熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理-第六章-近獨(dú)立粒子的最概然分布.ppt

1 熱統(tǒng) 第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 2 熱統(tǒng) 統(tǒng)計(jì)物理 關(guān)于熱現(xiàn)象的微觀理論 研究對象 大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng) 微觀粒子 如分子 原子 自由電子 光子等 統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為 宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn) 宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值 經(jīng)典統(tǒng)計(jì) 粒子滿足經(jīng)典力學(xué)規(guī)律 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述 量子統(tǒng)計(jì) 粒子滿足量子力學(xué)規(guī)律 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 在一定條件下 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是一個(gè)極好的近似 本章內(nèi)容 經(jīng)典描述 量子描述 三種分布函數(shù)及相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù) 3 熱統(tǒng) 6 1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述 遵守經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的粒子 稱為經(jīng)典粒子 1 具有 顆粒性 有一定的質(zhì)量 電荷等性質(zhì) 2 軌道運(yùn)動(dòng) 滿足牛頓定律 給定初時(shí)刻的 可確定其運(yùn)動(dòng)軌跡 確定性描述 經(jīng)典粒子可以被 跟蹤 3 可以分辨 經(jīng)典全同粒子可以分辨 具有完全相同屬性 質(zhì)量 電荷 自旋等 的同類粒子稱為全同粒子 4 能量是連續(xù)的 按照經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn) 在允許的能量范圍內(nèi) 粒子的能量可取任何值 4 熱統(tǒng) 一 空間 相空間 粒子位置和動(dòng)量構(gòu)成的空間 經(jīng)典力學(xué) 確定一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用和 自由度r 1 曲線上運(yùn)動(dòng) x和px描述其狀態(tài) r 3 3D空間中運(yùn)動(dòng) x y z和px py pz描述狀態(tài) 若粒子有內(nèi)部運(yùn)動(dòng) 則r更大 如雙原子分子 p p 一般地 設(shè)粒子的自由度為r 其力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由粒子的r個(gè)廣義坐標(biāo)q1 q2 qr和相應(yīng)的r個(gè)廣義動(dòng)量p1 p2 pr共2r個(gè)量的值確定 粒子能量 q1 q2 qr p1 p2 pr 總之 微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述是采用粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量共同描述的方法 5 熱統(tǒng) 用單粒子的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量q1 q2 qr p1 p2 pr為直角坐標(biāo)構(gòu)成2r維空間 稱為粒子相空間 即 空間 例如 單原子分子r 3 空間是6維 剛性雙原子分子r 5 空間是10維的 粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) q1 pr 可用 空間中的一個(gè)點(diǎn)表示 稱為粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn) 空間中的代表點(diǎn)與粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對應(yīng) 這樣 1 空間中的一個(gè)代表點(diǎn)表示粒子的一個(gè)狀態(tài) 2 當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí) 相應(yīng)地代表點(diǎn)在 空間中移動(dòng) 描繪出一條軌跡稱為相軌道 相跡 3 N粒子系統(tǒng) 需N個(gè)代表點(diǎn)描述系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài) 4 空間中的體積元 各軸上截取dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr 則圍成 空間中的體積元 d dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr 6 熱統(tǒng) 二經(jīng)典描述方法例子1自由粒子不受外力作用的粒子 如理想氣體分子 金屬自由電子等 其能量 1D自由粒子 限制在長L范圍內(nèi) 線狀材料等 互相正交的x px軸構(gòu)成2D的 空間 相軌道 等能面是一條直線 3D自由粒子 r 3 設(shè)粒子處于體積V中 狀態(tài)由x y z px py pz確定 空間是6維的 粒子能量 px2 py2 pz2 2m動(dòng)量子空間的半徑 7 熱統(tǒng) 等能面 在動(dòng)量子空間中 是半徑為的球面 相空間的體積 動(dòng)量小于p時(shí) 自由度為1 某時(shí)刻粒子狀態(tài)為 x px 空間為二維 若給定振子的能量 運(yùn)動(dòng)軌跡由如下方程確定 2線性諧振子 質(zhì)量為m的粒子在力f kx作用下的一維簡諧振動(dòng) 如雙原子分子 晶體中格點(diǎn)上的原子 離子等 兩個(gè)半軸長度 8 熱統(tǒng) 即相空間中的等能面為橢圓 其面積為 9 熱統(tǒng) 描述質(zhì)點(diǎn)的位置 r不變 與共軛的動(dòng)量 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 設(shè)半徑不變 3轉(zhuǎn)子 轉(zhuǎn)動(dòng)能量 其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 10 熱統(tǒng) 兩體或多體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)也可看成一個(gè)轉(zhuǎn)子 