一分析的化身──歐拉

分析的化身 歐拉的故事 即使在完全失聰?shù)淖詈髱啄?貝多芬 Beethoven 依然創(chuàng)作了弦樂四重奏 鋼琴奏鳴曲 第 30 31 32 號 莊嚴(yán)彌撒和第九交響曲 對于一個沒有聽覺的人來說 音樂是什么 我無法回答 但是我想應(yīng)該是超越了音樂本身 也許歐拉可以回答 在生命最后的八 年里 他生活在一個完全黑暗的世界 雙目失明卻沒能阻止他繼續(xù)一篇又一篇的發(fā)表 了占他一生百分之五十的論文 音樂對于貝多芬 數(shù)學(xué)對于歐拉也許只是他們存在的 方式 不論他們自身如何改變 要么繼續(xù)這種方式 要么消失 三大牛人的概念已經(jīng)深入人心 其實數(shù)學(xué)史上還有所謂的四杰 多出來這位就 是本章的主人公歐拉 牛頓去世的時候歐拉十九歲 歐拉去世的時候高斯只有 六歲 應(yīng)該說歐拉趕上了好時候 牛頓和萊布尼茲留下了一個威力巨大的工具 微積分 卻沒有人能夠真正駕馭它 歐拉是第一個真正征服微積分的人 歐拉的成長再次證明了數(shù)學(xué)史是一部天才史 天賦在這部歷史里是普遍現(xiàn)象 如果你覺得天才如 Sheldon Cooper 的人物只是 The Big Bang Theory 劇集里虛 構(gòu)出的角色的話 那么在真實的數(shù)學(xué)史里我們可以在很多人的身上找到 sheldon 的身影 唯一不同的就是 他們都還有著至少正常的的情商 在數(shù)學(xué)家第三集 團的陣容里 不乏聰明而勤奮的人 他們通過良好的教育縮小了與天才的差距 卻永遠(yuǎn)也不能真正跟上天才的腳步 因為天才不是教育能培養(yǎng)出來的 歐拉進 入巴塞爾大學(xué)是 13 歲 在前面我們提到過伯努利家族的人也是這所大學(xué)培養(yǎng)出 來的 而歐拉能夠順利的進入沒有少年班的巴塞爾大學(xué)也有約翰 伯努利的功勞 當(dāng)時約翰在巴塞爾大學(xué)任數(shù)學(xué)教授 也正是他推薦歐拉進入巴塞爾大學(xué) 當(dāng)校 長表示不支持錄取如此年輕的歐拉時 約翰說 對于天才 年齡不能成為進 入大學(xué)的一種限制 15 歲的歐拉完成本科 16 歲時取得了藝術(shù)碩士的學(xué)位 19 歲得到博士學(xué)位 同一年歐拉獨立完成了他的第一項研究 船舶的桅桿配 置 論述了在一艘船上應(yīng)該有多少桅桿和在什么位置裝置這些桅桿 現(xiàn)在看來 這不是什么重要的問題 但是在那個大航海時代這是關(guān)系到對海洋控制的國家 利益問題 這個題目是當(dāng)年巴黎金獎的題目 遺憾的是歐拉只獲得了安慰獎 榮譽提名 不過此后歐拉十二次榮獲巴黎金獎算是彌補了這個小小的遺憾 26 歲的時候 歐拉接替丹尼爾 伯努利成為圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的首席研究 員 在 33 歲的時候離開俄國 到普魯士任柏林研究院首席數(shù)學(xué)研究員 在 59 歲的時候 受邀再次回到俄國 并在圣彼得堡度過了生命中最后的十七年 關(guān)于歐拉的趣聞軼事不少 少年時數(shù)過天上的星星 幫老爸智改過羊圈 還自己發(fā) 現(xiàn)了 完全數(shù) 今天我挑戰(zhàn)一下向大眾傳播數(shù)學(xué)知識的高難度任務(wù) 講講歐拉 在 29 歲解決的格尼斯堡七橋問題 這個問題本身并不復(fù)雜 如圖所示 格尼斯堡這個城市被一條叫做 Pregel 的河分為四部分 兩岸 B 和 D 和兩座河心島 A 和 C 這四部分土地由七座橋按照圖中給出的方式連通在了一起 假設(shè)有一個人想散步 在散步過程中要求每座橋都經(jīng)過并且只經(jīng)過一次 而且起點與終點相同 這樣的散步 可以做到嗎 當(dāng)?shù)鼐用駥@個問題很感興趣 很多人都親自實踐試圖找出答案 并 因此掀起了一股全民健身的熱潮 我看了一下這個城市的航拍圖 又用谷歌地圖估 算了一下距離 從 B 出發(fā)經(jīng) 5 1 到 D 再由 4 7 回到 B 光這一圈就的有 8 公里左 右 如果還要盡可能的走過每一座橋 那怎么也得 10K 了 好在沒有人因為研究這 個問題而猝死 到了 1735 年 當(dāng)?shù)鼐用癫淮蛩阍僭嚵?