精算師考試金融數(shù)學(xué)課本知識(shí)精粹.doc

第一篇：利息理論第一章：利息的基本概念第二章 年金3、零頭付款問(wèn)題：（1）上浮式（2）常規(guī)（3）扣減式4：變利率年金（1）各付款期間段的利率不同 （2）各付款所依據(jù)的利率不同5、付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金（1）付款頻率低于計(jì)息頻率的年金（2）付款頻率高于計(jì)息頻率的年金（3）連續(xù)年金（注意：與永續(xù)年金的區(qū)別）6、基本年金變化（1）各年付款額為等差數(shù)列（2）各年付款額為等比數(shù)列7、更一般變化的年金：（1）在的基礎(chǔ)上，付款頻率小于計(jì)息頻率的形式（2）在的基礎(chǔ)上，付款頻率大于計(jì)息頻率的形式（3）連續(xù)變化年金：有n 個(gè)計(jì)息期，利率為i，在t 時(shí)刻付款率為t,其現(xiàn)值為：有n 個(gè)計(jì)息期，利率為i，在t 時(shí)刻付款率為 ,其現(xiàn)值為第三章 收益率1、收益率（內(nèi)部收益率） 由可求出2、收益率的唯一性：（1）若在0n期間內(nèi)存在一時(shí)刻t，t之后的期間里現(xiàn)金流向是一致的，t之前的期內(nèi)的現(xiàn)金流向也一致，并且這兩個(gè)流向方向相反，則收益率唯一。（2）若在0n-1內(nèi)各發(fā)生現(xiàn)金流的時(shí)刻，投資（包括支出及回收，總稱投資）的積累額大于0，則該現(xiàn)金流唯一。3、再投資收益率：（1）情形一：在時(shí)刻0投資1單位，t時(shí)刻的積累值: （2）情形二：在標(biāo)準(zhǔn)金中, t時(shí)刻的積累值：4、基金收益率：A：期初基金的資本量 B：期末基金的本息和I：投資期內(nèi)基金所得收入 ：t時(shí)刻的現(xiàn)金流（）C：在此期間的現(xiàn)金流之和，（1）（2）（現(xiàn)金流在0-1期間內(nèi)均勻分布）（3）（其中）注意：上述求收益率的方法也叫投資額加權(quán)收益率5、時(shí)間加權(quán)收益率6、投資組合法：計(jì)算出一個(gè)基于整個(gè)基金所得的平均收益率，然后根據(jù)每個(gè)資金賬戶所占比列與投資時(shí)間長(zhǎng)度分配基金收益 投資年法：按最初投資時(shí)間和投資所持續(xù)的時(shí)間，以及與各時(shí)間相聯(lián)系的利率，積累值為：（m為投資年法的年數(shù)，即若投資時(shí)間未滿m年，利用投資年法計(jì)算收益；若超過(guò)部分按投資組合法計(jì)算收益率。在y年投資第t年收益率記為）7、股息貼現(xiàn)模型（1）每期末支付股息，假定該股票的收益率為r,則它的理論價(jià)格為：（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增長(zhǎng)，假定該股票的收益率為r,-1g1，d1。與此相對(duì)，股票看漲期權(quán)的初始價(jià)值為c，在下一期（歐式期權(quán)的到期日）伴隨著股票價(jià)格的上漲或下跌，該期權(quán)合約的價(jià)格也有兩種可能，即要么上升至cu，要么下降至cd，作圖。二叉樹、節(jié)點(diǎn)、路徑例8-1 設(shè)股票的現(xiàn)價(jià)(S)為$100,3月看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格(K)為$110。在U=1.3和d=0.9情況下，期權(quán)價(jià)值？解：資產(chǎn)目前成本與未來(lái)價(jià)值$130 -$20=$90 (風(fēng)險(xiǎn)中性假定）=0.5股票上漲：VT= $130 0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90x0.5=$45根據(jù)有效市場(chǎng)的假設(shè)，在不冒風(fēng)險(xiǎn)的情況下，人們?cè)诮鹑谑袌?chǎng)上只能賺得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。換言之，資產(chǎn)組合在當(dāng)前的價(jià)值，是其在到期日的價(jià)值($45)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值。假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，而且按連續(xù)復(fù)利進(jìn)行貼現(xiàn)，那么：V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.112、N期模型的通用公式3、Black-Scholes模型4、希臘字母及其意義：（1）、為衍生品德價(jià)格 意義：度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)對(duì)衍生品價(jià)格的影響，因此是對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格敏感性的度量。（基礎(chǔ)資產(chǎn)本身的=1）可以通過(guò)資產(chǎn)組合達(dá)到中立狀態(tài)，即=0.（2） 意義：度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變化對(duì)影響，即度量了衍生品價(jià)格與基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格之間的凹凸性。