平面轉(zhuǎn)子 多體能量為 11 熱統(tǒng) 一粒子微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 波粒二象性德布羅意于1924年提出 一切微觀粒子都具有波粒二象性 中子衍射 p與 k存在德布羅意關(guān)系h 普朗克常數(shù) 它的量綱是 時(shí)間 能量 長度 動(dòng)量 角動(dòng)量 常稱為作用量子 經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù) 不確定關(guān)系 測不準(zhǔn)原理 微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定的值 用 q表示粒子坐標(biāo)的不確定值 p表示動(dòng)量不確定值 6 2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 12 熱統(tǒng) 微觀粒子的和不能同時(shí)具有確定值 不是軌道運(yùn)動(dòng) 用波函數(shù)描述狀態(tài) 表示t時(shí)刻處粒子出現(xiàn)的概率密度 則 電子軌道 電子出現(xiàn)概率最大的地方 狀態(tài)的分立性量子力學(xué)中 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài) 它由一組量子數(shù)來表征 其數(shù)目等于粒子的自由度數(shù) 狀態(tài)所對應(yīng)的力學(xué)量 如能量 等 不連續(xù) 狀態(tài)量子化 5全同性原理全同粒子不可分辨 任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài) 波函數(shù)描寫態(tài) 或 13 熱統(tǒng) 二量子描述例子 外場中的電子自旋 電子自旋產(chǎn)生磁矩 而 所以 自旋方向取向量子化 即外場中的電子自旋狀態(tài)只需要一個(gè)量子數(shù) 即可描寫其狀態(tài) 它取兩個(gè)分立值 沿磁場方向 為自旋角動(dòng)量 14 熱統(tǒng) 2自由粒子 1 一維自由粒子 自由運(yùn)動(dòng)的粒子被限制在邊長為L的一維容器中 波函數(shù)要滿足一定的邊界條件 采用周期性條件 即 由 所以 即動(dòng)量只能取分立的值 負(fù)號(hào)表示反向傳播 量子數(shù) 正號(hào)表示正向傳播 15 熱統(tǒng) 能量 能量也是分立的 表明 用一個(gè)量子數(shù)就可以確定粒子的動(dòng)量 能量 粒子狀態(tài)是分立的 能級(jí) 各能級(jí)的簡并性 nx 1是不同狀態(tài) 簡并 能級(jí)間隔大小與L m成反比 顯然 若L 時(shí) 0 即能量此時(shí)是連續(xù)的 故粒子在宏觀尺度上量子效應(yīng)不顯著 可用經(jīng)典方法描述 16 熱統(tǒng) 2 三維自由粒子 設(shè)自由粒子在邊長為L的方盒子中運(yùn)動(dòng) 粒子的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程 由周期性邊界條件得 量子態(tài)即由三個(gè)量子數(shù)來確定 狀態(tài)是量子化的 對于一定的能量 可包含多個(gè)量子態(tài) 能級(jí)簡并 簡并性討論 17 熱統(tǒng) 經(jīng)典粒子的動(dòng)量和能量是連續(xù)的 而在量子描述中 動(dòng)量和能量是分立的 這是局域在有限空間范圍粒子的特性 六狀態(tài)能量同為 3線性諧振子 用一個(gè)量子數(shù)n描述狀態(tài) 各能級(jí)都是非簡并的 即每個(gè)能級(jí)只有一個(gè)量子態(tài) 能級(jí)間隔相同 存在零點(diǎn)能 即n 0時(shí)能量非零 18 熱統(tǒng) 三 粒子的狀態(tài)與 空間體積元的對應(yīng)關(guān)系 空間中的體積元為 d dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr 如 1D 相體積 若對坐標(biāo)不加限制 則成為 3D 相體積 若對坐標(biāo)不加限制 則成為 19 熱統(tǒng) 由 有 故在V中 粒子的動(dòng)量在間隔 范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 在宏觀大小的容器內(nèi) 粒子的動(dòng)量 能量已變得準(zhǔn)連續(xù) 但原則上仍有量子數(shù)的概念 這時(shí)如何考慮自由粒子的量子態(tài)數(shù) 20 熱統(tǒng) 利用不確定關(guān)系解釋 叫做相格 表示粒子的一個(gè)狀態(tài)在 空間中占有的體積 則上式可理解為 相體積Vdpxdpydpz內(nèi)具有的量子態(tài)數(shù)為相體積Vdpxdpydpz比上相格 在 空間體積元d 內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 21 熱統(tǒng) 由 量子化軌道把 空間分成許多體積元 例1一維自由粒子 空間是二維的 一定時(shí) 相軌道是一條線段 驗(yàn)證了上面結(jié)論 其體積為 例2線性諧振子 空間的等能面是橢圓 面積為 能級(jí)為 相鄰兩個(gè)狀態(tài)之間所夾的面積為 22 熱統(tǒng) 推廣之 粒子的一個(gè)狀態(tài)在 空間中占有的體積為相格 四 三維自由粒子的態(tài)密度 1D 相體積dxdpx 若對坐標(biāo)不限制 相體積Ldpx 其中狀態(tài)數(shù) 3D 空間為6維 相格大小為h3 下面分幾種情況討論 1直角坐標(biāo) 組成的體積元內(nèi) 粒子的狀態(tài)數(shù)為 23 熱統(tǒng) 3若動(dòng)量空間中采用球坐標(biāo) 在體積V內(nèi) 動(dòng)量大小在p到p dp 動(dòng)量方向在 到 d 到 d 內(nèi) 自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 2若對坐標(biāo)不加限制 內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為 則在V中 動(dòng)量范圍 描述質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 則動(dòng)量空間的體積元 24 熱統(tǒng) 4若對動(dòng)量的方向不加限制 則在體積V內(nèi) 動(dòng)量絕對值在p到p dp的范圍內(nèi) 自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 5以能量形式表示 25 熱統(tǒng) D 表示 附近單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù) 稱為態(tài)密度 以上的計(jì)算沒有考慮粒子的自旋 如果粒子的自旋不等于零 還要考慮自旋的貢獻(xiàn) 表示 在V內(nèi) 在 到 d 的范圍內(nèi)自由粒子可能的狀態(tài)數(shù) 定義 26 熱統(tǒng) 6 3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 