2015年高考全國卷1理科數(shù)學(xué)(解析版).doc

注意事項(xiàng) 1 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷1至3頁 第 卷3至5頁 2 答題前 考生務(wù)必將自己的姓名 準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置 3 全部答案在答題卡上完成 答在本試題上無效 4 考試結(jié)束后 將本試題和答題卡一并交回 第 卷 一 選擇題 本大題共12小題 每小題5分 在每小題給出的四個選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足 i 則 z A 1 B C D 2 答案 A 考點(diǎn) 1 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2 復(fù)數(shù)的模 2 sin20 cos10 con160 sin10 A B C D 答案 D 解析 試題分析 原式 sin20 cos10 cos20 sin10 sin30 故選D 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式 兩角和與差的正余弦公式 3 設(shè)命題P nN 則P為 A nN B nN C nN D nN 答案 C 解析 試題分析 故選C 考點(diǎn) 特稱命題的否定 4 投籃測試中 每人投3次 至少投中2次才能通過測試 已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0 6 且各次投籃是否投中相互獨(dú)立 則該同學(xué)通過測試的概率為 A 0 648 B 0 432 C 0 36 D 0 312 答案 A 解析 試題分析 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得 該同學(xué)通過測試的概率為 0 648 故選A 考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 互斥事件和概率公式 5 已知M x0 y0 是雙曲線C 上的一點(diǎn) F1 F2是C上的兩個焦點(diǎn) 若 0 則y0的取值范圍是 A B C D 答案 A 考點(diǎn) 向量數(shù)量積 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 6 九章算術(shù) 是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 書中有如下問題 今有委米依垣內(nèi)角 下周八尺 高五尺 問 積及為米幾何 其意思為 在屋內(nèi)墻角處堆放米 如圖 米堆為一個圓錐的四分之一 米堆為一個圓錐的四分之一 米堆底部的弧度為8尺 米堆的高為5尺 問米堆的體積和堆放的米各為多少 已知1斛米的體積約為1 62立方尺 圓周率約為3 估算出堆放斛的米約有 A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛 答案 B 考點(diǎn) 圓錐的體積公式 7 設(shè)D為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn) 則 A B C D 答案 A 解析 試題分析 由題知 故選A 考點(diǎn) 平面向量運(yùn)算 8 函數(shù) 的部分圖像如圖所示 則的單調(diào)遞減區(qū)間為 A k 14 k 34 k z b 2k 14 2k 34 k z C k 14 k 34 k z D 2k 14 2k 34 k z 答案 D 解析 試題分析 由五點(diǎn)作圖知 解得 所以 令 解得 故單調(diào)減區(qū)間為 故選D 考點(diǎn) 三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 9 執(zhí)行右面的程序框圖 如果輸入的t 0 01 則輸出的n A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 解析 試題分析 執(zhí)行第1次 t 0 01 S 1 n 0 m 0 5 S S m 0 5 0 25 n 1 S 0 5 t 0 01 是 循環(huán) 執(zhí)行第2次 S S m 0 25 0 125 n 2 S 0 25 t 0 01 是 循環(huán) 執(zhí)行第3次 S S m 0 125 0 0625 n 3 S 0 125 t 0 01 是 循環(huán) 執(zhí)行第4次 S S m 0 0625 0 03125 n 4 S 0 0625 t 0 01 是 循環(huán) 執(zhí)行第5次 S S m 0 03125 0 015625 n 5 S 0 03125 t 0 01 是 循環(huán) 執(zhí)行第6次 S S m 0 015625 0 0078125 n 6 S 0 015625 t 0 01 是 循環(huán) 執(zhí)行第7次 S S m 0 0078125 0 00390625 n 7 S 0 0078125 t 0 01 否 輸出n 7 故選C 考點(diǎn) 程序框圖 10 的展開式中 的系數(shù)為 A 10 B 20 C 30 D 60 答案 C 解析 試題分析 在的5個因式中 2個取因式中剩余的3個因式中1個取 其余因式取y 故的系數(shù)為 30 故選 C 考點(diǎn) 排列組合 二項(xiàng)式定理 11 圓柱被一個平面截去一部分后與半球 半徑為r 組成一個幾何體 該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示 若該幾何體的表面積為16 20 則r A 1 B 2 C 4 D 8 答案 B 考點(diǎn) 簡單幾何體的三視圖 球的表面積公式 圓柱的測面積公式 12 設(shè)函數(shù) 其中a1 若存在唯一的整數(shù)x0 使得0 則的取值范圍是 A 32e 1 B 32e 34 C 32e 34 D 32e 1 答案 D 解析 試題分析 設(shè) 由題知存在唯一的整數(shù) 使得在直線的下方 因?yàn)?