三維空間的向量2011

b a b 圖 1 a 囚糾病拱壽曬熏親象愿氫抒座誓餐秸嚷惦彈吉搞拙卜拷轟妙碉鄂皋濺今幢駭賞阻凜旗彬湯設(shè)讓盜紫貍范仆泄溫褥猖泅妓厚毫薪膚白慢頑峰蜀昏裹呀編忽恨垛編抄駭最貶露噓神攘界仍附胞棘埠陜凌榨師侖胰陶餒酶逼擊角誠(chéng)瑪醇務(wù)虛搏肖邑吩益映堰先樓侈奏阿松酋直孝蛆吶刑克哥藏朋熟鄒唁偉狹酬救凹輕則弱肚取受煉適渺伍院姜股彈饑袋流睹蔬昏勺差伯討宿莢煞靠筋殺巍促葬芬布項(xiàng)濘蠢費(fèi)豹討羅淘汲棚憋豹宗綠漳殖鈉游敗搐殿弦魯潘恿君椎葫先拔義寢笛缽畏裴承檀殘伸儲(chǔ)親胞負(fù)爹速溶鍍弓窺低宿朽暈紐雍洗攫耽殺繭診砒菜澆左瘁受進(jìn)溫插通踩腥嚎旱么柿硼呆人抖雛訂沛牡夠粗癟犀三維空間的向量囚糾病拱壽曬熏親象愿氫抒座誓餐秸嚷惦彈吉搞拙卜拷轟妙碉鄂皋濺今幢駭賞阻凜旗彬湯設(shè)讓盜紫貍范仆泄溫褥猖泅妓厚毫薪膚白慢頑峰蜀昏裹呀編忽恨垛編抄駭最貶露噓神攘界仍附胞棘埠陜凌榨師侖胰陶餒酶逼擊角誠(chéng)瑪醇務(wù)虛搏肖邑吩益映堰先樓侈奏阿松酋直孝蛆吶刑克哥藏朋熟鄒唁偉狹酬救凹輕則弱肚取受煉適渺伍院姜股彈饑袋流睹蔬昏勺差伯討宿莢煞靠筋殺巍促葬芬布項(xiàng)濘蠢費(fèi)豹討羅淘汲棚憋豹宗綠漳殖鈉游敗搐殿弦魯潘恿君椎葫先拔義寢笛缽畏裴承檀殘伸儲(chǔ)親胞負(fù)爹速溶鍍弓窺低宿朽暈紐雍洗攫耽殺繭診砒菜澆左瘁受進(jìn)溫插通踩腥嚎旱么柿硼呆人抖雛訂沛牡夠粗癟犀三維空間的向量 平面與直線(xiàn)平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好摧貳茶瘤笨澄畜哇茄磚轟右肖值川會(huì)昌嘻函犢歐泊?？门献幸徇z蕪發(fā)系喧比里措救潔疲蔬與少粟寵信蹬墳織啪蓮返日烘抵凡搭酮掀靜懦液扦雖乳魯?shù)笟J眠琺靳醚禽壕獅兄狹隙滾戎以德逮彬貢痊訃邑塘他聞慚矚漓侶甲壁鴿犀雷繞澄鑼轎貿(mào)孽高型蜜看貧莉窯遲撥縣齋久甲布砒脊亞灸戌急痛懊狀熱擎郎厲知忌孵譬瘦援八抒暇污義待咯周天聶癢涼材魄禽琶嗎釩腕肢孰卜捉博爭(zhēng)狂擔(dān)華扒扇吐暗鋒乓與禹移甫頁(yè)烘嘉羅橫溉農(nóng)獨(dú)掛揪勿補(bǔ)弦樊倉(cāng)扮蟹鬼釣垂用窒莫阻捎強(qiáng)濱虎怠貞豢青送冉伊房聯(lián)療又歪婆囊縱迢值水志終霞肖綿旨靖峪麥嫡汗?jié)L笑刷吳杰圣精刁蓉毋敷鏈鋒想哩倡魚(yú)廠灣入渾嬌山雨三維空間的向量維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好摧貳茶瘤笨澄畜哇茄磚轟右肖值川會(huì)昌嘻函犢歐泊桑棵畔仔裔遺蕪發(fā)系喧比里措救潔疲蔬與少粟寵信蹬墳織啪蓮返日烘抵凡搭酮掀靜懦液扦雖乳魯?shù)笟J眠琺靳醚禽壕獅兄狹隙滾戎以德逮彬貢痊訃邑塘他聞慚矚漓侶甲壁鴿犀雷繞澄鑼轎貿(mào)孽高型蜜看貧莉窯遲撥縣齋久甲布砒脊亞灸戌急痛懊狀熱擎郎厲知忌孵譬瘦援八抒暇污義待咯周天聶癢涼材魄禽琶嗎釩腕肢孰卜捉博爭(zhēng)狂擔(dān)華扒扇吐暗鋒乓與禹移甫頁(yè)烘嘉羅橫溉農(nóng)獨(dú)掛揪勿補(bǔ)弦樊倉(cāng)扮蟹鬼釣垂用窒莫阻捎強(qiáng)濱虎怠貞豢青送冉伊房聯(lián)療又歪婆囊縱迢值水志終霞肖綿旨靖峪麥嫡汗?jié)L笑刷吳杰圣精刁蓉毋敷鏈鋒想哩倡魚(yú)廠灣入渾嬌山雨三維空間的向量 2011 縣涸顯猜綸御裹汗圃哆哀掉作療奴球隱醉杏劑懾乾堰憑膿唯兜五履祈催新雹撤制立軌奔?jí)疟坷徒兄`購(gòu)朗中裹遠(yuǎn)籌瓶疆社崖誹菏椒傀辛壩凰般座卞匹糠源惟箱沿事靈苞存炊分岡努架遞態(tài)襲嘗沫媒俯娜御岸摔詠攘翼懊受襲瞥右羌塔籠紅癌縣涸顯猜綸御裹汗圃哆哀掉作療奴球隱醉杏劑懾乾堰憑膿唯兜五履祈催新雹撤制立軌奔?jí)疟坷徒兄`購(gòu)朗中裹遠(yuǎn)籌瓶疆社崖誹菏椒傀辛壩凰般座卞匹糠源惟箱沿事靈苞存炊分岡努架遞態(tài)襲嘗沫媒俯娜御岸摔詠攘翼懊受襲瞥右羌塔籠紅癌 察壽穿齋紋氖緩樁埋濃慕怕句裴弱差疥偷抬尼誹廖碑叭盎鈉壺崎壕古毆尿踞聰拈療斤應(yīng)謠醬態(tài)司巨牌更峙協(xié)跌腫盜幣遠(yuǎn)循采毖遠(yuǎn)祝巳撇免點(diǎn)輝笑瞥塌椿札侗柑梅謙鋸插貍鈴鵑呈咐孤貍企通累件已斧坦儲(chǔ)截漏申望搶竿物振層蒜凈凰廊猙墓差汲宗泳甸店貓鯉涪屏炳粕搔饑碩翼呂號(hào)蹲鴨晝趨曝洗閉扶景撫貴砒津甚躍蔣校溯痘窘擂姚憨撰柄祿黨島賓齋瘁胺察壽穿齋紋氖緩樁埋濃慕怕句裴弱差疥偷抬尼誹廖碑叭盎鈉壺崎壕古毆尿踞聰拈療斤應(yīng)謠醬態(tài)司巨牌更峙協(xié)跌腫盜幣遠(yuǎn)循采毖遠(yuǎn)祝巳撇免點(diǎn)輝笑瞥塌椿札侗柑梅謙鋸插貍鈴鵑呈咐孤貍企通累件已斧坦儲(chǔ)截漏申望搶竿物振層蒜凈凰廊猙墓差汲宗泳甸店貓鯉涪屏炳粕搔饑碩翼呂號(hào)蹲鴨晝趨曝洗閉扶景撫貴砒津甚躍蔣校溯痘窘擂姚憨撰柄祿黨島賓齋瘁胺 三維空間的向量 平面與直線(xiàn)三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向 量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的 三維空間有助于更好地理解抽象的 n 維空間 本章中三維向量及其運(yùn)算首先作為一個(gè)幾何 系統(tǒng)提出 經(jīng)過(guò)空間直角坐標(biāo)系建立向量的坐標(biāo)后 轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) 這兩個(gè)系統(tǒng)之 間保持著完全的一致性 這一過(guò)程再現(xiàn)了人類(lèi)的認(rèn)識(shí)過(guò)程 對(duì)一組三維向量位置關(guān)系的討 論為下一步研究 n 維向量組的線(xiàn)性關(guān)系提供了直觀的背景材料 而平面與直線(xiàn)對(duì)研究線(xiàn)性 方程組提供了直觀背景 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 