)間上是單調(diào)增加 或單調(diào)減少 的 12 f xf x 12 f xf x f xX 如果對于 恒有 或 則稱在區(qū)間 1212 x xX xx 12 f xf x 12 f xf x f x 上是嚴(yán)格單調(diào)增加 或嚴(yán)格單調(diào)減少 的 X 5 其它函數(shù)定義其它函數(shù)定義 復(fù)合函數(shù) 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?而函數(shù)的定義域是 yf u f D ux 值域?yàn)?若 則稱函數(shù)為 的復(fù)合函數(shù) 它的定義D Z f DZ yfx x 域是 這里表示空集 x f xDxD 且 反函數(shù) 設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?如果對于中任一值 從關(guān)系 yf x f Z f Zy 式中可確定唯一的一個 值 則稱變量 為變量的函數(shù) 記為 yf x xxy 其中稱為函數(shù)的反函數(shù) 習(xí)慣上的反函數(shù)記為 xy y yf x yf x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 3 1 yfx 6 初等函數(shù)初等函數(shù) 常值函數(shù) 為常數(shù) CCxR 冪函數(shù) 定義域由確定 但不論如何 在內(nèi)總 yxR 0 有定義 指數(shù)函數(shù) 且 x ya 0a 1a xR 對數(shù)函數(shù) 且 logx a y 0a 1a 0 x 三角函數(shù) 如 sin yx xR cos yx xR tanyx 等 22 xkkkZ cot x 1 xkk kZ 反三角函數(shù) arcsin yx 1 1 x arccos yx 1 1 x arctanyx xR arccotyx xR 以上六類函數(shù)稱基本初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次加 減 乘 除 復(fù)合而成的函數(shù)稱初等函數(shù) 7 分段函數(shù)分段函數(shù) 一個函數(shù)在其定義域內(nèi) 對應(yīng)于不同的區(qū)間段有著不同的表達(dá)式 則該函 數(shù)稱為分段函數(shù) 分段函數(shù)僅是說函數(shù)的表示形式 并不是說它是幾個函數(shù) 常見的分段函數(shù) 符號函數(shù) 10 sgn00 10 x yxx x 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 取整函數(shù) 表示不超過 的最大整數(shù) 當(dāng) 其中 為 xx xn 1nxn n 整數(shù) 狄利克萊 Dirichlet 函數(shù) 1 0 x yf x x 當(dāng)為有理數(shù)時 當(dāng)為無理數(shù)時 絕對值函數(shù) 0 0 xx x xx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 4 基本題型訓(xùn)練基本題型訓(xùn)練 一一 典型例題典型例題 1 判斷函數(shù)的等價(jià)性判斷函數(shù)的等價(jià)性 例 1 1 下列各題中 函數(shù)與是否相同 為什么 f x g x 1 2 2 lg 2lg f xxg xx 2 f xxg xx 3 4 3433 1f xxxg xx x 22 1 sectanf xg xxx 解 1 不相同 因?yàn)榈亩x域是 而的定義域是 2 lg x 0 0 2lg x 0 2 不相同 因?yàn)閮烧邔?yīng)法則不同 當(dāng)時 0 x g xx 3 相同 因?yàn)閮烧叨x域 對應(yīng)法則均相同 4 不相同 因?yàn)閮烧叨x域不同 2 求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域 例 1 2 設(shè)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)槎嗌?1 f x 0 0 a a f x 解 函數(shù)的定義域是指 的變化范圍 即 1 f x x 故對函數(shù)而言 的變化范圍為 01 1 11xatxta 令則 f xt 1 1 a 由函數(shù)表達(dá)式的 變量無關(guān)性 知 的定義域?yàn)?f x 1 1 a 常見錯誤 主要是對定義域所指的變量取值范圍理解不深 誤認(rèn) 1 1 a 為 由此得到 01xa 11xa 3 判斷函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)奇偶性 例 1 4 下列函數(shù)中哪些是奇函數(shù) 哪些是偶函數(shù) 哪些是非奇非偶函數(shù) 1 2 2 sin x yex 2 log 1 a yxx 0 1 aa 解 1 因?yàn)闉槠婧瘮?shù) 為偶函數(shù) 所以為奇函數(shù) sin x 2 x 2 sin x yex 2 22 2 1 log 1 loglog 1 1 aaa fxxaxxf x xx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 5 故為奇函數(shù) f x 4 判斷函數(shù)的周期性判斷函數(shù)的周期性 例 1 5 下列哪些是周期函數(shù) 對于周期函數(shù) 指出其周期 1 2 cos 2 yx 1 sinyx 解 1 是周期函數(shù) 周期為 cos 2 yx 2 2 是周期函數(shù) 周期是 21 sinyx 5 判斷函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)單調(diào)性 例 1 6 設(shè)在上有定義 且對任意 有 f x x y 證明在上單調(diào)增加 f xf yxy F xf xx 證明 設(shè)所以 1212 x xxx 212121 f xf xxxxx 而 所以 所以 122121 f xf xf xf xxx 1122 f xxf xx 12 F xF x 即在上單調(diào)增加 F x 6 求反函數(shù)求反函數(shù) 例 1 7 求函數(shù)的反函數(shù) 11 11 x y x 解 令 則 所以 即 所以1tx 1 1 t y t 1 1 y t y 1 1 1 y x y 2 2 14 1 1 1 yy x yy 所以反函數(shù)即為所求 2 4 1 x y x 7 復(fù)合函數(shù)求法復(fù)合函數(shù)求法 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 6 例 1 8 設(shè)則等于多少 1 0 2 0 xx f x xx 2 0 0 xx g x xx f g x 解 當(dāng)時 所以當(dāng)時有 0 x g xx 0 0 x f g x1x 當(dāng)時 所以時有 故0 x 2 0g xx 0 