高考數(shù)學總復(fù)習 第十章 第四節(jié)二項式定理及其應(yīng)用課件 理.ppt

第四節(jié)二項式定理及其應(yīng)用 第十章計數(shù)原理 概率 隨機變量及其分布 考綱要求 1 能用計數(shù)原理證明二項式定理 2 會用二項式定理解決與二項式展開式有關(guān)的簡單問題 課前自修 知識梳理 1 二項式定理 a b n n n 其通項是 tr 1 r 0 1 2 n 亦可寫成 tr 1 an 其中 r 0 1 2 n 叫做二項式系數(shù) 而系數(shù)則是字母前的常數(shù) a b n n n 特別地 1 x n n n 2 二項展開式系數(shù)的性質(zhì) 1 對稱性 在二項展開式中 與首末兩端 等距離 的兩項的二項式系數(shù)相等 即 2 增減性與最大值 在二項式展開式中 二項式系數(shù)先增后減 且在中間取得 值 如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù) 則中間一項的二項式系數(shù)最大 即n為偶數(shù)時 max 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù) 則中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大 即n為奇數(shù)時 max 3 所有二項式系數(shù)的和等于2n 即 2n 用賦值法可以證明 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等 即 最大 3 在使用二項展開式的通項公式tr 1 an rbr時 要注意 1 通項公式是表示第r 1項 而不是第r項 2 展開式中第r 1項的二項式系數(shù)與第r 1項的系數(shù)不同 3 通項公式中含有a b n r tr 1五個元素 只要知道其中的四個元素 就可以求出第五個元素 在有關(guān)二項式定理的問題中 常常遇到已知這五個元素中的若干個 求另外幾個元素的問題 這類問題一般是利用通項公式 把問題歸納為解方程 或方程組 這里必須注意n是正整數(shù) r是非負整數(shù) 且r n 4 證明組合恒等式常用賦值法 基礎(chǔ)自測 1 2011 福建卷 1 2x 5的展開式中 x2的系數(shù)等于 a 80b 40c 20d 10 解析 因為 1 2x 5的通項為tr 1 2x r 2rxr 令r 2 則2r 22 4 40 即x2的系數(shù)等于40 故選b 答案 b 2 2012 重慶卷 8的展開式中常數(shù)項為 a b c d 105 解析 原式展開式的第r 1項為tr 1 8 r r rx4 r 令4 r 0 則r 4 所以展開式中常數(shù)項為 故選b 答案 b r 3 2012 韶關(guān)市第一次調(diào)研 2 8展開式中含x4項的系數(shù)為 解析 tr 1 28 r r 當r 8時 x4的系數(shù)是28 8 1 8 1 答案 1 4 2011 株洲市模擬 若 x 2 5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0 則a1 a2 a3 a4 a5 用數(shù)字作答 解析 令x 1得a5 a4 a3 a2 a1 a0 1 令x 0 得a0 32 所以a5 a4 a3 a2 a1 31 答案 31 考點探究 考點一 求二項展開式中特定的項 例1 1 2012 東莞市模擬 6的展開式的常數(shù)項是 用數(shù)字作答 2 2012 大綱全國卷 若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等 則該展開式中的系數(shù)為 解析 1 tr 1 2x 6 r r 1 r 2x 6 2r 當r 3時 得展開式的常數(shù)項 為 1 3 20 2 由題知 n 8 tr 1 x8 r r 2r 8 令2r 8 2 得r 5 的系數(shù)為 56 答案 1 20 2 56 點評 二項展開式的通項公式tr 1 an rbr r 0 1 2 n 集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù) 項數(shù) 系數(shù)的變化 它在求展開式的某些特定項 如含指定冪的項 常數(shù)項 中間項 有理項 系數(shù)最大的項等 及其系數(shù)以及數(shù) 式的整除等方面有著廣泛的應(yīng)用 使用時要注意 1 通項公式表示的是第 r 1 項 而不是第 r 項 2 通項公式中a和b的位置不能顛倒 變式探究 