數(shù)學(xué)建模地磚鋪設(shè).doc

論文題目：地板鋪設(shè)模型摘要：人們?yōu)榱吮M量美化自己的住所，絞盡腦汁的想出了許多鋪設(shè)地板的方案，而鋪設(shè)地板也是數(shù)學(xué)建模中經(jīng)典的案例。數(shù)學(xué)建模的核心問題是如何鋪設(shè)使住戶所承擔(dān)的費用最小且美化程度最高。本文對地板鋪設(shè)成本問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并設(shè)計計算求最優(yōu)解。對于問題一，將問題定義為線性規(guī)劃模型。將題目中所給的布局劃分為矩形，考慮每個矩形的成本，進(jìn)行疊加，求取總成本。列出總成本最低的目標(biāo)函數(shù)以及其約束條件。對于問題二，運用攤還分析思想解答，根據(jù)地板磚的性價比順序和所剩條形的長度，先鋪設(shè)完整地板，然后所剩區(qū)域再用300300規(guī)格的地板磚切割。優(yōu)先使用廢料，然后所剩區(qū)域用300300規(guī)格的和廢料進(jìn)行切割、填報。結(jié)合建模所求得的數(shù)據(jù)，并考慮到實際的情況，對地板鋪設(shè)提出了一下意見。關(guān)鍵詞： 線性規(guī)劃 攤還分析 美化程度1、 問題概述： 隨著居民生活水平的提高，房屋裝潢已是入住新居和裝修房屋的必須環(huán)節(jié)。而對裝潢材料的正確地選材與購買時為房主節(jié)約花費與減少浪費的重要手段。假設(shè)每塊地板只能沿平行于邊長的方向進(jìn)行切割，且最多只切割一次，切割費用與切割長度成正比。1、綜合考慮影響地板鋪設(shè)成本的因素，建立計算地板鋪設(shè)總成本。2、當(dāng)使用一種尺寸的地板進(jìn)行鋪設(shè)，設(shè)計一種算法進(jìn)行地板磚的自動鋪設(shè)，并計算鋪設(shè)地板的塊數(shù)，利用率和總費用，比較分析哪種尺寸的地板鋪設(shè)成本最低。3、使用多種尺寸的地板進(jìn)行混合鋪設(shè)，又如何實現(xiàn)地板的自動鋪設(shè)各種尺寸的地板，利用率和總費用。4、根據(jù)所建模型、算法和計算結(jié)果，為地板鋪設(shè)提出些許意見建議。二、問題分析： 1、對問題的分析問題一要求建設(shè)地板鋪設(shè)總成本的模型，以鋪設(shè)成本為函數(shù)，以尋求該函數(shù)的最小值為目標(biāo)，以房間面積為約束條件，且決定變量取整數(shù)，符合線性規(guī)劃的定義。2、對問題二的分析： 當(dāng)用多種地板磚進(jìn)行鋪設(shè)，選擇分析各種規(guī)格的性價比，選出單位面積價格最低的地板進(jìn)行優(yōu)化整塊鋪設(shè)。然后根據(jù)性價比由高及低進(jìn)行整塊填充，以此同時還要考慮切下廢料的整塊鋪設(shè)，最后剩余部分，考慮切割廢料和300300的成本，來進(jìn)行填充，然后進(jìn)行總費用、總塊數(shù)、利用率以及美觀程度的計算，得出最優(yōu)解。三、模型的基本假設(shè) 1、每塊地板只能沿平行于邊的方向切割，最多只能切割一次，且切割費用與切割長度成正比。2、地板切割切割成本考慮地板的單價、切割成本、忽略其他因素的影響。3、鋪設(shè)地板時部考慮家具等限制，僅考慮墻面限制，進(jìn)行地面全面鋪設(shè)。4、切割之后破損的地板不能重新利用。5、地板磚是鋪設(shè)沒有間隙，使相鄰地板之間嚴(yán)格無縫對接。符號說明：5I:房間標(biāo)號J:地板規(guī)格標(biāo)號F:總費用Fi:第i個費用mij :i區(qū)所用j種完整地板的塊數(shù)Nig:i區(qū)所用j種非完整地板的塊數(shù)Vj:j規(guī)格地板單價Vj:j種規(guī)格被切后的單價Aj:j地板長度Bj:j地板寬度Aj:j種地板被切后長度Bj:j種地板被切后長度Si:i區(qū)面積Ci:I區(qū)長Di:I區(qū)寬Ni:I區(qū)域所用地板總磚塊4 模型的建立與求解 問題一的解決 對于問題一的總成本模型的建立，考慮到所給平面布局，有很多規(guī)則的房間，為建立一個總成本模型。將不規(guī)則房間劃為N區(qū)域，對每個區(qū)域分析、建模，求出總成本模型。 （見圖一）將整個平面區(qū)域劃分為13個區(qū)域，然后利用線性規(guī)劃知識對模型進(jìn)行建立： 以上為建立的總費用模型，值得注意對單獨區(qū)域進(jìn)行矩形劃分，劃分界限兩邊盡量保證都為未切割的地板，保證美化效果。問題二的解決 對于問題二，用多種地板進(jìn)行鋪設(shè)，首先將房間分為13個區(qū)，運用攤還分析和二維下料的方法針對每一區(qū)進(jìn)行鋪設(shè)。對其總費用、利用率、總塊數(shù)以及美化程度進(jìn)行計算。目標(biāo)函數(shù)：具體分析： 1.求出每種地板單位面積的價錢，的性價比最高的地板，即主鋪地板。地板規(guī)格mm*mm800*800600*600600*300400*400300*300性價比（元/mm)281.25361.11444.40450.00500.00 對于圖二所示區(qū)域盡量不切，盡量選性價比高的原則，按600*600,600*300,400*400,300*300進(jìn)行填補,剩余區(qū)域如圖三所示。 圖三所示區(qū)域中最窄邊一定小于300mm，繼續(xù)切割填補，根據(jù)所剩條狀面積尺寸，先600*300或300*300的地板沿邊長為600或300進(jìn)行切割鋪設(shè)，如圖四。按800*800和300*300分別鋪設(shè)，有兩邊不鋪滿的情況下，如圖五。當(dāng)剩余部分邊長小于300mm的矩形，用300*300切割填補。對廢料收集分類，提高廢料利用率，確定最小支出的方案。利用率：通過查詢資料及數(shù)學(xué)軟件求解：地板規(guī)格（mm*mm)整塊（塊）被切割數(shù)（塊）800*8001700600*600210600*3004646400*40041300*300225總費用42193.16利用率0.9819美化程度0.93五、解決問題1.鋪設(shè)地板時應(yīng)盡量選擇性價比高的地板鋪設(shè)。2.地板利用率與美化程度難以趨近于完美，可在保證美化程度的前提下，提高利用率。3.在實際中，應(yīng)參考市場價格進(jìn)行合理的規(guī)劃，還有提高廢料的利用率及再利用率，以達(dá)到支出總費用最小。參考文獻(xiàn)【1】姜啟源.數(shù)學(xué)建?！綧】