x 2 2f g xx 2 1 0 2 0 xx f g x xx 注 求復(fù)合函數(shù)一般用三種方法 分析法 代入法 圖示法 本題用的是 分析法 下面分別介紹這三種方法 1 分析法 是抓住最外層函數(shù)定義域的各區(qū)間段 結(jié)合中間變量的表達(dá)式 及中間變量的定義域進(jìn)行分析 從而得出復(fù)合函數(shù)的方法 該法適用于初等函 數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)之間的復(fù)合 2 代入法 將一個函數(shù)中的自變量用另一個函數(shù)的表達(dá)式來替代 這種 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的方法 稱之為代入法 該法適用于初等函數(shù)或抽象函數(shù)的復(fù)合 這種方法在求復(fù)合函數(shù)時一般最先想到 3 圖示法 借助于圖形的直觀性達(dá)到將函數(shù)復(fù)合的一種方法 適用于分 段函數(shù) 尤其是兩個均為分段函數(shù)的復(fù)合 關(guān)于圖示法解題的一般步驟如下 先畫出中間變量函數(shù)的圖形 ux 把的分界點(diǎn)在平面上畫出 這是若干條平行于 軸的直線 yf u xoux 寫出 在不同區(qū)間段上 所對應(yīng)的變化區(qū)間 ux 將 所得結(jié)果代入中 便得的表達(dá)式及相應(yīng) 的 yf u yfx x 變化區(qū)間 關(guān)于這種方法我們會在后面的練習(xí)或者能力拓展中用到 二二 能力拓展能力拓展 例 1 設(shè) F x 是連續(xù)函數(shù) f x 的一個原函數(shù) 表示 M 的充分必要 NM 條件是 N 則必有 A F x 是偶函數(shù)f x 是奇函數(shù) B F x 是奇函數(shù)f x 是偶函數(shù) C F x 是周期函數(shù)f x 是周期函數(shù) D F x 是單調(diào)函數(shù)f x 是單調(diào)函數(shù) 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 7 A 解法一 任一原函數(shù)可表示為 且當(dāng) F x x CdttfxF 0 xfxF 為偶函數(shù)時 有 于是 即 也即 xFxF 1 xFxF xfxf xfxf 可見 f x 為奇函數(shù) 反過來 若 f x 為奇函數(shù) 則為偶函數(shù) x dttf 0 從而為偶函數(shù) 可見選 A x CdttfxF 0 解法二 令 f x 1 則取 F x x 1 排除 B C 令 f x x 則取 F x 排除 D 故應(yīng)選 A 2 2 1 x 例 2 設(shè)則等于 1 1 0 1 x f x x ff f x A 0 B 1 C D 1 1 0 1 x x 0 1 1 1 x x 解 由 1 得 1 故應(yīng)選 B f f x ff f x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 8 函數(shù)理論框架圖函數(shù)理論框架圖 第第 2 節(jié)節(jié) 極限與連續(xù)性極限與連續(xù)性 基本內(nèi)容學(xué)習(xí)基本內(nèi)容學(xué)習(xí) 一一 基本概念基本概念 1 極限的概念極限的概念 定義 2 1 一個正整數(shù) 當(dāng)時 恒有 lim0 n n xa N nN 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 9 若存在極限 稱收斂 否則稱發(fā)散 n xa n x n x n x 定義 2 2 一個整數(shù) 當(dāng)時 有l(wèi)im 0 x f xa XxX f xa 定義 2 3 正數(shù) 當(dāng)時 有 0 lim 0 xx f xa 0 0 xx f xa 2 數(shù)列 函數(shù)極限的基本性質(zhì)與相關(guān)定理數(shù)列 函數(shù)極限的基本性質(zhì)與相關(guān)定理 定理 2 1 極限的不等式性質(zhì) 設(shè) 若 則 當(dāng)時 若時 lim n n xa lim n n yb ab N nN nn xy nN 則 nn xy ab 定理 2 2 極限的唯一性 設(shè) 則 lim n n xa lim n n xb ab 定理 2 3 收斂數(shù)列的有界性 設(shè)收斂 則有界 即 n x n x 0 1 2 n MxM n 常數(shù) 定理 2 4 極限的不等式性質(zhì) 設(shè) 若則 0 0 lim xx f xA 0 lim xx g xB AB 當(dāng)時 若 則 0 0 xx f xg x f xg x 0 0 xx AB 推論 極限的保號性 若 則存在一個 當(dāng) 0 lim 00 xx f xA AA 或0 時 或 000 xxxxx 0f x 0f x 定理 2 5 極限的唯一性 設(shè) 則 0 lim xx f xA 0 lim xx f xB AB 定理 2 6 夾逼準(zhǔn)則 設(shè)在的領(lǐng)域內(nèi) 恒有 且 0 x xf xx 則 00 limlim xxxx xxA 0 lim xx f xA 定理 2 7 單調(diào)有界準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 n x 3 函數(shù)連續(xù)性定義函數(shù)連續(xù)性定義 定義 2 1 設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)有定義 給 在處以增量 相應(yīng) f x 0 xx 0 xx 地得到函數(shù)增量 若極限 則稱在處連 00 yf xxf x 0 lim0 x y f x 0 xx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 10 續(xù) 定義 2 2 設(shè)函數(shù)滿足條件 1 在的某領(lǐng)域內(nèi)有定義 2 f x f x 0 x 存在 3 則稱在處連續(xù) 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x f x 0 xx 定義 2 3 若在內(nèi)任一點(diǎn)均連續(xù) 則稱在內(nèi)連續(xù) f x a b f x a b 定義 2 4 若在內(nèi)連續(xù) 在處右連續(xù) 即 在 f x a bxa lim xa f xf a 處左連續(xù) 即 則稱在內(nèi)連續(xù) xb lim xb f xf b f x a b 4 間斷點(diǎn)及分類間斷點(diǎn)及分類 間斷點(diǎn)定義 若在處出現(xiàn)以下三種情形之一 f x 0 x 1 在處無定義 2 不存在 3 則稱為 f x 0 x 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x 0 x 