1 1 2012 山東日照模擬 若在 ax 1 6的展開式中x4的系數(shù)為240 則正實數(shù)a為 a 2b 3c 5d 7 2 2012 南昌市一模 設(shè)n 則二項式n的展開式中 x2的系數(shù)為 解析 1 因為t3 ax 4 1 2 所以a4 240 a 0 故a 2 故選a 2 因為n 6 cosx 6 所以在二項式6中 其展開式通項為tr 1 x6 r r 2 rx6 2r 當r 2時 x2的系數(shù)為 2 2 60 答案 1 a 2 60 考點二 賦值法的應(yīng)用 例2 若 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 求 1 a0 a2 a4 2 a1 a3 2的值 2 a0 a1 a2 a3 的值 思路點撥 對涉及到求與二項式展開式系數(shù)有關(guān)的求和問題時 常用賦值法 即給二項式中的字母賦予適當?shù)闹?例如1或者 1等 問題即可得到解決 解析 1 在使用賦值法前 應(yīng)先將 a0 a2 a4 2 a1 a3 2變形 即 a0 a2 a4 2 a1 a3 2 a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 令x 1 則a0 a1 a2 a3 a4 2 4 令x 1 則a0 a1 a2 a3 a4 2 4 因此 a0 a2 a4 2 a1 a3 2 2 4 2 4 2 2 4 1 2 因為 a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 2 4 而a4 24 16 所以 a0 a1 a2 a3 2 4 16 點評 二項式定理給出的是一個恒等式 對于a b的一切值都成立 因此 可將a b設(shè)定為一些特殊的值 在使用賦值法時 令a b等于多少 應(yīng)就具體情況而定 有時取 1 有時取 1 也有時要取其他值 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 則f x 展開式各項系數(shù)之和為f 1 偶數(shù)項系數(shù)之和a0 a2 a4 奇數(shù)項系數(shù)之和為a1 a3 a5 變式探究 2 1 2012 福州市模擬 若 1 2x 2012 a0 a1x a2x2 a2012x2012 x r 則 的值為 a 2b 0c 1d 2 2 2012 廈門市模擬 已知 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 8 a0 a1x a2x2 a8x8 則a1 a2 a3 a8 解析 1 令x 0 則a0 1 令x 則a0 0 1 故選c 2 令x 0則a0 8 令x 1則a0 a1 a8 2 22 28 29 2 由 知a1 a2 a8 29 10 答案 1 c 2 29 10 考點三 求二項展開式中系數(shù)最大 小 的項 例3 已知二項式 1 若展開式中第5項 第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列 求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù) 2 若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79 求展開式中系數(shù)最大的項 解析 1 2 n 7或n 14 當n 7時 展開式中二項式系數(shù)最大的項是t4和t5 t4的系數(shù) 23 t5的系數(shù) 24 70 當n 14時 展開式中二項式系數(shù)最大的項是t8 t8的系數(shù) 27 3432 2 由 79 可得n 12 設(shè)tk 1項的系數(shù)最大 解得9 4 k 10 4 即k 10 故展開式中系數(shù)最大的項為t11 且t11 410 x10 16896x10 點評 1 求二項式系數(shù)最大項 1 如果n是偶數(shù) 則中間一項的二項式系數(shù)最大 2 如果n是奇數(shù) 則中間兩項第項與第項的二項式系數(shù)相等并最大 2 求展開式系數(shù)最大項 如求 a bx n a b r 的展開式系數(shù)最大的項 一般是采用待定系數(shù)法 設(shè)展開式各項系數(shù)分別為a1 a2 an 1 且第k項系數(shù)最大 應(yīng)用從而解出k來 即得最大項 變式探究 3 1 2012 銀川模擬 在n的展開式中 只有第5項的二項式系數(shù)最大 則展開式中常數(shù)項是 a 7b 7c 28d 28 