解析幾何——軌跡方程的高考題總結(jié)

1 解析幾何中求軌跡方程軌跡方程的常見方法 一 直接法一 直接法 當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí) 直接按 建系設(shè)點(diǎn) 列出條件 建系設(shè)點(diǎn) 列出條件 代入坐標(biāo) 整理化簡(jiǎn) 限制說明代入坐標(biāo) 整理化簡(jiǎn) 限制說明 五個(gè)基本步驟求軌跡方程 稱之直接法 例例 1 1已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q 2 0 和圓C 1 22 yx 動(dòng)點(diǎn)M到圓C的 切線長(zhǎng)與MQ的比等于常數(shù) 0 如圖 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 說 明它表示什么曲線 1 解 設(shè)M x y 直線MN切圓C于N 則有 MQ MN 即 MQ ONMO 22 22 22 2 1 yx yx 整理得0 41 4 1 1 222222 xyx 這就是動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程 若1 方程化為 4 5 x 它表示過點(diǎn) 0 4 5 和x軸垂直的一條直線 若 1 方程化為 22 2 22 2 2 1 31 1 2 yx 它表示以 0 1 2 2 2 為圓心 1 31 2 2 為半徑的圓 二 定義法二 定義法 定義法是指先分析 說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線 如圓 橢圓 雙 曲線 拋物線等 的定義或特征定義或特征 再求出該曲線的相關(guān)參量 從而得到軌跡方 程 例例 2 2 已知中 的對(duì)邊分別為 若依次ABC A B C abcbca 構(gòu)成等差數(shù)列 且 求頂點(diǎn)的軌跡方程 bca 2 ABC C B y x O A 2 2 解 如右圖 以直線為軸 線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 由題意 ABxAB 構(gòu)成等差數(shù)列 兩定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng) 橢圓 即bca bac 2 又 的軌跡為橢圓的左半部分 在此橢圓中 4 2 ABCBCACACB C 故的軌跡方程為 1 2 ca3 b C 2 0 1 34 22 xx yx 三 點(diǎn)差法三 點(diǎn)差法 將直線與圓錐曲線的交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差兩式作差 得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子 可以大大減少運(yùn)算量 我們稱這種代點(diǎn)作差代點(diǎn)作差的方法為 點(diǎn)差法點(diǎn)差法 例例3 3 拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程是 2 4yx 四 幾何法四 幾何法 幾何法是指利用平面幾何或解析幾何知識(shí)分析圖形性質(zhì)分析圖形性質(zhì) 發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 和要滿足的條件 從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 例例 4 4 已知點(diǎn) 過 作兩條互相垂直的直線和 求和 2 3 A 4 1 BAB 1 l 2 l 1 l 的交點(diǎn)的軌跡方程 2 lM 3 五 參數(shù)法五 參數(shù)法 參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量 參數(shù) 引入一個(gè)中間變量 參數(shù) 使所求動(dòng)點(diǎn)的橫 縱坐標(biāo)間yx 建立起聯(lián)系 然后再從所求式子中消去參數(shù)消去參數(shù) 得到間的直接關(guān)系式 即得yx 到所求軌跡方程 例例 5 5 過拋物線 的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦 求pxy2 2 0 pOOAOB 弦的中點(diǎn)的軌跡方程 ABM 例例 6 6 設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O 一個(gè)焦點(diǎn)為F 0 1 長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度之比為 t 1 求橢圓的方程 2 設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為 t 的直線與橢圓在 y 軸右邊部分的交點(diǎn)為 Q 點(diǎn) P 在 該直線上 且1 2 tt OQ OP 當(dāng) t 變化時(shí) 求點(diǎn) P 的軌跡方程 并說明軌跡是 什么圖形 4 六 交軌法六 交軌法 求兩曲線的交點(diǎn)軌跡兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí) 可由方程直接消去參數(shù)方程直接消去參數(shù) 或者先引入?yún)?shù)引入?yún)?shù)來建立 這些動(dòng)曲線的聯(lián)系 然后消去參數(shù)消去參數(shù)來得到軌跡方程 稱之交軌法 例例 7 7 如右圖 垂直于軸的直線交雙曲線于 兩點(diǎn) x1 2 2 2 2 b y a x MN 為雙曲線的左 右頂點(diǎn) 