的間斷點(diǎn) f x 間斷點(diǎn)的分類 第 類間斷點(diǎn)均存在 其中若 0 x 00 fxfx 稱為可去間斷點(diǎn) 若 稱為跳躍 000 fxfxf x 0 xx 00 fxfx 0 xx 間斷點(diǎn) 第 類間斷點(diǎn) 至少有一個不存在 若之中有一 00 fxfx 00 fxfx 個為 則稱為無窮間斷點(diǎn) 0 xx 5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1 連續(xù)函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)在上連續(xù) 則在上有界 f x a b f x a b 即 常數(shù) 對任意的 恒有 0M xa b f xM 2 最值定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù) 則在上至少取得最大值 f x a b a b f x 與最小值各一次 即使得 max a x b ff xa b min a x b ff xa b 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 11 3 介值定理 若函數(shù)在上連續(xù) 是介于與 或最大值 f x a b f a f b 與最小值 之間的任一實(shí)數(shù) 則在上至少 一個 使得Mm a b fab 4 零點(diǎn)定理或根的存在性定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù) 且 f x a b 則在內(nèi)至少 一個 使得 0f af b a b 0 fab 5 無窮小及其階無窮小及其階 1 無窮小與無窮大的定義 定義 2 5 在某一過程中以零為極限的變量稱為無窮小 量 一個 當(dāng)時 恒有 lim00 x f x 0X xX f x 當(dāng)時 恒有 0 lim00 xx f x 0 0 0 xx f x 定義 2 6 在自變量的某一變化過程中 若函數(shù)的絕對值無窮增大 則 f x 稱函數(shù)為無窮大量 f x 一個 當(dāng)時 恒有 lim0 x f xM 0X xX f xM 一個 當(dāng)時 恒有 0 lim0 xx f xM 0 0 0 xx f xM 2 無窮小與無窮大 無窮小與極限的關(guān)系 00 lim 0 xxxx f xAf xx 其中l(wèi) i m 在同一極限過程中 1 0 1 f xf x f x f x f x 為無窮小 則為無窮大 為無窮大 則為無窮小 3 無窮小階的概念 定義 2 7 設(shè)在同一極限過程中 為無窮小且存在極限 x x 00 lim0 lim0 xxxx xx xx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 12 若 則稱是比高階的無窮小 記為 lim0 x x x x xox 若 則稱是比低階的無窮小 lim x x x x 若 則稱與是同階無窮小 lim x C x x x 若 則稱與是等價(jià)無窮小 記為 lim1 x x x x xx 若 則稱為的 階無窮小 lim0 0 k x C Ck x x x k 4 等價(jià)無窮小的重要性質(zhì) 若 且存在 則xa xxxx lim x x limlim xx xx 該結(jié)論表明 在求極限過程中等價(jià)無窮小因子可以替換 x x xa xxox 5 確定無窮小階的方法 利用洛必達(dá)法則 確定使得 則時 0k 0 0 k xx f x A xa l i mxa 是的 階無窮小 f xxa k 洛必達(dá)法則 法則 型 設(shè)函數(shù)滿足條件 0 0 f xg x 在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo) 在處可除外 且 00 lim0 lim0 xxxx f xg x f xg x 0 x 0 x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 13 存在 或 則 0gx 0 lim xx fx gx 00 limlim xxxx f xfx g xgx 法則 型 設(shè)函數(shù)滿足條件 一 I 0 0 f xg x lim0 lim0 xx f xg x 個 當(dāng)時 可導(dǎo) 且 存在 或 0X xX f xg x 0gx 0 lim xx fx gx 則 00 limlim xxxx f xfx g xgx 法則 型 設(shè)函數(shù)滿足條件 f xg x 00 lim lim xxxx f xg x 在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo) 在處可除外 且 存在 或 f xg x 0 x 0 x 0gx 0 lim xx fx gx 則同理法則 型 仿法則可寫出 00 limlim xxxx f xfx g xgx II I 泰勒公式 n nn fa f xf afa xaxao xa n 若則 1 0 0 nn f afafafa n nn fa f xxao xa n 因此是的 階無窮小 后面章節(jié)還會講到 f x xa n 利用無窮小的運(yùn)算性質(zhì) 如若時 分別是的 階xa f xg xxa n 與階無窮小 則是的階無窮小 當(dāng)時 m f x g xxa nm nm 是的 階無窮小 f xg x xa n 本章需要記憶知識本章需要記憶知識 1 重點(diǎn)概念 性質(zhì)重點(diǎn)概念 性質(zhì) 函數(shù)的定義 函數(shù)連續(xù)的定義 間斷點(diǎn)及其類型 夾逼準(zhǔn)則 單調(diào)有界準(zhǔn) 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 14 則等 2 重點(diǎn)公式重點(diǎn)公式 1 00 sin1 lim1 lim 1 lim 1 x x xxx x xee xx 或 常用極限 特例 lim01 n n lim1 n n n lim arctan 2 x x lim arctan 2 x x lim arccot0 x x lim arccot x x lim0 x x e lim x x e 0 lim1 x x x 基本題型訓(xùn)練基本題型訓(xùn)練 1 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù) 例 設(shè) 求 2 2 0 1 11 0 x xx ex f xx xxxx fx 解 由題設(shè)分以下情況討論 1 1 x ex fx xx 1 當(dāng)時 1x 或 即 0 21xxx 0 1 1 x x x 或 即 2 0 1 1xxx 2 0 02 2 x x x 2 當(dāng)時 1x 或 即 0 21xxx 0 10 1 x x x 或 即 2 0 1 1xxx 2 0 2 2 x x x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 15 綜上所述 2 