等差數(shù)列的性質(zhì)

等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 班級(jí) 姓名 1 已知等差數(shù)列 an 前 9 項(xiàng)的和為 27 a10 8 則 a100 A 100 B 99 C 98 D 97 2 在等差數(shù)列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 則公差 d 為 A 14 B 7 C 7 D 14 3 已知數(shù)列 an 中 an 1 3Sn 則下列關(guān)于 an 的說(shuō)法正確的是 A 一定為等差數(shù)列 B 一定為等比數(shù)列 C 可能為等差數(shù)列 但不會(huì)為等比數(shù)列 D 可能為等比數(shù)列 但不會(huì)為等差數(shù)列 4 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 Sn 30 S2n 100 則 S3n A 130 B 170 C 210 D 260 5 已知正項(xiàng)等差數(shù)列 an 滿足 a1 a2017 2 則的最小值為 22016 11 aa A 1 B 2 C 2016 D 2018 6 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列 若 且它們的前 n 項(xiàng)和 Sn有最大值 則使得 Sn 0 的 n 的 11 10 a a 1 最大值為 A 11 B 19 C 20 D 21 7 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 S9 0 S10 0 則中最大的是 239 1239 2 222 aaaa A B C D 1 2 a 5 5 2 a 6 6 2 a 9 9 2 a 8 等差數(shù)列 an bn 的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn Tn 且 則使得為整數(shù)的正整數(shù) 745 3 n n Sn Tn n n a b 的 n 的個(gè)數(shù)是 A 3 B 4 C 5 D 6 9 設(shè) Sn Tn分別是等差數(shù)列 an bn 的前 n 項(xiàng)和 若 n N 則 21 n n Sn Tn 5 6 a b A B C D 5 13 9 19 11 23 9 23 10 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn a1 0 且 當(dāng) Sn取最大值時(shí) n 的值為 6 5 9 11 a a A 9 B 10 C 11 D 12 11 已知數(shù)列 an 滿足 an an 4 an 1 an 3 n N 那么必有 A an 是等差數(shù)列 B a2n 1 是等差數(shù)列 C a2n 是等差數(shù)列 D a3n 是等差數(shù)列 12 在等差數(shù)列 an 中 3 a3 a5 2 a7 a10 a13 24 則此數(shù)列前 13 項(xiàng)的和是 13 在等差數(shù)列 an 中 若 a4 a6 a8 a10 a12 120 則 2a10 a12的值為 14 an 為等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 S11 66 則 4a3 3a6 2a12 15 若等差數(shù)列 an 滿足 a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當(dāng) n 時(shí) an 的前 n 項(xiàng)和最大 16 在等差數(shù)列 an 中 a1 7 公差為 d 前 n 項(xiàng)和為 Sn 當(dāng)且僅當(dāng) n 8 時(shí) Sn取得最大值 則 d 的取值范 圍為 17 已知數(shù)列 an 滿足 1 求證 數(shù)列為等差數(shù)列 11 1 2 2 n n aa a 1 2 3 4 1 1 n a 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 3 令 證明 312 12 n n n aaa T aaa 3 4 n Tn 18 已知數(shù)列 an 中 a1 1 二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 2 1 1 2 2 n nn f xa xax 1 2 x 1 試證明是等差數(shù)列 并求 an 通項(xiàng)公式 2 n n a 2 設(shè) an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 試求使得 Sn 3 成立的 n 值 并說(shuō)明理由 2017 年年 09 月月 12 日等差數(shù)列的性質(zhì)日等差數(shù)列的性質(zhì) 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 選擇題一 選擇題 共共 14 小題小題 1 已知等差數(shù)列 an 前 9 項(xiàng)的和為 27 a10 8 則 a100 A 100 B 99C 98D 97 解答 解 等差數(shù)列 an 前 9 項(xiàng)的和為 27 S9 9a5 9 1 9 2 9 2 5 2 9a5 