所以當(dāng)時 0 當(dāng)時 0 所以當(dāng)時 當(dāng)時 1 直線恒過 1 0 斜率且 故 且 解得 1 故選D 考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分 第 13 題 第 21 題為必考題 每個試題考生都必須作答 第 22 題 第 24 題未選考題 考生根據(jù)要求作答 二 填空題 本大題共3小題 每小題5分 13 若函數(shù)f x xln x 為偶函數(shù) 則a 答案 1 考點(diǎn) 函數(shù)的奇偶性 14 一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點(diǎn) 且圓心在x軸上 則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 答案 解析 試題分析 設(shè)圓心為 0 則半徑為 則 解得 故圓的方程為 考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 15 若x y滿足約束條件 則的最大值為 答案 3 解析 試題分析 作出可行域如圖中陰影部分所示 由斜率的意義知 是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率 由圖可知 點(diǎn)A 1 3 與原點(diǎn)連線的斜率最大 故的最大值為3 考點(diǎn) 線性規(guī)劃解法 16 在平面四邊形ABCD中 A B C 75 BC 2 則AB的取值范圍是 答案 解析 試題分析 如圖所示 延長BA CD交于E 平移AD 當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時 AB最長 在 BCE中 B C 75 E 30 BC 2 由正弦定理可得 即 解得 平移AD 當(dāng)D與C重合時 AB最短 此時與AB交于F 在 BCF中 B BFC 75 FCB 30 由正弦定理知 即 解得BF 所以AB的取值范圍為 考點(diǎn) 正余弦定理 數(shù)形結(jié)合思想 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 本小題滿分12分 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和 已知 0 求 的通項(xiàng)公式 設(shè)bn 1anan 1 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和 答案 解析 試題分析 先用數(shù)列第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列 的遞推公式 可以判斷數(shù)列 是等差數(shù)列 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列 的通項(xiàng)公式 根據(jù) 數(shù)列 的通項(xiàng)公式 再用拆項(xiàng)消去法求其前n項(xiàng)和 試題解析 當(dāng)時 因?yàn)?所以 3 當(dāng)時 即 因?yàn)?所以 2 所以數(shù)列 是首項(xiàng)為3 公差為2的等差數(shù)列 所以 由 知 所以數(shù)列 前n項(xiàng)和為 考點(diǎn) 數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系 等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式 拆項(xiàng)消去法 18 如圖 四邊形ABCD為菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn) BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 證明 平面AEC 平面AFC 2 求直線AE與直線CF所成角的余弦值 答案 見解析 EG FG AC FG G EG 平面AFC EG面AEC 平面AFC 平面AEC 6分 如圖 以G為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以的方向?yàn)檩S y軸正方向 為單位長度 建立空間直角坐標(biāo)系G xyz 由 可得A 0 0 E 1 0 F 1 0 C 0 0 1 1 10分 故 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為 12分 考點(diǎn) 空間垂直判定與性質(zhì) 異面直線所成角的計(jì)算 空間想象能力 推理論證能力 19 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi) 需了解年宣傳費(fèi)x 單位 千元 對年銷售量y 單位 t 和年利潤z 單位 千元 的影響 對近8年的年宣傳費(fèi)x1和年銷售量y1 i 1 2 8 數(shù)據(jù)作了初步處理 得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值 46 6 56 3 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中w1 1 根據(jù)散點(diǎn)圖判斷 y a bx與y c d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型 給出判斷即可 不必說明理由 根據(jù) 的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù) 建立y關(guān)于x的回歸方程 已知這種產(chǎn)品的年利率z與x y的關(guān)系為z 0 2y x 根據(jù) 的結(jié)果回答下列問題 i 年宣傳費(fèi)x 49時 