2 1 2 1 2 10 02 1 2 x x ex xx fx ex xx 2 利用函數(shù)概念求函數(shù)表達(dá)式利用函數(shù)概念求函數(shù)表達(dá)式 例 已知 求 1sin x f exx f x 解 令 則 于是從而 x et lnxt 1 lnsin ln f ttt 1 lnsin ln f xxx 注 設(shè) 其中是已知函數(shù) 則有兩類問題 一是已知 fxx x 二是已知 f 求f 求 若 f 是已知 并存在反函數(shù) 則 1 xfx 若已知 并存在反函數(shù) 令 則 從而 tx 1 xt 即 1 f tt 1 f xt 因此 這兩類問題都是求反函數(shù)問題 3 求未定型函數(shù)極限求未定型函數(shù)極限 例 求下列極限 解 原式 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 16 原式 1 原式 原式 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 17 4 求變限積分不等式的極限求變限積分不等式的極限 例 求極限 2 2 2 2 0 0 2 3 lim x t xt x e dt edt 解 原式 22222 2 2222 2222 4 4 0000 18181414 2 4 442 limlimlimlim0 33 3328 xxxx ttxtt x xxxx xxxx e dte dtee dte dt e eeexe 注 在驗(yàn)證條件時 要用到以下結(jié)論 若連續(xù) 又 0 lim x x f t dt f x 則 lim 0 x f xA 也可為lim x x 0 lim x x f t dt 5 由極限確定函數(shù)中的參數(shù)由極限確定函數(shù)中的參數(shù) 例 確定的值 使 a b c 解 當(dāng) 時 由 可得 原式 同理可得 故原式 故 c 1 2 例 試確定常數(shù) 的值 使極限 存在 并求該 極限值 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 18 解 原式 存在 由 可得 即 則原式 同理由 可得 即 所以原式 6 利用函數(shù)收斂準(zhǔn)則求極限利用函數(shù)收斂準(zhǔn)則求極限 例 1 利用夾逼準(zhǔn)則 解 且 又 由夾逼原則可得原式 例 2 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則 若序列的項(xiàng)滿足 為正的常數(shù) 且 這 n a 1 aa a 1 1 2 nn n a aa a 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 19 里 1 2 n 試證有極限 并求出它 n a 解 由 又 1 aa 2 11 21 111 21 222 aaaaa aaa aaa 今用數(shù)學(xué)歸納法證 這只須注意到 k aa 2 1 21 222 kk kk kkk aaaaa aaa aaa 又 故單調(diào)且有下界 從而其極限 2 1 1 0 22 n nnn nn aaa aaa aa n a 時 存在 令其為 n A 由 有 即 1 1 2 nn n a aa a 1 1 limlim 2 nn nn n a aa a 1 2 a AA A 即 2 Aa 所以 從而 0Aa A lim n n aa 7 求求 n 項(xiàng)和數(shù)列的極限項(xiàng)和數(shù)列的極限 例 求 2 sinsinsin lim 11 1 2 n n nnn n nn n 解 2 sinsinsin 11 1 2 n nnn n nn n 12 sinsinsin 1 n nnnn 1 1 sin 1 n i ni nnn 且 故由夾逼定理原式 1 1 limsin 1 n n i ni nnn 2 2 8 求求 n 項(xiàng)積數(shù)列極限項(xiàng)積數(shù)列極限 例 當(dāng)時 0 x limcoscoscos 242n n xxx 原極限 2 sincoscoscos 2242 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 1 2coscos cossin 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 2 11 2coscos 2cossin 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x sin lim 2 sin 2 n n n x x sin 22 nn xx sinsin lim 2 sin 2 n n n xx x x 9 利用函數(shù)極限求數(shù)列極限利用函數(shù)極限求數(shù)列極限 例 求 21 lim tan n n n n 解 因?yàn)榭苫癁榍?1 tan 1 limtanlim1 1 nn n n n n 21 lim tan x n x x 又因?yàn)?其中而 21 lim tan x n x x 3 tan tan 0 1tan lim 1 tt t t t t t tt t xt 0 lim0 tan t t tt 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 21 故原式 2 3222 000 1 1 tan1 1 cos 1 cos 1 cos limlimlim 33cos3 ttt tttt t tttt 1 3 e 10 無窮小的比較與無窮小的階的確定無窮小的比較與無窮小的階的確定 例 設(shè)函數(shù) 則 f x 在內(nèi) n n n xxf 3 1lim A 處處可導(dǎo) B 恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn) C 恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn) D 至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn) C 解 先求出 f x 的表達(dá)式 再討論其可導(dǎo)情形當(dāng)時 1 x 11lim 3 n n n xxf 當(dāng)時 1 x111lim n n xf 當(dāng)時 1 x 1 1 lim 3 1 3 3 x x xxf n n n 即 可見 f x 僅在 x 時不可導(dǎo) 故應(yīng)選 C 1 11 1 1 3 3 x x x x x xf1 11 函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的討論函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的討論 例 判斷間斷點(diǎn)并判別類型 解 當(dāng) 時 當(dāng) 時 當(dāng) 時 即 所以 為函數(shù) 第一類間斷點(diǎn) 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 