例說構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用.doc

例說構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用226001 江蘇省南通第一中學(xué) 陳躍輝“構(gòu)造”是一種溝通條件與結(jié)論的創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)方法，是一種靈活且不墨守成規(guī)的思維方式.構(gòu)造思想在發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維能力方面的作用遠遠超過了常規(guī)方法.應(yīng)用構(gòu)造法解題，常常不拘泥于常規(guī)方法，透過題設(shè)或結(jié)論的表面形式，弄清問題本質(zhì)的一致性，用特定的視角尋求統(tǒng)一的解題模式或?qū)俚幕瘹w方法，從而構(gòu)建條件到結(jié)論之間的“中轉(zhuǎn)站”. 教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在知識交匯點處觀察、思考問題，實現(xiàn)問題同構(gòu)、邏輯重組、等價化歸，這對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維的能力十分重要.用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵是：弄清題意、在相去較遠的條件和結(jié)論之間架設(shè)“橋梁”.下面舉例說明構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用.1、構(gòu)造輔助不等式 例1.對于任意實數(shù)x、y滿足：x2 -3xy4y29，則xy的最大值為 ，最小值為 .解：由(x- 2y)20得 x24y24xy, x2 -3xy4y24xy-3xy，即xy9 所以當x- 2y0x2-3xy4y29，即x32y322或x-32y-322時，(x y) max9； 由(x2y)20得x2y2-4xy， x2 -3xyy2-4 xy-3xy，即xy- 97 所以當x 2y0x2-3xy4y29，即x3147y-31414或x-3147y31414時，(x y)min- 97.評注：這道題目是條件最值問題，直接用基本不等式求x y的最大值是常規(guī)解法.而求x y的最小值似乎難以入手.在教學(xué)中，若引導(dǎo)學(xué)生對基本不等式：“若a、b是任意實數(shù)，則a2b22ab(當且僅當ab時，a2b22ab)”的背景知識進行深入的挖掘，學(xué)生不難想到：若a、b是任意實數(shù)，則a2b2-2ab(當且僅當a-b時，a2b2-2ab).交給學(xué)生推理的方法，就是授人于“漁”.2、構(gòu)造輔助圖形 例2.已知x、y是任意實數(shù)，求證：x2+y2(x-2)2+y2x2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)242證明：在平面直角坐標系xOy下，所要證明的不等式的左邊的幾何意義是：y xOABCP 點P (x, y)到邊長為2的正方形OABC的各個頂點的距離的和： POPAPBPC，其中O (0, 0) , A (2, 0) , B (2, 2) , C (0, 2) . 連結(jié)OB、AC，由平面幾何知識容易知道： POPBOB22 (當且僅當點P在線段OB上時取等號) PAPC AC22 (當且僅當點P在線段OB上時取等號) 兩式相加，得POPAPBPC42 即x2+y2(x-2)2+y2x2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)242 (當且僅當xy1時取等號) 評注：這道證明不等式的題目，通過建立平面直角坐標系，可利用不等式的數(shù)字結(jié)構(gòu)特點及其幾何意義，構(gòu)造圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想和平面幾何的有關(guān)知識證得.3、構(gòu)造輔助數(shù)列 例3. 在數(shù)列an中，a11，an13an+23n，nN.求數(shù)列an的通項公式. 