求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程 并指 21 A AMA1NA2P 出軌跡的形狀 例例 8 8 已知兩點(diǎn) 2 0 2 2 QP 以及一條直線 y x 設(shè)長(zhǎng)為2的線段AB在 直線 上移動(dòng) 求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程 xA1A2O y N M P 5 七 代入法七 代入法 當(dāng)題目中有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí) 將其他動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示 Pyx 再代入到其他動(dòng)點(diǎn)要滿足的條件或軌跡方程中 整理即得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 P 稱之代入法 也稱相關(guān)點(diǎn)法 轉(zhuǎn)移法 例例 9 9 如圖 從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線 垂足為1 22 yxCQ2 yxl 求線段的中點(diǎn)的軌跡方程 NQNP 例例 1010 已知拋物線1 2 xy 定點(diǎn)A 3 1 B為拋物線上任意一點(diǎn) 點(diǎn)P在 線段AB上 且有BP PA 1 2 當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動(dòng)時(shí) 求點(diǎn)P的軌跡方程 并指出這個(gè)軌跡為哪種曲線 y Q Ox N P 6 3 3 解 解 設(shè)弦端點(diǎn) 中點(diǎn)為 則 1122 A x yB xyAB M x y 2 11 2 22 4 4 yx yx 因?yàn)樗?12 12 12 4 yy yy xx 12 12 12 2 1 yyy yyy xxx 2 2 1 yx 4 解 由平面幾何知識(shí)可知 當(dāng)為直角三角形時(shí) 點(diǎn)的軌跡是以ABM M 為直徑的圓 此圓的圓心即為的中點(diǎn) 半徑為 方ABAB 1 1 2 52 2 1 AB 程為 故的軌跡方程為 13 1 1 22 yxM13 1 1 22 yx 5 解 設(shè) 直線的斜率斜率為 則直線的斜率為 直線 yxMOA 0 kkOB k 1 OA 的方程為 由解得 即 同理可得kxy pxy kxy 2 2 k p y k p x 2 2 2 2 2 2 k p k p A 2 2 2 pkpkB 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式 得 消去 得 此即點(diǎn)的 pk k p y pk k p x 2 2 k 2 2 pxpy M 軌跡方程 6 6 解 解 1 設(shè)所求橢圓方程為 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 由題意得 1 22 t b a ba 解 得 1 1 1 2 2 2 2 2 t b t t a 所以橢圓方程為 222222 1 1 tytxtt 7 2 設(shè)點(diǎn) 11 yxQyxP解方程組 1 1 11 22 1 22 1 22 txy tytxtt 得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t t y t x 由1 2 tt OQ OP 和 1 x x OQ OP 得 2 2 2 2 22 t y t x t y t x 或 其中t 1 消去t 得點(diǎn)P軌跡方程為 2 2 2 2 2 xyx和 2 2 2 2 2 xyx 其軌跡為拋物線yx 2 2 2 在直線 2 2 x右側(cè)的部分和 拋物線yx 2 2 2 在直線 2 2 x在側(cè)的部分 7 解 設(shè)及 又 可得 yxP 1111 yxNyxM 0 0 21 aAaA 直線的方程為 MA1 1 1 ax ax y y 直線的方程為 NA2 1 1 ax ax y y 由 x 得 22 22 1 2 12 ax ax y y 又 代入 得 化簡(jiǎn)得 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 2 1 2 2 2 2 1 xa a b y 22 2 2 2 ax a b y 此即點(diǎn)的軌跡方程 1 2 2 2 2 b y a x P 當(dāng)時(shí) 點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心 為半徑的圓 ba Pa 當(dāng)時(shí) 點(diǎn)的軌跡是橢圓 ba P 8 8 解解 PA和QB的交點(diǎn)M x y 隨A B的移動(dòng)而變化 故可設(shè) 1 1 ttBttA 則PA 2 2 2 2 2 tx t t yQB 8 1 1 1 2 tx t t y消去t 得 0 822 22 yxyx當(dāng)t 2 或t 1 時(shí) PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式 所以點(diǎn)M的軌跡方程是 0 8222 22 yxxyx 9 解 設(shè) 則 因?yàn)樵谥本€ 上 11 yx QyxP 2 2 11 yyxxN Nl 又得即 222 11 yyxxlPN 1 1 1 xx yy 0 11 xyyx 聯(lián)解 得 又點(diǎn)在雙曲線上 2 23 2 23 1 1 xy y yx x QC 化簡(jiǎn)整理得 此1 2 23 2 23 22 xyyx 012222 22 yxyx 即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 P 1010