全同粒子系統(tǒng)就是由具有完全相同屬性 相同的質(zhì)量 自旋 電荷等 的同類粒子所組成的系統(tǒng) 如自由電子氣體 近獨(dú)立粒子系統(tǒng) 粒子之間的相互作用很弱 相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量 因而可以忽略粒子之間的相互作用 將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和 如理想氣體 近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng) 一基本概念 27 熱統(tǒng) 任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化 則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化 經(jīng)典描述單粒子的狀態(tài)要r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量 N個(gè)粒子系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要 i 1 2 N 共2N個(gè)變量來確定 在 空間中要用N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)某時(shí)刻的一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài) qi1 qi2 qir pi1 pi2 pir 二系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述 全同粒子是可以分辨的 在全同粒子系統(tǒng)中 將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換 則系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的 28 熱統(tǒng) B 粒子狀態(tài)是分立的 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) 單粒子態(tài) 量子態(tài)用一組量子數(shù)表征 如自由粒子nx ny nz 不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同 量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài) 對于N個(gè)粒子的系統(tǒng) 就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù) 三系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 A 全同粒子是不可分辨的 交換任何一對粒子不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài) 但定域系粒子可辨 定域系 粒子位置被限定 29 熱統(tǒng) 1玻耳茲曼系統(tǒng)粒子可以分辨 每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制 確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個(gè)粒子所處的個(gè)體量子態(tài) 確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài) 如定域系 例 設(shè)系統(tǒng)由A B兩個(gè)粒子組成 定域子 粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè) 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài) 因此 對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài) 即32 一般地為 A B 1 2 3 30 熱統(tǒng) 2不可分辨的全同粒子系統(tǒng)對于不可分辨的全同粒子 必須考慮全同性原理 確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù) 或 確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài) 1 玻色系統(tǒng) 即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng) 如光子自旋為1 介子自旋為0 由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子 由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子 粒子不可分辨 每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限 即不受泡利原理限制 31 熱統(tǒng) 2 費(fèi)米系統(tǒng) 即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng) 如電子 質(zhì)子 中子等都是自旋為1 2的費(fèi)米子 由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是費(fèi)米子 粒子不可分辨 每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子 費(fèi)米子遵從泡利原理 上例變?yōu)?A B 兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式 32 熱統(tǒng) 仍為A B 兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式 對于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng) 即使它們有相同的粒子數(shù) 相同的量子態(tài) 系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的 上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng) 三個(gè)量子態(tài) 對于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng) 其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的 33 熱統(tǒng) 6 4等概率原理 宏觀態(tài) 系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài) 用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài) 微觀態(tài) 系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài) 