解：由an13an+23n，nN，兩邊同除以3n+1，得 an13n+1=an3n23，令bnan3n，則bn1-bn=23，所以，數(shù)列bn成等差數(shù)列，且首項 b113，公差d23所以，bnan3n13(n- 1) 23所以，數(shù)列an的通項公式為：an(2n- 1) 3n-1 .評注：數(shù)列an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，將遞推公式的兩邊同除以3n+1后，利用換元法構(gòu)造出等差數(shù)列bn，問題也就迎刃而解了.4、構(gòu)造輔助平面例4已知：在ABC與A1B1C1中,直線AB直線A1B1點P, 直線BC直線B1 C1點Q, 直線AC直線A1C1點R. 求證：P、Q、R三點共線.A1baABCB1C1PQR證明：因ABC的三個頂點A、B、C不共線， 由公理3得 經(jīng)過點A、B、C可作平面a. 同理：經(jīng)過點A1、B1、C1可作平面b. 因為直線AB直線A1B1點P, 所以，P直線AB，P直線A1B1， 又ABa，A1B1b， 所以，Pa，Pb，即點P是平面a與平面b的公共點. 同理：點Q、點R也是平面a與平面b的公共點. 由公理2得 P、Q、R三點共線于平面a與平面b的交線. 評注：證空間三點共線，常常將這三點歸結(jié)為兩個相交平面的公共點.由題意，自然想到構(gòu)造輔助平面.5、構(gòu)造輔助方程 例5.已知：實數(shù)x、y、z滿足x2-yz-8x 70 y2+z2yz-6x+60，求x的取值范圍. 解：由，得 yz =x2-8 x7， 由，得 y2z2yz =6x-6，得 (yz)2x2-2x1(x- 1)2，所以，yz (x- 1) 利用、構(gòu)造關(guān)于t的一元二次方程：t2 (x- 1)tx2-8 x70.此方程有實數(shù)根y、z的充要條件是： (x- 1)2-4(x2-8 x7)= -3(x2-10 x9) 0解得，實數(shù)x的取值范圍是：1，9. 評注：由關(guān)于實數(shù)x、y、z的方程組求x的取值范圍，關(guān)鍵是：消去y、z，尋找關(guān)于x的約束條件.用x表示y、z較難，但注意到可以用x表示yz和yz，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，“逆用”韋達定理構(gòu)造輔助方程，用整體的思想解得.6、構(gòu)造輔助函數(shù) 例6.已知：x、y、z是同一三角形的三邊. 求證：xx1yy1zz1 證明：構(gòu)造函數(shù)f (x)xx11- 1x1，x (0，). 當x 0時，f (x) 1（x1）20恒成立. 所以, 函數(shù)f (x)在區(qū)間(0，)上是增函數(shù). 又x、y、z是同一三角形的三邊 所以，xy z0,且x 0, y 0 所以，f (xy) f (z ) ，即xyxy1zz1 所以，xx1yy1xxy1yxy1 = xyxy1zz1評注：這道條件不等式的證明題，若用常規(guī)思路與方法，很難“走通”.若能構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)f (x)xx1, x (0，),利用函數(shù)的單調(diào)性和放縮法即可證得. 例7.已知：定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (0)-1，其導(dǎo)數(shù)f (x)滿足f (x) k 1. 求證： f (1k-1) 1k-1 證明：構(gòu)造函數(shù)g (x)f (x) - kx1，則g (x)f (x) - k 0， 所以，函數(shù)g (x) 在R上是增函數(shù). 所以，當x 0時，g (x) g (0)= f (0) -01=0 所以，f (x) kx-1 （） 令x1k-1，因為k 1，所以x 0， 由（）得f (1k-1) k1k-1 -11k-1評注：構(gòu)造函數(shù)的過程，有時不是一蹴而就的，需要在解題、推理的過程中，不斷調(diào)整、改進、完善.這就要求我們在分析問題和解決問題的實踐中，不斷學(xué)習(xí)，不斷總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn)，進而不斷發(fā)展創(chuàng)新性思維能力.7、構(gòu)造輔助問題 例8. (1)方程xyzw10的自然數(shù)解共有 個. 解：方程xyzw10的自然數(shù)解的個數(shù).將10個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子里，共有多少種不同的放法.