若某個(gè)時(shí)刻基礎(chǔ)資產(chǎn)處于=0，當(dāng)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生變化時(shí)資產(chǎn)組合新的加權(quán)可能不為0. 如果0，則資產(chǎn)價(jià)格的上升將使得資產(chǎn)組合的0：風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)6、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：7、兩風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合8、一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合收益率投資組合期望收益率：投資組合標(biāo)準(zhǔn)差：9、風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率（Sharpe比率）10、最優(yōu)資產(chǎn)組合的求解投資在市場(chǎng)組合M上的比列：考慮兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A、B則該風(fēng)險(xiǎn)組合的預(yù)期收益和方差分別為：此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率：而第十一章 CAPM和、 風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格：、 期望貝塔關(guān)系：、 對(duì)任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合、其斜率為市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、 的另一種常用形式：、 資產(chǎn)估值：、在業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估中的應(yīng)用（）：指數(shù)：（越大越好）（）指數(shù)：（越大越好）（）指數(shù)：（越高越好）、套利定價(jià)模型（）（）單因素模型：資產(chǎn)組合收益率：（）雙因素模型：、套利組合：習(xí)題部分資產(chǎn)組合理論：1、假如有A和B兩種股票，它們的收益是相互獨(dú)立的。股票A的收益為15%的概率是40%，而收益為10%的概率是60%，股票B的收益為35%的概率是50%，而收益為-5%的概率也是50%。（1）這兩種股票的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？它們的收益之間的協(xié)方差是多少？（2）如果50%的資金投資于股票A，而50%的資金投資于股票B，問(wèn)該投資組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？答案：（1）股票A的期望收益股票A的標(biāo)準(zhǔn)差。股票B的期望收益股票B的標(biāo)準(zhǔn)差因?yàn)楣善盇和股票B的收益是相互獨(dú)立的，所以它們收益之間的協(xié)方差為0。（2）該投資組合的期望收益標(biāo)準(zhǔn)差2、假設(shè)有兩種基金：股票基金A，債券基金B(yǎng)，基金收益率之間相關(guān)系數(shù)為0.05，概率分布如下：A：期望收益 10% 標(biāo)準(zhǔn)差 20% B：期望收益 5% 標(biāo)準(zhǔn)差 10% 計(jì)算：（1）基金的最小方差組合中每種基金的投資比例各是多少？ （2）最小方差組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差是多少？答案：（1）設(shè)組合中A基金投資比例為X，那么B基金投資比例為1-X。組合的方差是關(guān)于X的一元二次方程，其最小的條件是關(guān)于X的導(dǎo)數(shù)為0。對(duì)X求導(dǎo)，并使其等于0，得：，解得：X=0.1875,1-X=0.8125所以最小方差組合中A基金的投資比例為0.1875，B基金的投資比例為0.8125。（2）最新方差組合的期望收益標(biāo)準(zhǔn)差 CAPM：3、假設(shè)國(guó)庫(kù)券利率是4%，市場(chǎng)組合的期望收益率是12%，根據(jù)CAPM：（1）畫圖說(shuō)明期望收益和之間的關(guān)系（2）市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是多少？（3）如果一個(gè)投資項(xiàng)目的為1.5，那么該投資的必要回報(bào)率是多少？（4）如果一個(gè)為0.8的投資項(xiàng)目可以獲得9.8%的期望收益率，那么是否應(yīng)該投資該項(xiàng)目？（5）如果市場(chǎng)預(yù)期一只股票的期望收益率為11.2%，那么該股票的是多少？答案：（1）E(R)Beta4%E(R)=4%+（12%-4%）*Beta0（2）市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是：12%-4%=8%（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%（4）該項(xiàng)目必要回報(bào)率E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能獲得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不應(yīng)該投資該項(xiàng)目。