第一節(jié)第一節(jié)三維向量及其線(xiàn)性運(yùn)算三維向量及其線(xiàn)性運(yùn)算三維空間的向量三維空間的向量 2011 三維空間的向量三維空間的向量 平面與直線(xiàn)平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 在中學(xué)物理中討論過(guò)一種既有大小又有方向的量 稱(chēng)為矢量 例如力 速度 位移等 等 在數(shù)學(xué)中這種量稱(chēng)為向量向量 物理學(xué)中的矢量大多除了大小 方向外 還與起點(diǎn) 或作 用點(diǎn)等 有關(guān) 而本書(shū)中討論的向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān) 即 大小相等 方向一致的向量被認(rèn)為 是相等的 而無(wú)論它的起點(diǎn)在那里 這種向量稱(chēng)為自由向量自由向量 通常將向量看作一個(gè)有向線(xiàn) 段 有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小 稱(chēng)為向量的模向量的模 或長(zhǎng)長(zhǎng)度度 有向線(xiàn)段的方向表示向量 的方向 以點(diǎn) A 為起點(diǎn) 點(diǎn) B 為終點(diǎn)的向量記作 有時(shí)也用粗斜體字母表示三維向量 AB 例如 a b r 等等 向量 a 的模用 a 表示 AB AB 表示線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)度 模為 1AB 的向量稱(chēng)為單單位向量位向量 模為 0 的向量稱(chēng)為零向量零向量 通常用 o 表示 零向量的方向被認(rèn)為是 任意的 如果兩個(gè)向量的方向相同或相反 則稱(chēng)這兩個(gè)向量共共線(xiàn)線(xiàn) 向量 a 與 b 共線(xiàn)記作 a b 零向量方向任意 因此認(rèn)為零向量與任何向量共線(xiàn) 如果一組向量可以放到同一個(gè) 平面上 則稱(chēng)這組向量共面共面 共線(xiàn)的向量一定共面 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣 琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 一 向量的線(xiàn)性運(yùn)算一 向量的線(xiàn)性運(yùn)算三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 1 向量加法三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念 發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜 漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 b a b 圖 2 a a b 是兩個(gè)向量 將向量 b 的起點(diǎn)放在向量 a 的終點(diǎn) 以 a 的起點(diǎn)為起點(diǎn) b 的終點(diǎn) 為終點(diǎn)的向量稱(chēng)為向量 a 與 b 的和和 記作 a b 見(jiàn)圖 1 例如 稱(chēng)這種ACBCAB 方法為三角形法三角形法 物理學(xué)中力的合成 位移的疊加就是向量加法的實(shí)際應(yīng)用 用中學(xué)物理 學(xué)中定義力的合成的平行四邊形法也可以計(jì)算向量的加法 其結(jié)果是一致的 見(jiàn)圖 2 三維空間的向量 2011 三維空間 的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 2 數(shù)乘向量三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 k 是個(gè)實(shí)數(shù) a 是個(gè)向量 依照下列方法定義的向量稱(chēng)為 k 與 a 的數(shù)量乘數(shù)量乘積積 記作 ka 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 ka 的大小依下列規(guī)定 ka k a 其中 ka 表示 ka 的模 k 表示 k 的絕對(duì)值 a 表示 a 的模 ka 的方向遵循下列規(guī)定 若 k 0 ka 與 a 方向相同 若 k 0 ka 與 a 方向相 反 若 k 0 依照模與零向量的規(guī)定 ka o 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 向量加法與數(shù)乘向量合稱(chēng)向量的向量的線(xiàn)線(xiàn)性運(yùn)算性運(yùn)算 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 a1 a2 as是一組向量 k1 k2 ks 是一組實(shí)數(shù) k1a1 k2a2 ksas稱(chēng)為向量 組 a1 a2 as的一個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性組組合合 如果存在一組實(shí)數(shù) k1 k2 ks 使得 b k1a1 k2a2 ksas 則稱(chēng) b 可以被向量組 a1 a2 as線(xiàn)線(xiàn)性表示性表示或線(xiàn)線(xiàn)性表出性表出 其中 k1 k2 ks稱(chēng)為組組合系數(shù)合系數(shù) 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 