27 a5 3 又 a10 8 d 1 a100 a5 95d 98 故選 C 2 在等差數(shù)列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 則公差 d 為 A 14B 7C 7D 14 解答 解 a3 a6 11 a5 a8 39 則 4d 28 解得 d 7 故選 C 3 已知數(shù)列 an 中 an 1 3Sn 則下列關(guān)于 an 的說(shuō)法正確的是 A 一定為等差數(shù)列 B 一定為等比數(shù)列 C 可能為等差數(shù)列 但不會(huì)為等比數(shù)列 D 可能為等比數(shù)列 但不會(huì)為等差數(shù)列 解答 解 an 1 3Sn Sn 1 Sn 3Sn Sn 1 4Sn 若 S1 0 則數(shù)列 an 為等差數(shù)列 若 S1 0 則數(shù)列 Sn 為首項(xiàng)為 S1 公比為 4 的等比數(shù)列 Sn S1 4n 1 此時(shí) an Sn Sn 1 3S1 4n 2 n 2 即數(shù)列從第二項(xiàng)起 后面的項(xiàng)組成等比數(shù)列 綜上 數(shù)列 an 可能為等差數(shù)列 但不會(huì)為等比數(shù)列 故選 C 4 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 Sn 30 S2n 100 則 S3n A 130 B 170C 210D 260 解答 解 因?yàn)閿?shù)列 an 為等差數(shù)列 所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得 sn s2n sn s3n s2n 為等差數(shù)列 即 30 100 30 S3n 100 是等差數(shù)列 2 70 30 S3n 100 解得 S3n 210 故選 C 5 已知正項(xiàng)等差數(shù)列 an 滿足 a1 a2017 2 則的最小值為 1 2 1 2016 A 1B 2C 2016 D 2018 解答 解 正項(xiàng)等差數(shù)列 an 滿足 a1 a2017 2 a2 a2016 a1 a2017 2 則 2 當(dāng)且僅當(dāng) a1 a2017時(shí)取等號(hào) 1 2 1 2016 2 2016 2 2016 2 2 2016 2 1 2017 2 2 故選 B 6 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列 若 且它們的前 n 項(xiàng)和 Sn有最大值 則使得 Sn 0 的 n 的最大值為 11 10 1 A 11B 19C 20D 21 解答 解 由可得 11 10 1 11 10 10 0 由它們的前 n 項(xiàng)和 Sn有最大值 可得數(shù)列的 d 0 a10 0 a11 a10 0 a11 0 a1 a19 2a10 0 a1 a20 a11 a10 0 使得 Sn 0 的 n 的最大值 n 19 故選 B 7 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 S9 0 S10 0 則中最大的是 2 1 22 2 29 9 A B C D 2 1 25 5 26 6 29 9 解答 解 9 9 1 9 2 9 5 0 10 10 1 10 2 5 1 10 0 a5 0 a5 a6 0 a6 0 等差數(shù)列 an 中 a1 a2 a3 a4 a5 0 a6 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 則 2 1 22 2 23 3 24 4 25 5 故選 B 8 等差數(shù)列 an bn 的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn Tn 且 則使得 為整數(shù)的正整數(shù)的 n 的個(gè)數(shù)是 7 45 3 A 3B 4C 5D 6 解答 解 等差數(shù)列 an bn an bn 1 2 1 2 1 2 1 2 又 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 7 45 3 7 7 2 1 45 2 1 3 66 2 4 經(jīng)驗(yàn)證 當(dāng) n 1 3 5 13 35 時(shí) 為整數(shù) 則使得 為整數(shù)的正整數(shù)的 n 的個(gè)數(shù)是 5 故選 C 9 設(shè) Sn Tn分別是等差數(shù)列 an bn 的前 n 項(xiàng)和 若 n N 則 2 1 5 6 A B C D 5 13 9 19 11 23 9 23 解答 解 由題意得 Sn Tn分別是等差數(shù)列 an bn 的前 n 項(xiàng)和 2 1 所以不妨設(shè) Sn n2 Tn n 2n 1 所以 a5 S5 S4 25 16 9 b6 T6 T5 6 13 5 11 23 則 5 6 9 23 故選 D 10 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn a1 0 且 當(dāng) Sn取最大值時(shí) n 的值為 6 5 9 11 A 9B 10C 11D 12 解答 解 由題意 不妨設(shè) a6 9t a5 11t 則公差 d 2t 其中 t 0 因此 a10 t a11 