數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)角平分線的性質(zhì).doc

第十二章 角平分線的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)： （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 角平分線的畫法、角平分線的性質(zhì)。 （二）能力訓(xùn)練要求1掌握角平分線的性質(zhì)。 2會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線。 教學(xué)重點(diǎn)：利用尺規(guī)作已知角的平分線角平分線的性質(zhì)。 教學(xué)難點(diǎn)：角的平分線的性質(zhì)。教學(xué)過程： 一提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 現(xiàn)在有一張用紙做的角，怎樣不利用其他工具把它平分？ 對(duì)折之后的折痕和這個(gè)角有什么關(guān)系？ 如果是木板不能對(duì)折，該怎么平分？二合作交流 探究新知 探究1 想一想：下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線你能說明它的道理嗎？ 教師活動(dòng)：播放多媒體課件，演示角平分儀器的操作過程，使學(xué)生直觀了解得到射線AC的方法 學(xué)生活動(dòng)： 觀看多媒體課件，討論操作原理 生1要說明AC是DAC的平分線，其實(shí)就是證明CAD=CAB 生2CAD和CAB分別在CAD和CAB中，那么證明這兩個(gè)三角形全等就可以了 生3我們看看條件夠不夠 所以ABCADC（SSS） 所以CAD=CAB 即射線AC就是DAB的平分線 （分小組完成這項(xiàng)活動(dòng)，教師可參與到學(xué)生活動(dòng)中，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導(dǎo)，使講評(píng)更具有針對(duì)性） 討論結(jié)果展示： 作已知角的平分線的方法： 已知：AOB 求作：AOB的平分線 作法： （1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N （2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧兩弧在AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C（3）作射線OC，射線OC即為所求 （教師根據(jù)學(xué)生的敘述，作多媒體課件演示，使學(xué)生能更直觀地理解畫法，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣） 點(diǎn)撥： 1在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長”這個(gè)條件行嗎？ 2第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在AOB的內(nèi)部嗎？ （設(shè)計(jì)這兩個(gè)問題的目的在于加深對(duì)角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣） 學(xué)生討論結(jié)果總結(jié)： 1去掉“大于MN的長”這個(gè)條件，所作的兩弧可能沒有交點(diǎn)，所以就找不到角的平分線 2若分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點(diǎn)可能在AOB的內(nèi)部，也可能在AOB的外部，而我們要找的是AOB內(nèi)部的交點(diǎn)，否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是AOB的平分線了 3角的平分線是一條射線它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個(gè)限制缺一不可 4這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明 探究2： 角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，今天我們就來研究這個(gè)問題 做一做2 角平分線的性質(zhì)即已知角的平分線，能推出什么樣的結(jié)論 操作：1. 在你剛才畫好的角平分線OC上任意取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA和OB的垂線段，分別記垂足為D，E。PD和PE的長度有什么關(guān)系？2. 在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一下，并和你的伙伴交流結(jié)論，你們發(fā)現(xiàn)角平分線有什么性質(zhì)？ 畫一畫： 拿出兩名同學(xué)的畫圖，請(qǐng)大家評(píng)一評(píng)，以達(dá)明確概念的目的 生同學(xué)乙的畫法是正確的同學(xué)甲畫的是過角平分線上一點(diǎn)畫角平分線的垂線，而不是過角平分線上一點(diǎn)畫兩邊的垂線段，所以同學(xué)甲的畫法不符合要求 生甲噢，對(duì)，我知道了 師同學(xué)甲，你再做一遍加深一下印象 教師提出問題：你能敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎？生回答后，教師進(jìn)一步引導(dǎo):觀察操作得到的結(jié)論有時(shí)并不可靠，你能否用推理的方法驗(yàn)證你的結(jié)論呢？ 證一證：引導(dǎo)學(xué)生證明角平分線的性質(zhì)，分清題設(shè)、結(jié)論，將文字變成符號(hào)并加以證明（一生板演）說一說: 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形從文字和符號(hào)的角度分別敘述問題1：你能用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎？ 生角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 問題2：（出示）能否用符號(hào)語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話學(xué)生通過討論作出下列概括： OC平分AOB，PDOA，PEOB， PD=PE 于是我們得角的平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等三、用一用: 1、 如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P 求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等 師生共析點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點(diǎn)到三邊的距離，也就是說要證：PD=PE=PF而BM、CN分別是B、C的平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個(gè)問題 證明：過點(diǎn)P作PDAB，PEBC，PFAC，垂足為D、E、F 因?yàn)锽M是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上 所以PD=PE 同理PE=PF 所以PD=PE=PF 即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等四、鞏固練習(xí)在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，“角平分線”和“兩個(gè)垂直”這兩個(gè)條件缺一不可。1、如圖，是的外角的平分線上一點(diǎn)，于，于，且交的延長線于。求證：。思路分析：由已知條件，可以利用角平分線的性質(zhì)得到DEDF。而要證明CECF，只要證明以它們?yōu)檫叺膬蓚€(gè)三角形全等即可。將兩者結(jié)合起來分析就不難找到思路。解答過程：CD是的平分線，于，于，在和中（HL）解題后的思考：利用角平分線的性質(zhì)可以證明線段相等，而線段相等可能又是證明其他結(jié)論所需要的條件。2、如圖，是的角平分線，垂足分別是。連接，交于點(diǎn)。說出與之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。思路分析：兩條線段之間的關(guān)系有長度和位置兩種關(guān)系，因此我們可以從這兩方面去猜測判斷。角是以其平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，此題可以利用這一點(diǎn)進(jìn)行判斷。解答過程：，且證明： 平分，垂足分別是在和中 （HL）在DGE和DGF中（SAS），且。解題后的思考：通過此題我們知道，證明兩條線段相等，除了利用全等三角形的性質(zhì)外，還可以利用角平分線的性質(zhì)。這樣我們又多了一種證明線