年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少 ii 年宣傳費(fèi)x為何值時 年利率的預(yù)報(bào)值最大 附 對于一組數(shù)據(jù) 其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 答案 適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類型 46 24 關(guān)于的回歸方程為 6分 考點(diǎn) 非線性擬合 線性回歸方程求法 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測 應(yīng)用意識 20 本小題滿分12分 在直角坐標(biāo)系xoy中 曲線C y 與直線 0 交與M N兩點(diǎn) 當(dāng)k 0時 分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程 y軸上是否存在點(diǎn)P 使得當(dāng)k變動時 總有 OPM OPN 說明理由 答案 或 存在 解析 試題分析 先求出M N的坐標(biāo) 再利用導(dǎo)數(shù)求出M N 先作出判定 再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程 設(shè)出M N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo) 利用設(shè)而不求思想 將直線PM PN的斜率之和用表示出來 利用直線PM PN的斜率為0 即可求出關(guān)系 從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo) 試題解析 由題設(shè)可得 或 故在 處的到數(shù)值為 C在處的切線方程為 即 故在 處的到數(shù)值為 C在處的切線方程為 即 故所求切線方程為或 5分 存在符合題意的點(diǎn) 證明如下 設(shè)P 0 b 為復(fù)合題意得點(diǎn) 直線PM PN的斜率分別為 將代入C得方程整理得 當(dāng)時 有 0 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ) 故 OPM OPN 所以符合題意 12分 考點(diǎn) 拋物線的切線 直線與拋物線位置關(guān)系 探索新問題 運(yùn)算求解能力 21 本小題滿分12分 已知函數(shù)f x 當(dāng)a為何值時 x軸為曲線 的切線 用 表示m n中的最小值 設(shè)函數(shù) 討論h x 零點(diǎn)的個數(shù) 答案 當(dāng)或時 由一個零點(diǎn) 當(dāng)或時 有兩個零點(diǎn) 當(dāng)時 有三個零點(diǎn) 解析 試題分析 先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組 解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對應(yīng)的值 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個數(shù) 若零點(diǎn)不容易求解 則對再分類討論 試題解析 設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn) 則 即 解得 因此 當(dāng)時 軸是曲線的切線 5分 當(dāng)時 從而 在 1 無零點(diǎn) 當(dāng) 1時 若 則 故 1是的零點(diǎn) 若 則 故 1不是的零點(diǎn) 當(dāng)時 所以只需考慮在 0 1 的零點(diǎn)個數(shù) 若或 則在 0 1 無零點(diǎn) 故在 0 1 單調(diào) 而 所以當(dāng)時 在 0 1 有一個零點(diǎn) 當(dāng)0時 在 0 1 無零點(diǎn) 若 則在 0 單調(diào)遞減 在 1 單調(diào)遞增 故當(dāng) 時 取的最小值 最小值為 若 0 即 0 在 0 1 無零點(diǎn) 若 0 即 則在 0 1 有唯一零點(diǎn) 若 0 即 由于 所以當(dāng)時 在 0 1 有兩個零點(diǎn) 當(dāng)時 在 0 1 有一個零點(diǎn) 10分 綜上 當(dāng)或時 由一個零點(diǎn) 當(dāng)或時 有兩個零點(diǎn) 當(dāng)時 有三個零點(diǎn) 12分 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線 對新概念的理解 分段函數(shù)的零點(diǎn) 分類整合思想 請考生在 22 23 24 三題中任選一題作答 注意 只能做所選定的題目 如果多做 則按所做第一個題目計(jì)分 做答時 請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑 22 本題滿分10分 選修4 1 幾何證明選講 如圖 AB是O的直徑 AC是O的切線 BC交O于E I 若D為AC的中點(diǎn) 證明 DE是O的切線 若 求 ACB的大小 答案 見解析 60 考點(diǎn) 圓的切線判定與性質(zhì) 圓周角定理 直角三角形射影定理 23 本小題滿分10分 選修4 4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中 直線 2 圓 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 I 求 的極坐標(biāo)方程 II 若直線的極坐標(biāo)方程為 設(shè)與的交點(diǎn)為 求的面積 答案 解析 試題分析 用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化公式即可求得 的極坐標(biāo)方程 將將代入即可求出 MN 利用三角形面積公式即可求出的面積 試題解析 因?yàn)?的極坐標(biāo)方程為 的極坐標(biāo)方程為 5分 將代入 得 解得 MN 因