22 12 有關(guān)極限的證明有關(guān)極限的證明 例 設(shè)在連續(xù) 求證 f x 0 lim 0 x f xA 0 lim x x f t dt 證明因 由極限的不等式性質(zhì)可知 lim 2 x A f xA 2 A XxXf xxX 當(dāng)時則時有 因此 000 2 xXxX X A f t dtf t dtf t dtf t dtxX 0 lim x x f t dt 注 若 0 0 lim x x Af t dt 則 類似可知 若 0 0 lim x x Af t dt 則 13 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限 例 求下列極限 關(guān)于泰勒展式有關(guān)內(nèi)容可參見第三章 1 2 2 2 4 0 cos lim sin x x xe x 2 1 lim ln 1 x xx x 3 4 2 5 0 lim 1 5 1 x x xx 23 0 112 lim 1ln 2 x x xxx 解 1 22 22 44 00 coscos limlim sin xx xx xexe xx 分母的次數(shù)為 4 只要把 展開到出現(xiàn) 的四次冪即可 cosx 2 2 x e x 244 11 cos1 2 4 xxxo x 2 2224 2 111 1 22 2 x exxo x 故 原極限 44 4 0 11 1 4 8 lim 12 x xo x x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 23 2 的展開式只要取到 2 項(xiàng)即可 1 ln 1 x 22 111 11 ln 1 2 o xxxx 原極限 222 11 1111 lim lim 1 222 xx xxoo xxx 3 分子關(guān)于 的次數(shù)為 2 x 1 225 5 11 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 52 5 5 xxxxo x 22 12 xxo x 原極限 2 22 0 1 lim 12 1 2 x x xxo xx 4 1 2 2 lnlnln 1 ln 1 222 1 2 x xxx x x 233233 1111 22 23 222 23 2 xxxxxx o xo x 33 1 12 xxo x 3 33 233 1111 1 1 1212 o x xxo x xxx 故 23 0 11211 lim 1ln 212 x x xxx 練習(xí)題一練習(xí)題一 1 填空題填空題 1 已知 則 2 設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) 若 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 24 在 處連續(xù) 則常數(shù) 3 設(shè)當(dāng) 時 為 的 階無窮小 則 4 5 已知 則 6 7 222 333 12 lim 12 n n nnnn 8 和 為正整數(shù)且 1 lim 1 m n n x x mnmn 9 設(shè)在處間斷 則 a 與 b 應(yīng)滿足的關(guān)系是 2 0 sin 0 abxx f x bx x x 0 x 2 選擇題選擇題 1 若函數(shù) 在 處連續(xù) 則 的值是 2 設(shè) 其中 則必有 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 25 3 函數(shù)在定義域內(nèi)為 2 1 x f x x A 有上界無下界 B 有下界無上界 C 有界 且 D 有界且 11 22 f x 2 22 1 x x 4 322 lim 221 x xxxx A B C D 4 1 4 5 則 1 1 2 1 1 1 xx f xx x x 1 lim x f x A 1 B 0 C D 不存在 6 設(shè) 則 3 sin xx f x x A 有無窮多個第一類間斷點(diǎn) B 自由一個可去間斷點(diǎn) C 有兩個跳躍間斷點(diǎn) D 有 3 個可去間斷點(diǎn) 3 計(jì)算與證明計(jì)算與證明 1 求極限 0 1 1 lim n m x x x 2 設(shè) 試討論 在 處的連續(xù)性和 可導(dǎo)性 3 試確定常數(shù) 的值 使極限 存在 并求 該極限值 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 26 4 設(shè) 且 是 的可去間斷點(diǎn) 求 的值 5 設(shè) 求 的值 6 設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo) 且 求 及 7 設(shè)是三次多項(xiàng)式 且有 求 f x 24 limlim1 0 24 xaxa f xf x a xaxa 3 lim 3 xa f x xa 8 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 且 試證 f x a b 12 n x xxa b 使 a b 12 1 n ff xf xf x n 9 設(shè)在上連續(xù) 且 證明 一個 使得 f x f f xx f 10 設(shè) 在上連續(xù) 且 則在 f x g x a b f ag af bg b 內(nèi)至少 一個 使 a b fg 11 證明方程恰有 3 個實(shí)根 3 910 xx 12 求復(fù)合函數(shù)設(shè) 求 2 0 1 2 0 xx f xxxx xx fxf x 參考答案參考答案 1 1 1 2 a b 3 4 5 1 6 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 27 6 2 7 1 3 8 9 m n ab 2 1 A 2 D 3 C 4 A 5 D 6 D 3 1 2 1 3 4 n m 5 6 7 9 2 1 2 8 提示 用介值定理 9 提示 輔助函數(shù) 用零點(diǎn)定理 F xf xx 10 輔助函數(shù) 利用介值定理 F xf xg x 11 可利用零點(diǎn)定理 12 可利用前面講到的求復(fù)合函數(shù)當(dāng)中的圖示法 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 28 極限理論框架圖極限理論框架圖 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 29 第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 本章要求 1 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念 理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 會求平面曲線的切線方程和法線方程 了解導(dǎo)數(shù)的物理意義 