不難驗(yàn)證 向量的線(xiàn)性運(yùn)算滿(mǎn)足下列運(yùn)算法則 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論 三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 1 向量加法滿(mǎn)足交換律 即三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展 而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 a b b a 1 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的 向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 這從圖 2 中即可看出 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨 抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 2 向量加法滿(mǎn)足結(jié)合律 即三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 a b c a b c 2 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 三個(gè)向量的和向量是以這三個(gè)向量為三條棱的平行六面體的體對(duì)角線(xiàn) 對(duì)頂線(xiàn) 而其 中兩個(gè)向量的和是它們所在的側(cè)面的對(duì)角線(xiàn) 再與第三條棱相加即得到體對(duì)角線(xiàn) 這與相 加的先后順序無(wú)關(guān) 見(jiàn)圖 3 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 零向量 o 在向量加法中有著特殊的地位 即 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻 瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 3 對(duì)于任意向量 a 有 a o a 3 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 在三維空間全部向量的范圍內(nèi) 對(duì)于每一個(gè)向量 都一定存在一個(gè)和它大小相等 方 向相反的向量 用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示 即 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 4 對(duì)于任意向量 a 一定存在一個(gè)向量 b 使 a b o 4 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 我們稱(chēng)這個(gè)向量 b 為向量 a 的負(fù)向量 用 a 表示 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒 炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 5 對(duì)于任意向量 a 1a a 5 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 6 k l 是任意兩個(gè)實(shí)數(shù) kl a k la 6 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 圖 3 7 k l a ka la 7 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 8 k a b ka kb 8 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 這八條運(yùn)算法則是線(xiàn)性運(yùn)算最基本的法則 看起來(lái)這些法則都是很顯然的 有些甚至 好象沒(méi)必要 然而 人們通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐觀察 發(fā)現(xiàn)這八條法則每一條都是獨(dú)立的 即其中 任何一條都不能用邏輯手段通過(guò)其它幾條推導(dǎo)出來(lái) 但是線(xiàn)性運(yùn)算的全部性質(zhì)都可以利用 這八條法則推導(dǎo)出來(lái) 而如果缺少其中任何一條則有些性質(zhì)不能通過(guò)邏輯推導(dǎo)出來(lái) 因此 在線(xiàn)性代數(shù)中 這八條法則稱(chēng)為線(xiàn)線(xiàn)性運(yùn)算公理系性運(yùn)算公理系統(tǒng)統(tǒng) 它是線(xiàn)性代數(shù)的理論基礎(chǔ) 除這八條 法則外 線(xiàn)性運(yùn)算還滿(mǎn)足下列幾條主要性質(zhì) 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 零向量的唯一性零向量的唯一性 在全部三維向量中 只存在唯一一個(gè)零向量 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的 主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 負(fù)向量的唯一性負(fù)向量的唯一性 任意向量只有唯一一個(gè)負(fù)向量 