2 2012 青島市模擬 已知 1 x n的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為32 則 1 x n的展開式中系數(shù)最小的項是 解析 1 由題知只有第5項的二項式系數(shù)最大 即n 8 tr 1 1 r 8 r 由8 r 0 得r 6 即常數(shù)項為7 故選b 2 令x 1 得2n 32 所以n 5 故系數(shù)最小的項是 x3 10 x3 答案 1 b 2 10 x3 考點四 二項式定理的綜合應(yīng)用 例4 1 求證 3n n 2 2n 1 n n 且n 2 2 求s 除以9的余數(shù) 思路點撥 1 把3n化為 2 1 n展開后放縮證明 2 求出系數(shù)和構(gòu)造二項展開式求解 1 證明 n n 且n 2 3n 2 1 n展開后至少有四項 而 2 1 n 2n 2n 1 2 1 2n n 2n 1 2n 1 2n n 2n 1 n 2 2n 1 故3n n 2 2n 1 2 解析 s 227 1 89 1 9 1 9 1 99 98 9 1 9 98 97 9 7 98 97 9是正整數(shù) s被9除的余數(shù)為7 點評 1 冪指數(shù)含n的不等式 n n 用二項式定理證明 有時比用數(shù)學歸納法證明要簡捷得多 用二項式定理證明不等式時 要根據(jù)n的最小值確定展開后的最少項數(shù) 然后視具體情況確定應(yīng)該保留多少項 這實際上是一個放縮適量的問題 2 利用二項式定理解決整除性問題時 關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式 其基本思路是 要證明一個式子能被另一個式子整除 只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可 因此 一般要將被除式化為含有相關(guān)除式的二項式 然后再展開 此時常采用 配湊法 消去法 配合整除的有關(guān)知識來處理 變式探究 4 1 22013除以9的余數(shù)是 a 1b 2c 5d 8 2 1 90 902 903 1 k90k 9010除以88的余數(shù)是 a 1b 1c 87d 87 解析 1 22013 8 22010 8 9 1 670 8 9670 9669 9668 9 1 展開式中共671項 最后一項為8 1 8 故余數(shù)為8 故選d 2 1 90 902 903 1 k90k 9010 1 90 10 8910 88 1 10 8810 889 888 88 1 前10項均可被88整除 故余數(shù)為1 故選b 答案 1 b 2 b 1 要正確理解二項式定理 準確地寫出二項式的展開式 2 要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù) 3 能用二項式定理證明等式和不等式 注意 1 用二項式定理證明等式常用賦值法 也會用到組合數(shù)恒等式 2 用二項式定理證明不等式常用放縮法 4 二項式定理的應(yīng)用通常有以下幾類題型 1 通項應(yīng)用型 利用通項公式研究具體某一項系數(shù)的性質(zhì)等問題 2 系數(shù)配對型 展開兩因式乘積或可化為兩因式乘積的三項式 求某項系數(shù) 3 系數(shù)性質(zhì)型 靈活應(yīng)用二項式系數(shù)性質(zhì)或賦值求系數(shù)和 4 利用二項式定理求近似值 證明整除性或求余數(shù)問題 證明恒等式或不等式 5 在概率等方面的應(yīng)用 感悟高考 品味高考 1 2012 安徽卷 x2 2 的展開式的常數(shù)項是 a 3b 2c 2d 3 解析 因為 x2 2 x2 25 又展開式中的常數(shù)項為 1 5 2 展開式中的常數(shù)項為x2 1 4 5 故二項式 x2 2 展開式中的常數(shù)項為 2 5 3 故選d 答案 d 2 2012 湖北卷 設(shè)a z 且0 a 13 若512012 a能被13整除 則a a 0b 1c 11d 12 解析 512012 a a 13 4 1 2012 a 1 13 4 2012 a 1 13 4 13 4 2 13 4 2012 顯然當a 1 13k k z 即a 1 13k k z時 512012 a 13 4 13 4 1 13 4 2011 13k 能被13整除 因為a z 且0 a 13 所以a 12 故選d 答案 d 3 若展開式的常數(shù)項為60 則常數(shù)a的值為 解析 tr 1 x6 r x6 r 1 rax 2r x6 3r 1 ra 由6 3r 0