確定方法 可分辨的全同粒子系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng) 不可分辨的全同粒子系統(tǒng) 玻色 費(fèi)米系 確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值 從而求出相應(yīng)宏觀物理量 因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問題 宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn) 宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值 34 熱統(tǒng) 對于孤立系統(tǒng) 會(huì)出現(xiàn)大量的微觀狀態(tài) 這些微觀狀態(tài)都滿足具有確定的N E V的宏觀條件 從能量上講這些微觀狀態(tài)應(yīng)是平權(quán)的 等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)基本假設(shè) 是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)理論的基礎(chǔ) 不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證 它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論上的正確性 例 靜止容器中平衡態(tài)氣體 平動(dòng)動(dòng)能為零 重力場中平衡態(tài)氣體 壓強(qiáng)按高度分布 等概率原理 對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng) 系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的 35 熱統(tǒng) 6 5分布和微觀狀態(tài) 系統(tǒng)具有確定的N E V 孤立系 這時(shí)系統(tǒng)有大量微觀態(tài) 一 分布 若確定了各能級(jí)上的粒子數(shù) 則確定了系統(tǒng)的一個(gè)分布 簡并度 粒子數(shù) N粒子系統(tǒng)的能級(jí) 即 能級(jí) 1上有a1個(gè)粒子 能級(jí) 2上有a2個(gè)粒子 這就給出一個(gè)分布 即數(shù)列 al 滿足約束條件 36 熱統(tǒng) 分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子 一種分布包含大量的微觀狀態(tài) 每一種不同的占據(jù)方式都是不同的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 對一個(gè)確定的分布 它相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的 二 分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù) 量子描述 1玻耳茲曼系統(tǒng) 定域系統(tǒng) 粒子可以分辨 可編號(hào) 每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限 1 al個(gè)粒子占據(jù) l上的 l個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù) 2 各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi) 系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù) 3 由于粒子可分辨 能級(jí)之間粒子的交換是新的占據(jù)方式 能級(jí)之間粒子的交換有種不同的交換方式 未改變分布 37 熱統(tǒng) 例 系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子 共兩個(gè)能級(jí) 1 3 2 4給定分布 a1 4 a2 2 4 系統(tǒng)分布 al 包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為 能級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為 38 熱統(tǒng) 2玻色系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù) 粒子不可分辨 交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài) 每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制 例如 規(guī)定 粒子占據(jù)左邊的量子態(tài) 這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù) 即確定了一種占據(jù)方式 一個(gè)微觀態(tài) 改變排列 可得到新的占據(jù)方式 39 熱統(tǒng) 粒子和量子態(tài)之間的交換會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換不產(chǎn)生新的占據(jù)方式 顯然 粒子和粒子之間的交換不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式 其中粒子與粒子的交換 量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)生新的微觀態(tài) 只有量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀態(tài) 量子態(tài) 粒子各種交換 排列 總數(shù) 40 熱統(tǒng) 量子態(tài)交換數(shù) 粒子交換數(shù) 各種交換共有種可能的方式 2 將各種能級(jí)的結(jié)果相乘 就得到玻色系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 41 熱統(tǒng) 粒子不可分辨 每一個(gè)量子態(tài)最多能容納一個(gè)粒子 al個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) l上的 l個(gè)量子態(tài) 占據(jù)方式數(shù)為 從 l個(gè)量子態(tài)中選取al個(gè)量子態(tài)讓al個(gè)粒子占據(jù) 即 3費(fèi)米系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù) 將各能級(jí)的結(jié)果相乘 得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 42 熱統(tǒng) 三 經(jīng)典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系 若滿足 稱為經(jīng)典極限條件 或非簡并性條件 