將10個相同的“0”，和3個相同的“1”排一排，共有多少種不同的排法.由此容易得到，方程xyzw10共有C133131211321286個自然數(shù)解. (2)以正方體的8個頂點中的任意兩個所連結(jié)的直線可以組成 對異面直線. 解：因為一個三棱錐對6條棱可以組成3對異面直線，所以原問題以正方體的8個頂點中的任4個為頂點可以組成多少個三棱錐？ (3)有10級臺階，某人從地面上一步1級或2級攀登，則登上第10級臺階共有 種不同的走法. 解：設(shè)此人從地面上登上第n級臺階共有an種不同的走法.則原問題已知數(shù)列an：a11，a22，an2 = an+ an1.求a10？評注：這些輔助問題與原問題表面上結(jié)構(gòu)、內(nèi)容不同，但本質(zhì)上具有同構(gòu)或一致性，也可能輔助問題與原問題具有從屬關(guān)系，通過對一般性問題的求解或若干個子問題的求解來解決原問題.8、構(gòu)造輔助模型例9. 求函數(shù)y3sin+12cos3的最值.解：（思路一） 將函數(shù)解析式y(tǒng)3sin+12cos3看成是關(guān)于q的方程，將y看成是參數(shù)： 整理，得 2ycosq-3sinq1-3y 利用正弦函數(shù)的有界性，得(2 y) 2321-3y 兩邊平方，整理得 5y2-6 y -80 解得 - 45 y 2 所以，此函數(shù)的最大值為2，最小值為- 45.（思路二）將函數(shù)解析式y(tǒng)3sin+12cos3中的y看成動點P(2cosq，3sinq )與A(-3，-1)連線的斜率.原問題求過定點A(-3，-1)與橢圓9x24y236上的動點P所連直線的斜率. 求k的取值范圍，使直線y1k(x3)與橢圓9x24y236有公共點.將直線方程y1k(x3)與橢圓9x24y236方程聯(lián)立，消去y整理得 (4k29) x28(3k2- k) x4(9k2-6 k-8)0直線與橢圓有公共點8(3k2- k)2-16(4k29) (9k2-6 k-8)0 5k 2-6 k-80 所以，此函數(shù)的最大值為2，最小值為- 45. 評注：將函數(shù)解析式y(tǒng)3sin+12cos3看成關(guān)于y與q的二元方程，若換個角度看問題：選擇一個適當?shù)膮?shù)，利用參數(shù)所具有的特定的數(shù)量關(guān)系和幾何意義，促使這個參數(shù)成為聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁、數(shù)形轉(zhuǎn)化的媒介. 例10.已知橢圓C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為e=33.分別過原點O和右焦點F (1，0)的兩條弦AB、CD相交于點E (異于A、C兩點)，且OEEF.AxyOBCDFE求證：直線AC、BD的斜率之和為定值. 證明：設(shè)直線AC：A1xB1yC10， (其中A1、B1不全為0) 直線BD：A2xB2yC20， (其中A2、B2不全為0) 所以，AC與BD兩條直線方程為：(A1xB1yC1) (A2xB2yC2)0 且kACkBD - A1 B1 - A2 B2 = - A1B2+A2B1 B1B2 由題意易求得橢圓C的方程為：x23y221 . 因為OEEF，所以直線AB與CD的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線AB： ykx 則直線CD： y-k( x -1) 所以，AB與CD兩條直線方程為：(y-kx) (yk x - k)0構(gòu)造過點A、C、B、D的二次曲線系方程為： (y-kx) (yk x - k)l (x23y22-1)=0, (lR). 因為方程所表示的曲線也過點A、C、B、D，所以存在l0R使二次曲線也可表示為： (y-kx) (yk x - k)l0 (x23y22-1)=0, 因為方程與都表示AC與BD兩條直線所以，比較方程與中的 xy項的系數(shù)，得A1B2+A2B10 所以，kACkBD - A1 B1 - A2 B2 = - A1B2+A2B1 B1B20為定值. 評注：本題運用模型一：二次方程(A1xB1yC1) (A2xB2yC2)0統(tǒng)一表示兩條直線AC：A1xB1yC10與直線BD：A2xB2yC20;模型二：過點A、C、B、D的二次曲線系方程為： (y-kx) (yk x - k)l (x23y22-1)=0