會用導(dǎo)數(shù)描述一 些物理量 數(shù)三 數(shù)四不要求 理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 數(shù)三 數(shù)四增加要求了解經(jīng)濟(jì)意義 含邊際與彈性的概念 2 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 掌握基本初等函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)公式 了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性 會求函數(shù)的微 分 3 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念 會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 4 會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 會求隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 數(shù)三 數(shù)四參數(shù)方程求導(dǎo)不要求 5 理解并會用羅爾定理 拉格朗日中值定理泰勒定理 了解并會用 數(shù)三 數(shù)四不要求 柯西中值定理 6 掌握用洛必達(dá)法則求未定型極限的方法 數(shù)三 數(shù)四會用洛必達(dá)法則求 極限 7 理解函數(shù)的極值概念 掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方 法 掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用 8 會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性 會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平 鉛直 和斜漸近線 會描繪函數(shù)的圖形 9 了解曲率和曲率半徑的概念 會計(jì)算曲率和曲率半徑 數(shù)三 數(shù)四不要 求 第第 1 節(jié)節(jié) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 基本內(nèi)容學(xué)習(xí)基本內(nèi)容學(xué)習(xí) 一一 基本概念與定理基本概念與定理 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 定義 1 函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在的領(lǐng)域內(nèi)有定義 給在 yf x 0 xx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 30 處以增量 函數(shù)和相應(yīng)地得到增量 如果極 0 x 0 x y 00 yf xxf x 限 1 存在 則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 該函數(shù)值 00 00 limlim xx f xxf xy xx 稱為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 記為 即 0 x 0 fx 0 y x 0 x x dy dx 令 則 1 00 0 00 limlim xx f xxf xy fx xx 0 xxx 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 定義 2 左右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在處的左 右導(dǎo)數(shù)分別定義為 f x 0 x 左導(dǎo)數(shù) 0 000 00 0 0 limlim xxx f xxf xf xf x fxxxx xxx 右導(dǎo)數(shù) 0 000 0 0 0 limlim xxx f xxf xf xf x fx xxx 定義 3 函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo) 如果在內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo) 則稱該 yf x a b 函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo) 若在內(nèi)可導(dǎo) 且在和處分別具有右 a b yf x a bxa xb 導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù) 則在上可導(dǎo) fa fb yf x a b 2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù)在幾何上可表示曲線在點(diǎn) 0 fx yf x 處的切線斜率 曲線在點(diǎn)的切線方程及法線方程分別是 00 M xf x yf x M 及 000 yfxxxf x 0 0 1 yxx fx 0 f x 0 0fx 當(dāng)時 導(dǎo)數(shù)的物理意義 設(shè)表示直線運(yùn)動 其中 表示位移 t 表示時刻 sf t s 則表示在時刻 t 的瞬時速度 表示在時刻 t 的加速度 如果 ds vft dt dv a dt 表示物理上的其他量 即導(dǎo)數(shù)表示該量的變化量 yf x 0 dy fx dx 3 微分的概念微分的概念 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 31 定義 4 如果函數(shù)在點(diǎn) x 處的某鄰域內(nèi)有定義 當(dāng)自變量在點(diǎn) x 取 yf x 得增量時 函數(shù)的增量可表示為 其中 A 是與無關(guān)的量 x y yA x x 是當(dāng)時比高階的無窮小 則稱在 x 處可微 稱為在 0 x x yf x A x f x 點(diǎn) x 處的微分 記為或 即 1 由于當(dāng) x 為自變量時 dy df x dydf xA x 同時可證 所以 1 又可寫成 函數(shù)的一階微分與其dxx fxA dyfx dx 導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 二二 基本定理基本定理 1 與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的幾個基本定理與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的幾個基本定理 1 可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系 函數(shù)在 x 處可微在 x 處可導(dǎo) f x f x 2 