決定請人來幫忙 候選人有 兩個 一個是歐拉 一個是當(dāng)時世界馬拉松的冠軍 最后頭腦戰(zhàn)勝了身體 歐拉獲勝 被邀請到格尼斯堡研究這個問題 經(jīng)過一年的思考 歐拉終于得到了解答 這個散 步是 Mission Impossible 也就是說只有湯姆 克魯斯才能完成 考慮到幾百年以后 阿湯哥才出生 所以七橋問題無解 下面我就給大家講解一下無解的原因 首先七 橋問題不是一個數(shù)學(xué)問題 所以第一步我們要把它轉(zhuǎn)化為等價的數(shù)學(xué)問題 也就是 下面這張圖 圖二 ABCD 四片土地被簡化為了四個點 有人說不對啊 我從 B 區(qū)的一個地方出發(fā)回到 B 區(qū) 另外一個地方還是不滿足回到起點的要求啊 從 B 區(qū)任意一點到 B 區(qū)的另外任意一點 都有不經(jīng)過任何一座橋的路線 所以你要是從 B 區(qū)任意一點出發(fā)做到不重復(fù)走過每座 橋一次再回到 B 區(qū)任意一點 那實際上已經(jīng)解決了這個問題 七座橋被簡化成了 7 條 連接這四個頂點的 弧 線段 A 和 B 之間有兩條弧線對應(yīng)兩座橋連接 AB 兩區(qū) 又有 人說不行啊 你把橋簡化的這么細(xì) 我又沒練過平衡木 走的時候掉下去怎么辦 這 你不用擔(dān)心 在你掉下去之前 我已經(jīng)把你踹下去了 理解了這兩張圖是等價的 等價 的數(shù)學(xué)問題就是從 ABCD 任意一個頂點出發(fā) 一筆畫出圖二中的圖形并回到起點 所謂 一筆畫就是筆不離開紙不重復(fù)的畫出每一條邊 讓我們看兩個例子 比如說 田 字 不能一筆畫 而 口 字和 串 字就可以一筆畫 不過 串 字的一筆畫不能回到 起點 如下圖 平時以狂草作為主要書寫風(fēng)格的朋友可能又有意見了 只要紙夠大 哥們整篇文 章連字帶畫都是一筆畫 那我只能說您和阿湯哥同屬于 impossible 那類的 這里 的漢字都只代表它們的形狀 不包含它們的常規(guī)書寫方式 沒有人真會按照上面的 方式寫串字 在我給出最后的結(jié)論之前還要定義兩個名詞 奇點和偶點 所謂奇點就是有奇數(shù)條 線與之相連的一個頂點 例如圖二中的 ABCD A 有五條線相連 而 BCD 各有三條線 相連 所以他們都是奇點 偶點就是有偶數(shù)條線與之相連 比如 田 字中心的那 個點 有四條線與之相連 再讓我們來想想他們各自的性質(zhì) 在我們試圖一筆畫的 過程中 要到達(dá)一個奇點總要通過一條和它相連的線 而要離開一個奇點 因為不 能重復(fù) 所以還需要另外一條和它相連的線 一來一去需要兩條線 再來再去又需 要兩條線 可是一共有奇數(shù)條線與它相連 所以總會富裕出一條 也有例外就是當(dāng) 這個點是起點或者終點 要么不需要進來要么不需要離開 而偶點就沒有這些問題 你總是可以選擇一半的線作為進路另一半作為退路 結(jié)論很簡單 一個圖形里面如 果所有定點都是偶點 或者只有兩個奇點 那么這個圖形可以一筆畫出來 不過都 是偶點的情形可以取任意點作為起點并在結(jié)束的時候回到起點 而兩個奇點的情況 只能取其中之一作為起點 另外的奇點作為終點 回到七橋問題 因為四個點都是 奇點 所以不能一筆畫 上面的這個結(jié)論被稱為歐拉定理 這個定理不僅解決了七 橋問題 實際上這個定理回答了所有一筆畫問題 孤立的解決一個困難的問題有時候有些意義 但是一流的數(shù)學(xué)家總是試圖找出或者 創(chuàng)造出一個一般的方法去解決所有同類的問題 這是判斷一個數(shù)學(xué)家成就時候的一 個重要標(biāo)準(zhǔn) 牛頓創(chuàng)造了數(shù)學(xué)史上可以說最有威力的工具 微積分 高斯統(tǒng)一了 數(shù)論里面許多孤立的命題并給出了一般方法 亞里士多德就更牛了 從數(shù)學(xué)到哲學(xué) 從教育到社會 他都是一個體系一個體系的來 雖然今天看來 他的許多關(guān)于自然 科學(xué)的結(jié)論是錯誤的 而且他的數(shù)學(xué)知識水平還不如現(xiàn)在一個普通的大學(xué)畢業(yè)生 但都絲毫不妨礙他憑借可以作為一般方法并包含近代數(shù)學(xué)思想萌芽的系統(tǒng)化理論躋 身于超一流數(shù)學(xué)家的行列 七橋畫問題并不是一個很復(fù)雜的問題 在今天一筆畫問 題只是小學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的題目 