三角形費馬點的證明及應用(修正版).doc

費馬點的性質及應用和成彪 （文山師專 數理系06數學（3）班）摘要 費馬是一個皆為人知的法國著名數學家，他一生提出了許多關于數學的猜想。在此文針對他提出的“費馬點”這一有趣的問題進行性質證明并研究其價值。通過一些典型證明和特例進行了分析，總結了對費馬點的認識。 關鍵詞 費馬 費馬點 證明 研究法國著名數學家費爾馬曾提出關于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小人們稱這個點為“費馬點”這是一個歷史名題，近幾年仍有不少文獻對此介紹這個問題一直影響了不少數學研究者和數學愛好者的不懈研究和探索應用。隨著我國數學科研事業(yè)在近幾年的一直持續(xù)迅猛發(fā)展數學愛好者日益壯大，都說明數學正越來越受到人們的關注。這是一個非?？上驳默F象。為此就法國著名學家費馬提出的費馬點并結合收集的材料和自己的觀點簡單研究了三角形費馬點的一些性質和應用。一、費馬點產生的歷史背景 費馬是法國數學家，1601年8月17日出生于法國南部圖盧茲附近的博蒙德洛馬涅。他的父親多米尼克費馬在當地開了一家大皮革商店，擁有相當豐厚的產業(yè)，使得費馬從小生活在富裕舒適的環(huán)境中。費馬的父親由于富有和經營有道，頗受人們尊敬，并因此獲得了地方事務顧問的頭銜，但費馬小的時候并沒有因為家境的富裕而產生多少優(yōu)越感。費馬的母親名叫克拉萊德羅格，出身穿袍貴族。多米尼克的大富與羅格的大貴族構筑了費馬極富貴的身價。費馬小時候受教于他的叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養(yǎng)了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產生了重要的影響。直到14歲時，費馬才進入博蒙德洛馬涅公學，畢業(yè)后先后在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。1642年，有一位權威人士叫勃里斯亞斯，他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭，這使得費馬以后得到了更好的升遷機會。1646年，費馬升任議會首席發(fā)言人，以后還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什么突出政績值得稱道，不過費馬從不利用職權向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明，贏得了人們的信任和稱贊。費馬的婚姻使費馬躋身于穿袍貴族的行列，費馬娶了他的舅表妹露伊絲德羅格。原本就為母親的貴族血統而感驕傲的費馬，如今干脆在自己的姓名上加上了貴族姓氏的標志“de”。費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業(yè)余之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一；對于微積分誕生的貢獻僅次于牛頓、萊布尼；概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨承17世紀數論天地的人。此外，費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家。尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年。17世紀由費馬首先提出的費馬點問題：“在歐式平面上，任給一個三角形ABC，試求點S，使它到A，B，C三點的距離之和為最小?！边@個問題提出不久就被托里拆利解決了。他得到的結論是：在ABC中A為其最大角，S是ABC內的點。（1）當A120時,若S滿足ASB=BSC=CSA=120,則它到A,B,C三點的距離之和最小。（2）當A120時，所求點為A點，即SA+SB+SCAB+AC。據史料記載費馬在思考一個關于數學問題的故事?！肮畔ＥD亞里山大里亞城有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：將軍從甲地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到乙地軍營視察，顯然有許多走法。問走什么樣的路線最短呢？精通數理的海倫稍加思索，便作了完善的回答.這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題?！