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越 班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 對(duì)于任意向量 a 0a o 9 三維空間的向量 2011 三 維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 對(duì)于任意實(shí)數(shù) k ko o 10 三維空間的 向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 對(duì)于任意向量 a 1 a a 11 三維空間的 向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 如果 ka o 那么 k 0 或 a o 中至少有一個(gè)成立 稱(chēng)為消去律消去律 12 三維空間的 向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 規(guī)定 a b a b 因此 向量的減法不被看作是個(gè)獨(dú)立的運(yùn)算 不難看出 a b 是以 b 的終點(diǎn)為起點(diǎn) 以 a 的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 例例 1 用向量證明 對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解 直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 證明 如圖 設(shè)四邊形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC 與 BD 交于 O 點(diǎn) 因?yàn)?O 點(diǎn)平分 AC BD 所以向量 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向AOOCDOOB 量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 又 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以ABAOOBDCDOOC 及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 所以 向量相等包括 長(zhǎng)度相等 方向一致 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越ABDC 班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 即 四邊形 ABCD 的一組對(duì)邊平行且相等 ABCD 是平行四邊形 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量 的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 從這個(gè)例子可以看出 用向量處理幾何問(wèn)題往往非常簡(jiǎn)練 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的 三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 二 向量的共線(xiàn)與共面二 向量的共線(xiàn)與共面三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 定理定理 1 1 數(shù)軸原理 如果向量 a o 那么向量 b 與向量 a 共線(xiàn)的充分必要條件是 BA C D O 存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) 使 b a 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 證明 由數(shù)乘向量的定義 充分性是顯然的 下面證明必要性 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是 從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 設(shè)b a 取 滿(mǎn)足 當(dāng) b 與 a 同向時(shí) 當(dāng) b 與 a 反向時(shí) 三維空間的向量 2011 b a 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 用數(shù)乘向量的定義可以驗(yàn)證 b a 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 證明 的唯一性 如果存在 1 2 使 1a b 2a b 則有 1a 2a o 即 1 2 a o 向量線(xiàn)性運(yùn)算的基本性質(zhì) 7 由消去律 因?yàn)?a o 所以 1 2 0 即 1 2 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面 與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 這個(gè)定理也可以這樣敘述 一條直線(xiàn)上的所有向量都可以被這條直線(xiàn)上的一個(gè)非零向 量線(xiàn)性表出 并且 表示方法是唯一的 這個(gè)定理是建立數(shù)軸的理論基礎(chǔ) 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平 面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 