1.1.1兩個基本計數原理.doc

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教材分析第1章計數原理江蘇省宿遷市馬陵中學范金泉本章是組合數學的最基礎的知識，共包含1. 1兩個基本計數原理、1. 2排列、1. 3組合、1. 4計數應用題和1. 5二項式定理五節(jié)內容，其中分類加法計數原理、分步乘法計數原理這兩個計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具一、課程標準關于計數原理的表述及教學要求1表述：計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具在本模塊中，學生將學習計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯系，會解決簡單的計數問題2教學要求：（1）分類加法計數原理、分步乘法計數原理通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題（2）排列與組合通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題（3）二項式定理能用計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題二、課程標準與教學大綱在要求上的主要變化12002年4月由教育部頒布實施的教學大綱，將這一部分的教學內容的標題定為排列、組合、二項式定理，教學目標規(guī)定為：（1）掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題（2）理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題（3）理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題（4）掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題2對比2003年4月由教育部頒布的課程標準，一是章節(jié)名稱變?yōu)橛嫈翟?，突顯了計數原理的基礎地位，同時在教學要求上，發(fā)生了明顯的變化，主要變化有：（1）“計數原理”的要求由“掌握”變?yōu)椤巴ㄟ^實例，總結出加法計數原理、分步乘法計數原理”；（2）“排列、組合”的要求也由“理解排列、組合的意義”變?yōu)椤巴ㄟ^實例，理解排列、組合的概念”，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題（3）關于“排列數、組合數”，則由“掌握排列數計算公式，掌握組合數計算公式和組合數的性質”變?yōu)椤澳芾糜嫈翟硗茖帕袛倒?、組合數公式”（4）“二項式定理”由“掌握二項式定理和二項展開式的性質”變?yōu)椤澳苡糜嫈翟碜C明二項式定理”，省去了“二項展開式的性質”，并給出了參考例題1以上變化，主要是為了防止教學過程中“人為地加深難度，對知識點進行深挖”（5）教學課時也有所變化，教學大綱規(guī)定為18課時，而課程標準規(guī)定為14課時，減少了學時數三、江蘇省普通高考數學學科考試說明中“計數原理”部分的考試范圍與要求層次考試內容要求層次ABC計數原理加法原理與乘法原理排列與組合二項式定理四、江蘇高考考題計數原理作為選修內容，只能出現在江蘇省普通高考數學試卷的附加題部分，由于這一部分內容的考點較多，故涉及排列、組合、二項式定理的考題僅在2008年江蘇省普通高考數學試卷中出現，為第23題（真題如下）：請先閱讀：在等式cos2x2cos2x1（xR）的兩邊求導，得：（cos2x）（2cos2x1），由求導法則，得（sin2x）24cosx（sinx），化簡得等式：sin2x2cosxsinx（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1x）n （xR，整數n2），證明：n （1x）n-11（2）對于正整數n3，求證：（i）0；（ii）0；（iii）本題重在考查二項式定理，并融入了導數的內容?。?）