笔聦嵣希粌H是將軍有這樣的煩惱，運動著的車、船、飛機，包括人們每天走路都要遇到這樣的問題。古今中外的任何旅行者總希望尋求最佳的旅行路線，盡量走近道，少走冤枉路.我們把這類求近道的問題統稱最短線路問題。費馬就把這樣的問題聯想到某一個圖形中。他大膽地提出了在一個任意三角形中有且僅有一點到三個頂點的距離最短。他對此進行了充分的證明。后來人們就把這個點命名為“費馬點”。現在研究表明不止是三角形，其它多邊行也存在這樣的點。二、費馬點 定義 在一個多邊形中，到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點。 在平面三角形中: 1.數學上稱，到三角形3個頂點距離之和最小的點為費馬點。它是這樣確定的：如果三角形有一個內角大于或等于120，這個內角的頂點就是費馬點2.如果3個內角均小于120，則在三角形內部對3邊張角均為120的點，是三角形的費馬點。關于費馬點的證明有好幾種，浙江上虞春暉中學教師倪瑞祥在他的論文費馬點性質及其應用中證明了費馬點的存在性。在中學數學輔導書中學生數理化中的費馬點參照的是著名主編祁韻的證明方法。洛陽師范學院教師趙振華通過對費馬點的研究證明，提出了“有關費馬點一個不等式” 。浙江省岱山縣岱山中學教師張善立在證明的基礎上又提出了“有關費馬點一個和式的下界問題” 。北師大版教材編寫組專家任景業(yè)老師也研究過費馬點。而在李毓佩的費馬的奇怪問題中寫了費馬點的發(fā)現、證明以及一些性質。在中學數學教學期刊中邵瀟野的于費馬點的探究與思考中也提到了費馬點的證明。最讓我們感嘆的是一個實驗中學初二（3）班學生 林賢昊用初等的幾何知識也證明了費馬點，只是證明有些煩瑣，但證明的方法與過程是沒有錯的。他們的證明方法都大同小異，沒有出現完全不同的兩種方法，也還沒有新的證明方法。大都與以下的證明方法相似。證明：三角形內費馬點到三個頂點的距離之和為最短。ABC為任意一個三角形。（作法：以三角形三邊為邊長在各邊上作正三角形，并連接三角形三個頂點與其頂點所對的對邊作的正三角形頂點所連接得到的交點。如圖-1作三角形三邊為邊長的各邊上的正三角形。,.連接,取連接線的交點P。P則為三角形的費馬點。(1) 費馬點對邊的張角為120。因為與中，=, =,=, =+ 60=,則有：= =同理可得 =由 += 60 可得+= 所以=120同理可得，=120, =60費馬點的對邊的張角為120（2）PA+PB+PC=?將P點以點B為旋轉中心旋轉60得到點，連接。則，為等邊三角形。所以60又=120則=+=180因此, ,三點在同一直線上。又 =120， =60， =180，所以、四點在同一直線上，故PA+PB+PC=(3)PA+PB+PC最短在ABC內任意取一點M（不與點P重合），連結AM、BM、CM，將BMC以點B為旋轉中心旋轉60與重合，連結AM、GM、 (同上)，則 +GM+MA=AM+BM+CM.所以費馬點到三個頂點A、B、C的距離最短。平面四邊形費馬點：平面四邊形中費馬點證明相對于三角型中較為簡易，也較容易研究。在凸四邊形ABCD中，費馬點為兩對角線AC、BD交點P。在凹四邊形ABCD中，費馬點為凹頂點D（P）。三、費馬點的性質1費馬點到三角形三個頂點的距離之和最短。2若費馬點在三角形內部，費馬點的對邊張角為120（由下圖2說明）_P_B_C_C_A_B那么我們來分析一下當三角形有一個角大于120是它的費馬點是在三角形內部還是在外面呢？（圖3）（圖2）分析：在三角形ABC內任取一點M。則到三頂點距離之和為AN+BN+CM。令P表示三角形ABC外的點。M表示里面的點?，F取ABC 上的B點，則此三點到三頂點的距離分別為：PA+PB+PC，AM+BM+CM，和BA+BC。取P點與M點分別與B點時做比較P與B比較，由圖可：PB+PABA，PB+PCBC，PB0?？赏瞥鯬A+PB+PCBA+BC_P_A_C_B_A_B_C_M_NM與B比較。以C點為旋轉軸BC旋轉至與CM同線，得一點N（CB=CN）1若CNCM時,有AM+BMABCM+BM+AMAB+CN=AB+CB2若CNCM時,換成以A點為軸心旋轉AB到AM同線(AN=AB)得到點N,且有ANAM。圖3同理有：CM+BM+AMAN+BC=AB+BC3若旋轉AB或BC得到的點N都有AN=AB，CN=CB。顯然也有：CM+BM+AMAN+CN=AB+CB當M落在三角形內任意一點都有CM+BM+AMBA+BC。綜上所述：當三角行ABC有一角大于或等于120時它的費馬點在大于120角的頂角上。