此時(shí)有 即在經(jīng)典極限條件下 43 熱統(tǒng) 四經(jīng)典系統(tǒng)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù) 經(jīng)典粒子狀態(tài)由q1 qr p1 pr的值確定 N粒子系統(tǒng)對應(yīng) 空間中的N個(gè)點(diǎn) 坐標(biāo)和動(dòng)量取值連續(xù) 微觀狀態(tài)不可數(shù) 處理如下 第一步 空間各軸上取間隔dq1 dqr dp1 dpr圍成體積元d dq1dq2 dqrdp1dp2 dpr h0r若體積元很小 其內(nèi)各點(diǎn)的狀態(tài)都看作相同 相格 即 處于同一相格內(nèi)的各代表點(diǎn)狀態(tài)都相同 不同相格內(nèi)代表點(diǎn)的狀態(tài)不同 每個(gè)相格就是一個(gè)狀態(tài) 在一定的相體積內(nèi)包含多少相格 則此體積中就有多少個(gè)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 微觀態(tài) 經(jīng)典力學(xué)中h0可以任意小 量子力學(xué)中h0最小為h 44 熱統(tǒng) 第二步 再把 空間按能量大小劃分成許多能量層 每層體積分別為 1 2 l 每層內(nèi)包含許多相格 同一能層內(nèi)各狀態(tài) 代表點(diǎn) 的能量相同 能層很薄 不同能層中各點(diǎn)的能量則不同 某能量層的體積為 l 則此層內(nèi)包含的相格數(shù)為 這些相格的狀態(tài)不同 但具有相同的能量 故相當(dāng)于量子描述中的簡并度 于是有分布 簡并度 粒子數(shù) 能級(jí) 給定了一種分布 al 45 熱統(tǒng) 得到 46 熱統(tǒng) 6 6玻耳茲曼分布 一 玻爾茲曼分布的推導(dǎo) M B 系統(tǒng) 1寫出分布及對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù) 微觀狀態(tài)數(shù)是分布 al 的函數(shù) 可能存在這樣一個(gè)分布 它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多 根據(jù)等概率原理 對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng) 系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的 那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布 出現(xiàn)的概率最大 稱為最可幾分布 最概然分布 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布 玻耳茲曼分布 47 熱統(tǒng) 2取對數(shù) 用斯特令公式化簡 斯特林近似公式 要求 要求 48 熱統(tǒng) 3拉格朗日未定乘子法 拉氏乘子法 求極值 對上式做一次微分 對于極值 一次微分為零 49 熱統(tǒng) 由于系統(tǒng)確定 則還要滿足約束條件 對上兩式子做一次微分得到 上兩式子乘以未定乘子得到 50 熱統(tǒng) 即 稱為麥克斯韋 玻耳茲曼分布 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布 任意 所以 51 熱統(tǒng) 拉氏乘子 由約束條件決定 52 熱統(tǒng) 二 粒子按量子態(tài)的分布 某量子態(tài)s上的平均粒子數(shù) 1按量子態(tài)的分布函數(shù) 約束條件為 粒子處于第l能級(jí)上的概率為 粒子處于某量子態(tài)s上的概率為 53 熱統(tǒng) 三 對玻耳茲曼分布的幾點(diǎn)說明 要證明極大 二階導(dǎo)數(shù)須小于零 故上述分布為對應(yīng) 最大的分布 最概然分布 對 ln 取二次微分 54 熱統(tǒng) 2分布的可靠程度 設(shè)有分布 al al 與M B分布 al 相對偏差為 al al 10 5 對于N 1023的宏觀系統(tǒng) 設(shè)新的分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 55 熱統(tǒng) 可見 對宏觀系統(tǒng) 在最概然分布處的微觀狀態(tài)數(shù)是一個(gè)非常尖銳的極大值 因此 最概然分布接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù) 完全可以代表系統(tǒng)平衡時(shí)真正的統(tǒng)計(jì)分布 3非簡并性條件的說明 用到斯特令公式 即要求al 1 但實(shí)際上可能不滿足 四 經(jīng)典系統(tǒng)中的玻耳茲曼分布 意義 系統(tǒng)最概然分布時(shí)狀態(tài)位于 l中的粒子數(shù)為al 56 熱統(tǒng) 6 7玻色分布和費(fèi)米分布 一 玻色分布 包含微觀狀態(tài)數(shù)目最大的分布出現(xiàn)的概率最大 是系統(tǒng)的最概然分布 57 熱統(tǒng) 此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布 稱為玻色分布 二 費(fèi)米分布費(fèi)米分布的推導(dǎo)作為練習(xí) 請同學(xué)們課后自己推導(dǎo) 58 熱統(tǒng) 6 8三種分布的關(guān)系 這時(shí)玻色分布和費(fèi)米分布都過渡到玻耳茲曼分布 由知 與 是一致的 都稱為非簡并性條件 或經(jīng)典極限條件 滿足經(jīng)典極限條件時(shí) 玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都過渡到玻耳茲曼分布 通常條件下的理想氣體 非定域系 即屬于這種情況 59 熱統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布 如順磁固體等定域系統(tǒng) 總之 玻色系統(tǒng)遵守玻色分布 費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布 滿足經(jīng)典極限條件時(shí) 玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布 定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色 費(fèi)米 系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布 但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的 60 熱統(tǒng) 假如系統(tǒng)可以應(yīng)用M B分布 而且粒子的能級(jí)非常密集 則粒子的能量可看作是連續(xù)的 問題可用經(jīng)典方法處理 這時(shí)的M B分布稱為經(jīng)典分布 61 熱統(tǒng) 第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì) 62 熱統(tǒng) 1 