證明：在等式（1x）n兩邊求導得：n （1x）n-1n，故n （1x）n-11（2） （i）在等式n（1x）n-1中，令x1，則有0兩邊同乘以1得，0即0（ii）對等式n（1x）n-1再求導，得n（n1）（1x）n-2令x1，則有0兩邊乘以(1)2，得0由（i）得0（iii）因為所以五、江蘇省數學學科關于計數原理的教學建議1分類計數原理和分步計數原理是處理計數問題的兩種基本思想方法教學中應引導學生根據計數原理分析、處理問題，而不是機械地套用公式通過對實際問題的分析，確定解決該問題是需要分類，還是需要分步，再選用相應的公式計算在本章的教學中，應注意控制題目的難度，避免繁瑣的、技巧性過高的計數問題2在解決問題時，要讓學生正確理解“完成一件事”的具體含義是什么，怎樣才算“完成”，以及采用何種方式“完成”3解決計數應用問題的關鍵是設計完成一件事的過程，教學中要引導學生合理設計完成這件事的過程4解決本章的應用題，方法靈活多樣，教學中要引導學生多方向地思考，選擇最佳方案，使一些較復雜的問題得到簡化5在教學中，可通過試驗、畫簡圖等方法幫助學生將問題直觀化，進而尋求解題途徑在計數問題中，由于結果的正確性往往難以直接驗證，因而可以用多種不同的方法求解來加以驗證本章教學約需14課時，具體分配如下：11兩個基本計數原理約2課時12排列約3課時13組合約3課時14計數應用題約1課時15二項式定理約3課時本章復習與小結約2課時六、本章教學中應注意的幾個問題1教材開篇在列舉一些貼近生活的典型實例的基礎上，用明確的語言指出了兩個計數原理與加法、乘法運算之間的關系，并提出“不通過一個一個地數而確定這個數”的問題，從而使學生體會學習計數原理的必要性由于兩個計數原理的這種基礎地位，并且在應用它們解決問題時具有很大的靈活性，是訓練學生推理技能的好素材.面對一個復雜的計數問題時，通過分類或分步將它分解為若干個簡單計數問題，在解決這些簡單問題的基礎上，將它們整合起來而得到原問題的答案，可以達到以簡馭繁、化難為易的效果2“完成一件事情”是一個比較抽象的詞匯，它比學生熟悉的“完成一件工作”、“完成一項工程”的含義要廣泛得多，教學中應當結合實例讓學生辨析例如：“從甲地到乙地”、“從甲地經丙地再到乙地”、“從中任取一本書”、“從中任取數學書、語文書各一本”、“從19這九個數字中任取兩個組成沒有重復數字的兩位數”等等，這些都是原理中所說的“完成一件事情”排列、組合中的“確定一個滿足條件的排列”、“確定一個滿足條件的組合”也是指“完成一件事情”建議在概念和例題的教學中，都要求學生先思考并說出要完成的一件事情是什么在實際應用中，學生容易把“完成一件事情”與“計算完成這件事情的方法總數”混同例如，在分析“從19這九個數字中任取兩個，共可組成多少沒有重復數字的兩位數？”時，學生容易把要完成的事情理解成為“求滿足條件的兩位數的個數”教學時應當注意利用簡單實例引導學生消除這種誤解只有準確理解了什么叫“完成一件事情”，才能進一步分析可以用什么方法完成，是否需要分類或分步完成，這樣才能確定到底應該用哪個計數原理3排列與組合的區(qū)別就是是否有“一定順序”，為了讓學生理解其含義，要結合實例進行認真分析例如，學生熟悉的排隊問題中，“從前到后”、“從左到右”、都是“一定順序”；安排工作時“上午在前下午在后”也是“一定順序”；“從19這九個數字中選三個不同數字組成三位數”中，“一定順序”可以規(guī)定為“百十個”等等最后要使學生明確，若干個元素按照一定的順序排成一列，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，即當且僅當兩個排列的元素和順序都相同時才是同一個排列4關于“一個排列”與“排列數”、“一個組合”與“組合數”的區(qū)別與聯系，不應抽象地解釋與強調，而應多通過實例引導學生分析5關于組合數公式的推導，不要急于求成，而要通過具體的實例加以引導例如課本是通過從a，b，c三個元素中每次取出兩個元素給出的，在此基礎上，又通過表1-3-1給出了從四個元素中每次取出三個的組合數與排列數的對比，進一步引導學生理解組合與組合數的計算，以及組合數與排列數的關系6一題多解在計數問題中，由于結果的正確性往往難以直接驗證，因而可以用多種不同的方法求解來加以驗證7二項式定理是本章的重點內容，二項式定理的學習過程是應用兩個計數原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”與以往教科書比較，猜想不是通過對中n取1，2，3，4的展開式的形式特征的分析而歸納得出，而是直接應用兩個計數原理對展開式的項的特征進行分析這個分析過程不僅使學生對二項式的展開式與兩個計數原理之間的內在聯系獲得認識的基礎，而且也為證明猜想提供了基本思路在二項式定理的推導中，學生自覺地聯系到兩個計數原理是不容易的為此，教科書安排了如下過程：1在“情境問題”中給出了,的展開式，導出了的展開式問題；2詳細寫出用多項式乘法法則得到，的展開式的過程，并從兩個計數原理的角度對展開過程進行分析，概括出項數以及項的形式；3用組合知識分析的展開式中應有的項，以及每一個項的構成原由，得出系數的計數方法，從而得出的展開式從上述安排可以看到，得到二項式定理的猜想及其證明方法的核心就是應用兩個計數原理總之，計數問題是解決計數問題的最基本、最重要的方法，是根據實際問題的需要而提出的，教學中，不把那些人為編制的計數難題、需要特殊技巧的計數問題納入課堂，而計算機程序設計中程序模塊命名、字符編碼、程序測試路徑，以及核糖核酸分子、汽車牌照號碼等計數問題，涉及大量的物理、生物、計算機的專業(yè)知識，體現了學