四、費馬點的應用以上證明只是一種簡單明了的證明方法，現今已有許多種不同的證明方法。但其宗旨是說明在多邊形中都能找到一個這樣的費馬點，使得其到各頂點距離之和最小。那么費馬點對我們現實生活中有沒應用價值呢。就這方面我們通過一些說明和例題講解來具體分析。引例：有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現要確定供水站的位置以使所需管道總長最??？這個問題正是一個最典型的應用費馬點性質的問題。將此問題用費馬點思想構建出數學模型抽象出來即為： 甲乙丙三村構成一個三角形 ABC設供水站的位置為P點則問題又轉化為 ABC中確定一點P，使P到三頂點的距離之和PA+PB+PC最小。具體方法同上述費馬點證明時作點P的步驟。（略） 而這個例子只是我們身邊大部分與費馬點應用有關問題的縮影。在現實生活中事事要求方便快捷。而在行動與實施當中有好多與費馬點相關的方面，只是我們不注意，如你在學校食堂打飯時選擇的窗口。你打籃球、踢足球時。你時刻注意的是你要怎么進攻，但要與你的對員保持好最好的距離和方位，前后左右都要顧及。其實這也在找“費馬點”。那么接下來我們就對某一個具體問題進一步研究費馬點的一些性質及應用。問題：一只貓觀察到一老鼠洞共有三個出口，它們不在一條直線上，這只貓應蹲在何處，才能最省力地顧及到三個出口？【回答】：從顧及到老鼠三個出口時的情況，貓都能迅速出擊，這只貓應蹲在到三個出口距離相等的點，這點為由三個出口為頂點構成三角形的外心。分析：上述回答不正確。因為“回答”中只考慮貓到三個出口距離相等，而沒有考慮貓到三個洞口的距離最短。請看下圖，顯然不應該是ABC的外心O。從貓最省力地顧及到三個出口考慮，設三個出口為A、B、C，（如上圖）（1）、當ABC為等邊三角形時，貓應該蹲在ABC的外心O點（此時外心與費馬點重合）；（2）、當ABC中三個內角都小于1200時，貓應該蹲在到三個出口距離之和最短的點，即貓應該蹲在費馬點。（3）、當ABC中有一個內角大于或等于1200時，貓應該蹲在鈍角的頂點上。而我們一開始就提到關于費馬點的性質。俗話說得好，實踐證明一切。以上的證明只是實踐的理論依據。在科學中數學思想主要占據了重要理論依據。而物理卻體現出了數學的使用價值。那么我們用物理學方法研究一下費馬點的性質。參考了陶建英老師實驗室 。做了如下分析：(1) 研究三力平衡與費馬點性質的聯系。道具：木條、定滑輪、細線、砝碼。以木條為邊組轉正三角形。三頂點各裝置以定滑輪，取三條等長細線繞過滑輪一端各掛相同的砝碼。另一端三細線連接在一起讓砝碼自然下垂到靜止狀態(tài)，測得：APC、BPC、APB都為120。因為三重物（砝碼相同）。三條線的張力亦然相等。P點的受力點為受力平衡點即F=0.通過進一步測得P點為此三角形重心、內心、外心。符合正三角形的費馬點為其重心這一性質。（2）那么其他任意三角形上實驗有沒有費馬點的性質呢？結果表明：任意三角形，三細線的結點P都落在費馬點上。（以上為簡要文字說明，詳細見下圖）_A_B_C_P現在有許多數學及科學愛好者正進一步利用物理上費馬點的受力平衡這一性質，拓展思維進行研究多面體的費馬點。乃至深入多維空間進行猜想。有的力學不好研究的他們就用光學原理分析。據有關書籍發(fā)布，還能從橢圓光學性質可以探討多維費馬點問題，還有據研究表明已經得出蜜蜂建的蜂巢便是利用了費馬點的這一原理。使蜂巢堅固、美觀，還有保暖的效果。從以上的簡單證明和分析，我們可以看出費馬點性質的研究影響著許多數學科學愛好者的興趣?，F在已經有許多方面應用到了費馬點的幾何性質和物理性質，在醫(yī)學上，在建筑上，甚至在軍事上。我相信諸如費馬點這樣的問題還有許許多多，等待著我們去探索和研究應用以造福人類。數學不愧為科學之母，它孕育了不知多少個像費馬點這樣的孩子。它一直鼓勵著我們，一直引導著我們去揭開它那一層層揭不完的美麗的面紗。參考文獻1倪瑞祥. 費馬點性質及其應用 J.浙江： 浙江教育出版社，1998.2 祁韻. 中學生數理化( 費馬點)J.北京：人民教育出版社，2007.3趙振華. 關于費馬點的一個不等式 J.北京：北京師范大學出版社，1994.4張善立.關于費馬點一個和式的下界問題J. 北京：北京師范大學出版社，1999.5任景業(yè). 費馬點、拿破侖點、重心、垂心與相似形 J.北京: 北京師范大學出版社，2003.6李毓佩. 費馬的奇怪問題M. 河北: 河北教育出版社,2008.7邵瀟野. 關于費馬點的探究與思考M. 北京: 人民教育出版社,2007.8南都學壇. 南陽師專學報J.南陽：南陽美術學院出版社，1994 .9 張景中.數學家的眼光M.臺灣：九章出