粒子經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài) a 代數(shù)描述 b 幾何描述 粒子相空間 空間 代表點(diǎn) 在量子力學(xué)中 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài) 2 粒子量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 量子態(tài)由一組量子數(shù)表征 3 簡并度 一個(gè)能級(jí)對應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目 一 粒子微觀運(yùn)動(dòng)的描述 第六章回顧 63 熱統(tǒng) 4 與經(jīng)典描述之間的關(guān)系 對于宏觀大小的容積 是很小的量 量子描述趨近于 經(jīng)典描述 由于不確定關(guān)系 即在體積元h內(nèi)的各運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 它們的差別都在測量誤差之內(nèi) 即被認(rèn)為是相同的 以一維自由粒子為例 其相空間的體積元為 一個(gè)量子態(tài)對應(yīng)粒子相空間的一個(gè)h大小的體積元 相格 64 熱統(tǒng) 二 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)的描述 1 全同和近獨(dú)立粒子的宏觀系統(tǒng) 全同粒子 具有相同物理性質(zhì) 質(zhì)量 電荷 自旋等 的微觀粒子 近獨(dú)立粒子 粒子之間的相互作用可以忽略不計(jì) 系統(tǒng)粒子數(shù) 能量 2 經(jīng)典微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 粒子可分辨 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定 每個(gè)粒子的微觀狀態(tài)確定 Nr個(gè)廣義坐標(biāo)和Nr個(gè)廣義動(dòng)量都確定 65 熱統(tǒng) 幾何表示 空間N個(gè)代表點(diǎn) 玻耳茲曼分布 玻耳茲曼粒子 3 量子系統(tǒng)的微觀狀態(tài) 粒子不可區(qū)分 只知道幾個(gè)粒子在哪個(gè)量子態(tài) 不知道哪幾個(gè)粒子在這個(gè)量子態(tài) 泡利不相容原理 自旋半整數(shù)的粒子 在一個(gè)量子態(tài)不可能有一個(gè)以上的粒子 自旋整數(shù)的粒子 不受泡利原理限制 玻色分布 玻色粒子 自旋整半數(shù)粒子 費(fèi)米分布 費(fèi)米粒子 光子 自旋1 聲子 自旋1 等 電子 質(zhì)子 夸克等 自旋1 2 66 熱統(tǒng) 4 分布的定義 能級(jí) 簡并度 粒子數(shù) 確定的宏觀態(tài) 表示一個(gè)分布 滿足 分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù) A 玻耳茲曼系統(tǒng) 玻耳茲曼分布 B 玻色分布 C 費(fèi)米分布 67 熱統(tǒng) 玻色分布和費(fèi)米分布趨向于玻耳茲曼分布 滿足經(jīng)典極限條件時(shí) 玻色 費(fèi)米 系統(tǒng)中的近獨(dú)立粒子在平衡態(tài)遵從玻爾茲曼分布 68 熱統(tǒng) 定域粒子組成的系統(tǒng) 如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動(dòng) 從其量子本性來說不可分辨 但可以根據(jù)其平衡位置而加以區(qū)分 在這意義下可以將定域粒子看做可以分辨的粒子 因此由定域粒子組成的系統(tǒng) 定域系統(tǒng) 遵從玻爾茲曼分布 玻耳茲曼系統(tǒng) 玻耳茲曼分布 69 熱統(tǒng) 一 玻耳茲曼分布 令 則 叫配分函數(shù) 7 1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 70 熱統(tǒng) 二 熱力學(xué)量 1 內(nèi)能 2 功 能級(jí)不變分布變 能級(jí)變分布不變 統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 71 熱統(tǒng) 能級(jí)不變分布變 能級(jí)變分布不變 能級(jí)的值 是力學(xué)方程在指定的邊界條件下的解 力學(xué)系統(tǒng)不變 方程不變 能級(jí)變 只有邊界條件變 改變邊界 即做功 外界對系統(tǒng)的力 每個(gè)粒子受力 功 廣義力統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 72 熱統(tǒng) 3 熵 由 得 等式兩邊同乘 而 且 所以 73 熱統(tǒng) 熵 其中令 求全微分 之前求得 由 得到 74 熱統(tǒng) 三 熵的統(tǒng)計(jì)意義 玻爾茲曼關(guān)系 75 熱統(tǒng) 說明 1 統(tǒng)計(jì)意義 熵 混亂度 微觀狀態(tài)數(shù)2 滿足經(jīng)典極限條件的不可分辨 玻色 費(fèi)米 系統(tǒng) 對于玻色 費(fèi)米分布 76 熱統(tǒng) 自由能 對于定域系統(tǒng) 滿足經(jīng)典極限條件的玻色 費(fèi)米系統(tǒng) 77 熱統(tǒng) 四 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 所有熱力學(xué)量都可以通過配分函數(shù)表示 經(jīng)典表達(dá)式 78 熱統(tǒng) h0對經(jīng)典統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響 與h0無關(guān) 與h0有關(guān) 對經(jīng)典分布 不含有 79 熱統(tǒng) 一 理想氣體 氣體分子之間的相互作用勢能被忽略 二 配分函數(shù) 7 2理想氣體的物態(tài)方程 80 熱統(tǒng) 三 物態(tài)方程 四 內(nèi)能 經(jīng)典極限條件 經(jīng)典條件下 1 N V愈小 即氣體愈稀薄2 溫度愈高3 分子的質(zhì)量愈大 81 熱統(tǒng) 能量分布 速度分布 出發(fā)點(diǎn) 7 3麥克斯韋速度分布率 一 思路 82 熱統(tǒng) 二 速度分布率 是能量在粒子數(shù)目 求動(dòng)量在 中粒子數(shù)目 對空間積分 83 熱統(tǒng) 在速度區(qū)間 的粒子數(shù) 單位體積內(nèi)在速度區(qū)間 的粒子數(shù) 即麥克斯韋速度分布率 為單位體積內(nèi)粒子數(shù) 84 熱統(tǒng) 三 速率分布 速率與方向無關(guān) 故需對上式進(jìn)行角度積分 物理含義 粒子速率在v v dv之間的粒子數(shù)目 85 熱統(tǒng) 四 特征速率 最概然速率 使速率分布函數(shù)取極大值的速率 把速率分為相等的間隔 vm所在間隔分子數(shù)最多 86 熱統(tǒng) 用分布函數(shù)計(jì)算與速率有關(guān)的物理量在速率0 區(qū)間內(nèi)的平均值 87 熱統(tǒng) 平均速率 方均根速率 88 熱統(tǒng) 