t 即當(dāng) n 10 時(shí) Sn取得最大值 故選 B 11 已知數(shù)列 an 滿足 an an 4 an 1 an 3 n N 那么必有 A an 是等差數(shù)列B a2n 1 是等差數(shù)列 C a2n 是等差數(shù)列D a3n 是等差數(shù)列 解答 解 an an 4 an 1 an 3 n N an 4 an 1 an 3 an an 5 an 2 an 4 an 1 an 6 an 3 an 5 an 2 an 6 an 3 an 3 an 數(shù)列 a3n 是等差數(shù)列 故選 D 12 在等差數(shù)列 an 中 3 a3 a5 2 a7 a10 a13 24 則此數(shù)列前 13 項(xiàng)的和是 A 13B 26C 52D 56 解答 解 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 a3 a5 2a4 a7 a13 2a10 代入已知可得 3 2a4 2 3a10 24 即 a4 a10 4 故數(shù)列的前 13 項(xiàng)之和 S13 13 1 13 2 26 13 4 10 2 13 4 2 故選 B 13 在等差數(shù)列 an 中 若 a4 a6 a8 a10 a12 120 則 2a10 a12的值為 A 20B 22C 24D 28 解答 解 由 a4 a6 a8 a10 a12 a4 a12 a6 a10 a8 5a8 120 解得 a8 24 且 a8 a12 2a10 則 2a10 a12 a8 24 故選 C 14 an 為等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 S11 66 則 4a3 3a6 2a12 A 27B 54C 99D 108 解答 解 an 為等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn S11 66 11a6 66 11 11 2 1 11 解得 a6 6 4a3 3a6 2a12 4 a1 2d 3 6 2 a1 11d 6a1 30d 18 6a6 18 54 故選 B 二 填空題二 填空題 共共 2 小題小題 15 若等差數(shù)列 an 滿足 a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當(dāng) n 8 時(shí) an 的前 n 項(xiàng)和最大 解答 解 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 a7 a8 a9 3a8 0 a8 0 又 a7 a10 a8 a9 0 a9 0 等差數(shù)列 an 的前 8 項(xiàng)為正數(shù) 從第 9 項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù) 等差數(shù)列 an 的前 8 項(xiàng)和最大 故答案為 8 16 在等差數(shù)列 an 中 a1 7 公差為 d 前 n 項(xiàng)和為 Sn 當(dāng)且僅當(dāng) n 8 時(shí) Sn取得最大值 則 d 的取值范 圍為 1 7 8 解答 解 Sn 7n 當(dāng)且僅當(dāng) n 8 時(shí) Sn取得最大值 1 2 即 解得 7 8 9 8 49 21 56 28 63 36 56 28 1 7 8 綜上 d 的取值范圍為 1 7 8 三 解答題三 解答題 共共 2 小題小題 17 已知數(shù)列 an 滿足 1 2 1 2 1 1 2 3 4 1 求證 數(shù)列為等差數(shù)列 1 1 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 3 令 證明 1 1 3 4 解答 1 證明 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 數(shù)列為等差數(shù)列 1 1 2 由 1 得 為等差數(shù)列 公差為 1 首項(xiàng)為 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 22 1 32 1 42 1 1 2 當(dāng) n 2 時(shí) 1 22 1 2 3 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 當(dāng) n 1 時(shí) 綜上所述 1 1 1 22 3 4 1 3 4 3 4 18 已知數(shù)列 an 中 a1 1 二次函數(shù) f x an x2 2 n an 1 x 的對(duì)稱軸為 x 1 2 1 2 1 試證明 2nan 是等差數(shù)列 并求 an 通項(xiàng)公式 2 設(shè) an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 試求使得 Sn 3 成立的 n 值 并說(shuō)明理由 解答 證明 1 二次函數(shù) f x an x2 2 n an 1 x 的對(duì)稱軸為 x 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2n 1an 1 2nan 2 a1 1 2a1 2 2nan 是以 2 為首項(xiàng) 以 2 公差的等差數(shù)列 2nan 2 2 n 1 2n an n 2