但是通過七橋問題 歐拉不但徹底解決了一 筆畫問題 而且開啟了一個新的數(shù)學(xué)分支 圖論 這并不是歐拉的主要貢獻(xiàn) 他 的主要貢獻(xiàn)是建立了數(shù)學(xué)里最重要的分支之一 分析 在歐拉之前 數(shù)學(xué)是代數(shù) 和幾何雙雄爭霸 在歐拉之后數(shù)學(xué)變成了代數(shù) 幾何 分析三足鼎立 時至今日 即使數(shù)學(xué)的小分支可能有幾百個甚至更多 這個三足鼎立的大局面依然成立 終于結(jié)束了這次漫長科普之旅 還是讓我們回到對歐拉本人的注意上面來吧 歐拉 有兩個重要的天賦 第一是計算能力 第二是記憶力 關(guān)于記憶力 歐拉可以從頭 到尾不猶豫地背誦出一本近萬行的史詩巨著 埃涅阿斯紀(jì) 并能指出他所背誦的 那個版本的每一頁的第一行和最后一行是什么 除此之外 歐拉還可以背出前 100 個素數(shù)中任何一個的 10 以內(nèi)的次方 而且即使在晚年 歐拉也可以記起他在青年 時寫過的所有筆記 關(guān)于計算能力有一個非常夸張的例子 有一次歐拉的兩個學(xué)生 把一個復(fù)雜的收斂級數(shù)的 17 項加起來 算到第 50 位數(shù)字 兩人相差一個數(shù)字 歐 拉為了確定究竟誰對 沒有借助任何工具 沒有電腦 沒有計算器 沒有用一支筆 一張紙 只憑心算把錯誤給找了出來 順便提一下 高斯也有著不同尋常的記憶力 和心算能力 他從來不用查對數(shù)表 對數(shù)表里的任何數(shù)字要么他記憶了下來要么他 可以輕易地心算出來 對于今日的數(shù)學(xué)來說 心算能力顯得并不是那么重要 各種 各樣的計算器 計算機和軟件可以替代我們做各種各樣的運算 不過對于青少年來 說 超強心算能力也許可以被看做數(shù)學(xué)天賦的一種表露 歐拉在 31 歲的時候就失去了右眼的視力 左眼在 60 歲的時候已經(jīng)只剩下一小部分 視力 到 68 歲完全失明 就像失去聽覺的貝多芬可以完全不受外界雜音的干擾 只聆聽來自他內(nèi)心的聲音一樣 失去視力的歐拉 變得對自己頭腦里那些計算更為 敏銳 在最后失明的八年里 他的效率更高了 前面說過他完成了一生中一半的著 作 如果歐拉一生只有少量的著作 那么一半也沒有多少 可事實正好相反 歐拉 是歷史上著作第二多的人 一共有 886 本書籍和論文 而且他 64 歲時的一場大火 燒毀了他當(dāng)時的全部手稿 否則會有更多的著作 這個記錄直到二十世紀(jì)才被匈牙 利數(shù)學(xué)家保羅 埃爾德什打破 除了數(shù)字 還有兩則故事可以看出歐拉的多產(chǎn) 當(dāng) 歐拉在圣彼得堡科學(xué)院工作的時候 他把完成的論文堆成一摞 每完成一篇就把新 論文放到最上面 每當(dāng)科學(xué)院學(xué)報需要出版的時候 印刷工人就會取走最上面的幾 篇 所以歐拉論文的出版順序并不是他寫作的順序 有時候歐拉對一個問題寫了一 系列的論文 結(jié)果后面的先發(fā)了 后面一期反倒發(fā)的是之前的結(jié)果 更為夸張的是 在歐拉死后 80 年 圣彼得堡科學(xué)院還在發(fā)表他的論文 在 1909 年的時候 瑞士科 學(xué)院試圖整理收集并出版歐拉全部的著作 為此籌措了 8 萬美元 在當(dāng)時已經(jīng)是一 筆巨款了 結(jié)果因為在圣彼得堡科學(xué)院又發(fā)現(xiàn)了歐拉的大量手稿而告吹 歐拉是一個可以在任何環(huán)境任何條件下工作的數(shù)學(xué)家 他一共有過 13 個子女 據(jù) 說他寫論文的時候可以把最小的嬰兒放在腿上 讓其他大一點的孩子圍著他玩 這 一點是我最羨慕歐拉的地方 我目前每天只負(fù)責(zé)在幾個特定的時間段哄我女兒入睡 而我除了抱著她以外 什么也干不了 不過有一點是我想要指責(zé)歐拉的 這 13 個 子女只有五個長大成人 可能有疾病或者什么其他因素 作為父親的我實在是無法 理解 歐拉還有一個很大的貢獻(xiàn)就是在數(shù)學(xué)的推廣與教育上 包括第一次引進介紹一些符 號如圓周率 自然數(shù) e 虛數(shù)單位 i 正弦 sin 余弦 cos 求和符號 和一般 函數(shù) f x 而且歐拉的文學(xué)功底很好 寫起東西來文辭優(yōu)美 他為了向腓特烈大 帝的侄女 安哈爾特