五 瀉流 單位時(shí)間碰到單位面積器壁的粒子數(shù) 單位時(shí)間從器壁上單位面積空洞逃逸的粒子 瀉流 89 熱統(tǒng) 一 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)證明 對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng) 粒子能量中每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值為 A 與動(dòng)能有關(guān)部分 7 4能量均分定理 粒子的能量 動(dòng)能 勢能 某一個(gè)方向的動(dòng)能的平均值為 90 熱統(tǒng) 由于 結(jié)果代入下式 91 熱統(tǒng) B 與勢能有關(guān)部分 證明與上面同 二 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的困難 A 單原子分子理想氣體 P202 表7 2 考察幾個(gè)經(jīng)典系統(tǒng) 沒有考慮原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng) 92 熱統(tǒng) B 雙原子分子理想氣體 剛性連接 r 常量 P203 表7 3 不能解釋低溫氫氣的性質(zhì)和柔性連接情況 93 熱統(tǒng) C 理想固體 所有理想固體有相同的熱容量 三維線性振子 電子呢 經(jīng)典理論不能解釋 實(shí)際結(jié)果 94 熱統(tǒng) D 空腔內(nèi)輻射場 輻射場形成駐波 單色平面波的電場分量 波矢 色散關(guān)系 相當(dāng)于動(dòng)量 在V內(nèi) dkxdkydkz 中狀態(tài)數(shù) 95 熱統(tǒng) 每一波矢對應(yīng)的波有兩個(gè)偏振方向 兩個(gè)獨(dú)立狀態(tài) 故對應(yīng)的能量平均值為 故在容積V中 d 中平均輻射內(nèi)能 瑞利 金斯公式 依這個(gè)公式 總能量 熱力學(xué)結(jié)果 有限 看樣子 能量均分定理對雙原子分子理想氣體和輻射場的描述出了毛病 需要另行研究 量子修正 96 熱統(tǒng) 根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理得出的理想氣體的內(nèi)能和熱容量與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較 大體相符 無法合理解釋的問題 1 原子內(nèi)的電子對氣體的熱容量為什么沒有貢獻(xiàn) 2 雙原子分子的振動(dòng)在常溫范圍為什么對熱容量無貢獻(xiàn) 3 低溫下氫的熱容量所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)不符 量子理論給出解釋 討論雙原子分子理想氣體內(nèi)能和熱容量的量子統(tǒng)計(jì)理論 97 熱統(tǒng) 雙原子分子理想氣體 分子的能量 質(zhì)心平動(dòng) t 振動(dòng) v 和轉(zhuǎn)動(dòng) r 相應(yīng)的簡并度為 7 5理想氣體的內(nèi)能和熱容量 總的簡并度有 98 熱統(tǒng) 配分函數(shù) 內(nèi)能 熱容量 99 熱統(tǒng) 二 質(zhì)心平動(dòng) 質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能表達(dá)式與單原子分子理想氣體分子動(dòng)能相同 三 振動(dòng)能量 兩個(gè)原子的相對運(yùn)動(dòng)可以看作圓頻率 線性振動(dòng) 能量的量子表達(dá)式 式7 2 4 簡并度 100 熱統(tǒng) 振動(dòng)配分函數(shù) 101 熱統(tǒng) 內(nèi)能 熱容量 第一項(xiàng) 與溫度無關(guān) N個(gè)振子的零點(diǎn)能量 第二項(xiàng) 溫度為T時(shí)的熱激發(fā)能量 102 熱統(tǒng) 零點(diǎn)能 就是物質(zhì)在絕對溫度為零度下在真空中產(chǎn)生的能量 為什么在真空中會(huì)存在 零點(diǎn)能 呢 著名物理學(xué)家海森伯提出了 測不準(zhǔn)原理 認(rèn)為 不可能同時(shí)知道同一粒子的位置和動(dòng)量 科學(xué)家們認(rèn)為 即使在粒子不再有任何熱運(yùn)動(dòng)的時(shí)候 它們?nèi)詴?huì)繼續(xù)抖動(dòng) 能量的情形也是如此 這就意味著即使是在真空中 能量會(huì)繼續(xù)存在 而且由于能量和質(zhì)量是等效的 真空能量導(dǎo)致粒子一會(huì)兒存在 一會(huì)兒消失 能量也就在這種被科學(xué)家稱為 起伏 的狀態(tài)中誕生 從理論上講 任何體積的真空都可能包含著無數(shù)的 起伏 因而也就含有無數(shù)的能量 早在1948年 荷蘭物理學(xué)家亨德里克 卡什米爾就曾設(shè)計(jì)出探測 零點(diǎn)能 的方法 1998年 美國洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室和奧斯汀高能物理研究所的科學(xué)家們 用原子顯微鏡測出了 零點(diǎn)能 103 熱統(tǒng) 高溫極限和低溫極限 振動(dòng)特征溫度 或 高溫極限 低溫極限 室溫 振動(dòng)無貢獻(xiàn) 剛性分子 104 熱統(tǒng) 轉(zhuǎn)動(dòng)配分函數(shù) 異核情況 轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度 表7 5 室溫是高溫 求和變積分 轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí) 簡并度 105 熱統(tǒng) 轉(zhuǎn)動(dòng)配分函數(shù) 同核情況 氫 據(jù)微觀粒子全同性原理 氫分子轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 兩氫核的自旋平行 轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)l只能取奇數(shù) 正氫 兩氫核的自旋反平行 轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)l只能取偶數(shù) 仲氫 通常實(shí)驗(yàn)條件下 正氫占四分之三 仲氫占四分之一 氫氣是正氫和仲氫的非平衡混合物 低溫下的氫 即不滿足條件 不能得到 低溫下 氫的熱容與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符 106 熱統(tǒng) 結(jié)論 在玻爾茲曼分布適用的條件下 如果任意兩個(gè)相鄰能級(jí)的能量差 遠(yuǎn)小于熱運(yùn)動(dòng)能量kT 粒子的能量就可以看作準(zhǔn)連續(xù)的變量 由量子統(tǒng)計(jì)和有經(jīng)典統(tǒng)計(jì)得到的內(nèi)能和熱容量是相同的 電子 原子內(nèi)電子的激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量差1 