（5）11.2%=4%+（12%-4%）*，解得：=0.9。4、假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為6%，市場(chǎng)組合的預(yù)期收益率為10%，某資產(chǎn)組合的系數(shù)等于1.2。根據(jù)CAPM計(jì)算：(1)該資產(chǎn)組合的預(yù)期收益率等于多少？(2)假設(shè)某股票現(xiàn)價(jià)為20元，其=0.8，預(yù)期該股票1年后股價(jià)為23元，期間未分配任何現(xiàn)金股利。請(qǐng)問(wèn)投資者應(yīng)該看多還是應(yīng)該看空該股票？答案：（1）該資產(chǎn)組合的預(yù)期收益率E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%(2)該股票的期望收益率為E(R)= 6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率將一年后股價(jià)貼現(xiàn)到現(xiàn)在得到現(xiàn)在股票的價(jià)值:23/(1+9.2%)=21.06。而該股票的現(xiàn)價(jià)2021.06，說(shuō)明該股票被低估了，所以投資者應(yīng)該看多該股票。APT：5、考慮一個(gè)單因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分別為15%和18%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是6%，股票B的為1.0。如果不存在套利機(jī)會(huì)，股票A的應(yīng)該是多少？答案：根據(jù)APT，對(duì)于股票B：18%=6%+1.0F，解得：F=12%對(duì)于股票A：15%=6%+F=6%+12%，解得：=0.75。6、考慮一個(gè)多因素APT模型，股票A的期望收益率是17.6%，關(guān)于因素1的是1.45，關(guān)于因素2的是0.86。因素1的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是3.2%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5%，如果不存在套利機(jī)會(huì)，那么因素2的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是多少？答案：根據(jù)APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%因此，因素2的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是9.26%。7、考慮一個(gè)多因素APT模型，假設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的經(jīng)濟(jì)因素F1和F2，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是6%，兩個(gè)充分分散化了的組合的信息如下：組合對(duì)應(yīng)因素1的對(duì)應(yīng)因素2的期望收益A1.0 2.0 19%B2.0 0.0 12%如果不存在套利機(jī)會(huì)，那么因素1和因素2的的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)分別是多少？答案：設(shè)因素1和因素2的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)分別為R1和R2，根據(jù)APT，有：對(duì)于組合A：19%=6%+1.0R1+2.0R2對(duì)于組合B：12%=6%+2.0R1聯(lián)立以上兩個(gè)等式，解得：R1=3%，R2=5%因此，因素1和因素2的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)分別為3%和5%。8、已知股票A和股票B分別滿足下列單因素模型：（1） 分別求出兩個(gè)股票的標(biāo)準(zhǔn)差及他們之間的協(xié)方差。（2） 用股票A和B組成一個(gè)資產(chǎn)組合，兩者所占比重分別為0.4和0.6，求該組合的非系統(tǒng)性標(biāo)準(zhǔn)差。答案：（1）股票A的標(biāo)準(zhǔn)差 股票A的標(biāo)準(zhǔn)差股票A和股票B的協(xié)方差（2）組合的收益率組合的非系統(tǒng)性標(biāo)準(zhǔn)差9、假設(shè)每種證券的收益可以寫成如下兩因素模型：，其中：表示第i種證券在時(shí)間t的收益，和表示市場(chǎng)因素，其數(shù)學(xué)期望等于0，協(xié)方差等于0。此外，資本市場(chǎng)上有2種證券，每種證券的特征如下：證券E（Rit)i1i2110%10.5210%1.50.75（1） 建立一個(gè)包括證券1和證券2的投資組合，但是其收益與市場(chǎng)因素?zé)o關(guān)。計(jì)算該投資組合的期望收益和貝塔系數(shù)2。（2） 設(shè)有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益等于5%，1