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 則在點(diǎn)x處 yf x 0 x yf x 連續(xù) 但函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo) 3 導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 存在 0 fx 00 fxfx 基本知識記憶基本知識記憶 1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 四則運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)可導(dǎo)則 uu x vv x x 1 uvuv d uvdudv 2 uvuvvu d uvudvvdu 3 2 0 uvuuv v vv 2 uvduudv d vv 2 反函數(shù)的運(yùn)算法則反函數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)單調(diào)連續(xù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)且 則其反數(shù) yf x xx 0fx 在點(diǎn) 所對應(yīng)的處可導(dǎo) 并且有 xy 1dy dx dx dy 3 復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則 若在點(diǎn) 可導(dǎo) 而在對應(yīng)點(diǎn) 可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù) x x yf x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 32 在點(diǎn)可導(dǎo) 且 yfx x yfx 4 基本導(dǎo)數(shù)與微分表基本導(dǎo)數(shù)與微分表 1 常數(shù) yc 0y 0dy 2 為實(shí)數(shù) a yx 1 yx 1 dyxdx 3 x ya ln x yaa ln x dyaadx 特例 xx ee xx d ee dx 4 log 0 1 a yx aa 1 ln y xa 1 ln dydx xa 特例 lnyx 1 ln x x 1 ln dxdx x 5 sinyx cosyx sin cosdxxdx 6 cosyx sinyx cos sindxxdx 7 tanyx 2 2 1 sec cos yx x 2 tan secdxxdx 8 cotyx 2 2 1 csc sin yx x 2 cot cscdxxdx 9 secyx sec tanyxx sec sec tandxxxdx 10 cscyx csc cotyxx csc csc cotdxxxdx 11 arcsinyx 2 1 1 y x 2 1 arcsin 1 dxdx x 12 arccosyx 2 1 1 y x 2 1 arccos 1 dxdx x 13 arctanyx 2 1 1 y x 2 1 arctan 1 dxdx x 14 arccotyx 2 1 1 y x 2 1 arccot 1 dxdx x 15 yshx ychx d shxchxdx 16 ychx yshx d chxshxdx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 33 基本題型訓(xùn)練基本題型訓(xùn)練 1 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分概念的命題一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分概念的命題 例 設(shè)在處連續(xù) 且 求 f x1x 1 lim2 1 x f x x 1 f 解 由導(dǎo)數(shù)定義 而在處連續(xù) 1 1 1 lim 1 x f xf f x f x1x 1111 1 lim lim 1 lim 1 lim0 11 xxxx f xf x ff xxx xx 11 1 1 limlim2 11 xx f xff x f xx 2 幾類一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分幾類一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 1 2 設(shè) 求arcsin x ye ln 1 3 x y dy 解 1 22 11 11 xx xx yeex ee 2 1 2 1 xx eex 2 1 1 3 1 3 x x dyd 3ln3 1 3 x x dx 1 31 x dx 例 求由參數(shù)式確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) 求 2 ln 1 arctan xt yt 2 2 dy d y dx dx 解 t t ydy dxx 參數(shù)式求導(dǎo)公式 2 2 1 1 2 1 t t t 1 2t 將該式對 求導(dǎo) 右端先對 求導(dǎo)再乘上得xt dt dx 2 2 d y dx 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 2 111 22 t dt tdxtx 反函數(shù)求導(dǎo)法 2 2 1 2 2 1 t t t 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 34 2 3 1 4 t t 例 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 隱函數(shù)求導(dǎo) 由方程所確定的函數(shù) 稱為是變量 的隱 0F x y yy x yx 函數(shù) 隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法一般有三種方法 dy dx 1 方程兩邊對求導(dǎo) 要記住是 的函數(shù) 則的函數(shù)是 的復(fù)合函數(shù) xyxyx 例如 等均是 的復(fù)合函數(shù) 對求導(dǎo)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)連鎖法則做 1 y 2 yln y y exx 2 公式法 由知 其中 分別 0F x y x y F x ydy dxF x y x F x y y F x y 表示對 和的偏導(dǎo)數(shù) F x yxy 3 利用微分形式不變性 在方程兩邊求微分 然后解出 舉例說明如 dy dx 下 例 設(shè)方程 求 22 cos y xyexy y 方法一 22 2sin 12 y yxyye yxyyy 22 2 sin 22 sin y yxy y xyeyxy 方法二 令 22 cos y F x yxyexy 因?yàn)?22 sin x Fyxy 2 22 sin y y Fxyeyxy 所以 22 2 