10eV 相應(yīng)的特征溫度104 105K 遠(yuǎn)大于 常溫下 電子只能處在基態(tài)而不改變內(nèi)能 即常溫下電子對氣體的熱容沒有貢獻(xiàn) 107 熱統(tǒng) 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論 7 6理想氣體的熵 單原子氣體 h0可取任意小數(shù)值 最小值為h S的值與h0的取值有關(guān) 不是絕對熵 108 熱統(tǒng) 不含任意常數(shù) 是絕對熵 量子統(tǒng)計(jì)理論 上兩式形式上相似 對于同種理想氣體混合 存在熵增 即有吉布斯佯謬 109 熱統(tǒng) 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 對于氣體 其中 110 熱統(tǒng) 薩庫爾 鐵特羅特公式 在低溫下 實(shí)驗(yàn)測量低溫下的氣體蒸汽壓結(jié)果與上式計(jì)算結(jié)果完全吻合 討論 111 熱統(tǒng) 固體 三維線性振子的集合 經(jīng)典描述 能量均分定理 7 7固體熱容量的愛因斯坦理論 經(jīng)典理論不能解釋 實(shí)際結(jié)果 量子理論如何解釋 112 熱統(tǒng) 愛因斯坦 固體是量子線性振子的集合 每個(gè)振子三個(gè)獨(dú)立的線性振動(dòng) 假設(shè)所有振子頻率相同 113 熱統(tǒng) 討論高溫極限和低溫極限 愛因斯坦特征溫度 高溫極限 低溫極限 T E 114 熱統(tǒng) 磁矩 在外磁場系統(tǒng)磁化能量 簡并度 7 8順磁性固體 考慮晶格上近獨(dú)立的磁性粒子構(gòu)成的定域系統(tǒng) 粒子服從玻耳茲曼分布 粒子在外磁場B下被磁化 在外磁場下磁矩有兩個(gè)方向 順磁場和逆磁場方向 順磁和抗磁的結(jié)果 能量有兩個(gè)能級(jí) 115 熱統(tǒng) 磁化強(qiáng)度m 廣義力 磁場強(qiáng)度B 廣義位移 外場變化時(shí) 對磁矩做的功為 廣義力 116 熱統(tǒng) 高溫弱場情況 居里定理 磁化率 物理含義 磁矩部分被磁化 討論 117 熱統(tǒng) 低溫強(qiáng)場情況 物理含義 自旋磁矩都沿外磁場方向 完全順磁 內(nèi)能 內(nèi)能表示 順磁體在外場中的勢能 單位體積的內(nèi)能 118 熱統(tǒng) 單位體積的熵 高溫弱場情況 微觀狀態(tài)數(shù) 兩個(gè)方向等概率 119 熱統(tǒng) 低溫強(qiáng)場情況 物理含義 一個(gè)指向 微觀狀態(tài)數(shù) 1個(gè) 120 熱統(tǒng) 一般系統(tǒng) 熵隨內(nèi)能單調(diào)增加 溫度恒正 一些特殊系統(tǒng) 熵函數(shù)隨內(nèi)能不單調(diào)增加 當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)能增加熵反而減小時(shí)系統(tǒng)處于負(fù)溫度狀態(tài) 核自旋系統(tǒng) 在外場B下核自旋量子數(shù)為1 2的系統(tǒng) 能量 7 9負(fù)溫度狀態(tài) 由熱力學(xué)基本方程 得到 在外磁場下磁矩有兩個(gè)方向 順磁場和逆磁場方向 順磁和抗磁的結(jié)果 能量有兩個(gè)能級(jí) 121 熱統(tǒng) 系統(tǒng)粒子總數(shù) 號(hào)表示能量分別為 系統(tǒng)總能量 122 熱統(tǒng) 系統(tǒng)微光狀態(tài)數(shù) 表示N個(gè)離子交換 扣除同能級(jí)粒子的交換 系統(tǒng)熵 由條件 123 熱統(tǒng) 124 熱統(tǒng) 第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì) 125 熱統(tǒng) 定域粒子組成的系統(tǒng) 滿足經(jīng)典極限條件 非簡并條件 的近獨(dú)立粒子系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng) 玻耳茲曼分布 8 1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá) 經(jīng)典極限條件 非簡并條件 一 從非簡并到簡并 玻色分布和費(fèi)米分布趨向于玻耳茲曼分布 孤立系統(tǒng) 126 熱統(tǒng) 玻色統(tǒng)計(jì) 費(fèi)米統(tǒng)計(jì) 不滿足非簡并條件 采用玻色分布或費(fèi)米分布 二 巨配分函數(shù) 對比玻耳茲曼分布 開放系統(tǒng) 與源達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡 粒子數(shù)在能級(jí)上的平均分布 127 熱統(tǒng) 1平均粒子數(shù) 對比玻耳茲曼分布 三 用巨配分函數(shù)表示熱力學(xué)量 128 熱統(tǒng) 2內(nèi)能 對比玻耳茲曼分布 129 熱統(tǒng) 3廣義力 壓強(qiáng) 對比玻耳茲曼分布 130 熱統(tǒng) 4其它熱力學(xué)函數(shù) 由開系的熱力學(xué)公式 131 熱統(tǒng) 熵 與玻耳茲曼關(guān)系比較 132 熱統(tǒng) 對于玻色分布 133 熱統(tǒng) 134 熱統(tǒng) 對于費(fèi)米分布 135 熱統(tǒng) 136 熱統(tǒng) 玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)描述不可區(qū)分的粒子系統(tǒng) 主要是空間中不可區(qū)分 但當(dāng)粒子在空間可以區(qū)分時(shí) 稀薄氣體 應(yīng)該由描述可區(qū)分粒子系統(tǒng)的理論 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì) 描述 一 弱簡并氣體 雖小但不可忽略 8 2弱簡并玻色氣體和費(fèi)米氣體 137 熱統(tǒng) 考慮平動(dòng) 總粒子數(shù) 粒子微觀狀態(tài)數(shù) 6 2 17式 138 熱統(tǒng) 兩式相除得到 內(nèi)能 又 139 熱統(tǒng) 附錄C 15 近似求解過程 140 熱統(tǒng) 141 熱統(tǒng) 二 弱簡并條件物理含義 利用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的結(jié)果 第二項(xiàng) 微觀粒子全同性引起的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的附加內(nèi)能 費(fèi)米粒子相互排斥 玻色粒子相互吸引 第一項(xiàng) 根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能 142 熱統(tǒng) 一 玻色氣體的化學(xué)勢 玻色分布下一個(gè)能級(jí)的粒子數(shù) 最低能級(jí) 在粒子數(shù)給定情況下 與T的關(guān)系 隨溫度的升高而降低 8 3玻色 愛因斯坦凝聚 143 熱統(tǒng) 連續(xù)化 臨界溫度Tc 所有玻色粒子都在非零能級(jí)的最低溫度 能級(jí) 能級(jí)