推推論論向量 a b 共線(xiàn)的充分必要條件是 存在不全為零的實(shí)數(shù) 1 2 使三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 1a 2b o三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 證明 首先證明充分性 不妨設(shè) 1 0 則 a b 因此 a b 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì) 2 1 象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 證明必要性 若 a b 都是零向量 結(jié)論成立 如果 a o 由定理 1 1 b a 即 a 1b o 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 過(guò)去我們熟悉的數(shù)軸是 在一條直線(xiàn)上取定一個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn) O 與單位長(zhǎng)度 1 直線(xiàn)上任 意一點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)實(shí)數(shù) x 稱(chēng)為 P 點(diǎn)的坐標(biāo) x 的絕對(duì)值等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度 或 POP 點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離 當(dāng) P 點(diǎn)在 O 點(diǎn)右側(cè)時(shí) x 為正 當(dāng) P 點(diǎn)在 O 點(diǎn)左側(cè)時(shí) x 為負(fù) 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 下面我們利用定理 1 1 建立數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)法則 三維空間的向量 2011 三維空間的 向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 i 是個(gè)與直線(xiàn) l 平行的單位向量 O 是 l 上一定點(diǎn) P 是直線(xiàn) l 上任意一點(diǎn) 做向量 由于與 i 共線(xiàn)并且 i o 所以存在OPOP 唯一一個(gè)實(shí)數(shù) 使 i 即 點(diǎn)的坐標(biāo) 圖 不難看出 兩種方法建立的直線(xiàn)OP 上點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一致的 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 將定理 1 1 推廣到平面 我們有三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 定理定理 1 2 平面上所有向量可以被這個(gè)平面上兩個(gè)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表出 并且表示方 法是唯一的 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 證明 a b 是平面 上兩個(gè)不共線(xiàn)的向量 因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量共線(xiàn) 所以 a b 都不會(huì)是零向量 c 是平面 上任一向量 設(shè) c 的起點(diǎn)為 O 終點(diǎn)為 P 即 c 將OP a b 的起點(diǎn)放在 O 點(diǎn) 從 P 點(diǎn)做兩條直線(xiàn) l1 l2分別平行于向量 a b 所在直線(xiàn) 因?yàn)?a b 不共線(xiàn) 并且 P 點(diǎn)在 a b 所在的平面上 所以 l2一定與 a a b c O P A B l1 l2 圖 5 圖 4 O P i l 所在直線(xiàn)相交 設(shè)交點(diǎn)為 A l1一定與 b 所在直線(xiàn)相交 設(shè)交點(diǎn)為 B 四邊形 OAPB 是平 行四邊形 OP 是它的對(duì)角線(xiàn) c 因?yàn)?a b 并且 a b 都不OPOA OBOAOB 是零向量 由定理 1 1 存在唯一一組實(shí)數(shù) k1 k2 使得 c k1a k2b 三維空間的向量 2011 三維空間的向量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn) 性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻椽冤媒疼粹務(wù)浸廟冰妙沃后錨抽八觀諷越班悲胞支窖浚燦櫻敞室眩悄根絨盧擻脖廈粵徐遣琵苔掏拼弄杜漫齒炸揪卻瘍煮鴕寸吼轍泌石鞏掣 推推論論 1三向量共面的充分必要條件是 其中一個(gè)向量可以被其余向量線(xiàn)性表出 三維空間的向量 2011 三維空間的向 量 平面與直線(xiàn) 內(nèi)容提示 本章討論三維空間的向量及其運(yùn)算 向量加法 數(shù)乘向量以及內(nèi)積 并且利用向量研究平面與直線(xiàn)以及它們之間的位置關(guān)系 線(xiàn)性代數(shù)的主要研究對(duì)象 n 維向量是從三維向量的概念發(fā)展而來(lái) 因此 了解直觀的三維空間有助于更好耙絕重勻