sin 22 sin x y y F x ydyyxy dxF x yxyeyxy 方法三 22 cos y d xyedxy 22 2sin 2 y y dxxydye dyxydxydy 222 22 sin sin y xyeyxydyyxydx 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 35 22 2 sin 22 sin y dyyxy dxxyeyxy 注 關(guān)于隱函數(shù)的三種方法 大家可以根據(jù)具體題目具體分析 采用適合 題目的最好方法 分段函數(shù)的求導(dǎo) 例 確定常數(shù) a 和 b 使得函數(shù)處處可導(dǎo) 2 1 1 axbx f x xx 解 由在處可導(dǎo) 得在處連續(xù) 由表達(dá)式知 在 f x1x f x1x f x 是左連續(xù)的 于是 在連續(xù) 1x f x1x 11 lim lim 1 1 xx f xaxbfab 又在可導(dǎo) 在條件下 可改寫成 f x1x 1 1 ff 1ab f x 于是 因此 2 1 1 axbx f x xx 1 faxb 1x a 2 1 1 2 x fx 在可導(dǎo)故僅當(dāng)時 處處可導(dǎo) f x1x 1 2 2 1 aba ab 2 1ab f x 注 對這類問題的依據(jù)是 函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)則在該點(diǎn)處連續(xù) 函數(shù)在某 點(diǎn)處可導(dǎo) 則在該點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)相等這兩個性質(zhì) 建立兩個特定常數(shù)之間的兩 個關(guān)系式 然后再解出來 3 變限積分的求導(dǎo)變限積分的求導(dǎo) 例 設(shè)連續(xù)且 則 f x 3 1 0 x f t dtx 7 f 解 這是含變限積分的恒等式 兩邊對求導(dǎo)得 令x 3 1 f x 2 31x 即得2x 1 7 12 f 4 可導(dǎo)與連續(xù)命題的討論可導(dǎo)與連續(xù)命題的討論 例 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性 2 2 0 2 1 cos 0 1 0 1 cos 0 x xx x f xx t dtx x 0 x 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 36 解 由于函數(shù)具有分段形式 我們可分別按定義求出來討論 0 0 ff 是否存在 0 f 按定義 2 22 0 2 00 00 cos 0 cos12 sin 0 limlimlimlim0 22 x xx xx t dtx f xfxxx f xxx 2 32 000 0 0 2 1 cos 2 sin 2cos1 0 limlimlimlim0 332 xxx x f xfxxxxx f xxxx 因此 因此在可導(dǎo) 因而也必連續(xù) 0 0 0ff f x0 x 5 導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用問題導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用問題 例例 求平面曲線的切線方程或法線方程 已知是周期為 5 的連續(xù)函數(shù) 它在的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式 f x0 x 其中是當(dāng)時比 的高階無窮小 且 1 sin 3 1 sin 8 fxfxxx x 0 x x 在處可導(dǎo) 求曲線在點(diǎn)處的切線方程 f x1x yf x 6 6 f 解解 曲線在點(diǎn)處的切線方程 由周期性 yf x 6 6 f 6 6 6 yffx 6 1 ff 故只需求與 又已知只給出 在處可導(dǎo) 所 6 1 ff 1 f 1 f f x1x 以利用導(dǎo)數(shù)定義求由連續(xù)性 有 1 f 即 故因此 00 lim 1 sin 3 1 sin lim 8 xx fxfxxx 1 3 1 0ff 1 0f 又 00 1 1 1 1 limlim uu fuffu f uu 00 1 sin 3 1 sin 8 limlim sinsin xx fxfxxx xx 即 00 1 sin 3 1 sin 8 lim lim sinsinsin xx fxfxxx xxx sin xx 也即 故 所以要求的切線方程為 1 3 1 8ff 1 2 f 2 6 yx 第第 2 節(jié)節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 基本內(nèi)容學(xué)習(xí)基本內(nèi)容學(xué)習(xí) 一一 基本概念基本概念 高等數(shù)學(xué)各章知識要點(diǎn)及典型例題與習(xí)題詳細(xì)精解 37 定義 1 若導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo) 則稱在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)為y f x f x xf x x 在點(diǎn) 處的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 記為 即 同y f x x 2 2 d y f x dx lim x f x Dx f x f x Dx 樣可定義函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)為 n 1 1 0 lim nn n x fxxfx fx x 二二 高階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)的求法 直接法 直接法 所謂直接法是指求出所給函數(shù)的 1 3 階或 4 階導(dǎo)數(shù)后 分析所得 結(jié)果的規(guī)律性 從而寫出 階導(dǎo)數(shù)的方法 n 間接法 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式 通過四則運(yùn)算 變量代換 泰勒級數(shù) 的方法求 階導(dǎo)數(shù) n 基本知識記憶基本知識記憶 常用高階導(dǎo)數(shù)公式 1 ln 0 e e xnxnxnx aaaa 2 sin sin 2 nn kxkkxn 3 cos cos 2 nn kxkkxn 4 mnm n xm m 1m n 1 x 5 1 1 ln 1 nn n n x x 6 萊布尼茲公式 若均 階可導(dǎo) 則 u x v xn 0 n niin i n i uvc u v 其中 0 u u 0 v v 基本題型訓(xùn)練基本題型訓(xùn)練 6 求一元函數(shù)的求一元函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) n 例