高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)Ⅰ2.3冪函數(shù)知識(shí)導(dǎo)學(xué)案.docx

2.3 冪函數(shù)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 我們只討論冪指數(shù)為有理數(shù)時(shí)的簡(jiǎn)單的冪函數(shù).雖然y=x、y=x2是冪函數(shù),但并不是所有的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù),如:y=x+1、y=2x2+1都不是冪函數(shù),它們并不滿(mǎn)足冪函數(shù)的定義,但它們是與冪函數(shù)相關(guān)聯(lián)的函數(shù),是由冪函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)算術(shù)運(yùn)算得到的.對(duì)于冪函數(shù)的定義域和值域是由它的冪指數(shù)來(lái)確定的,冪指數(shù)不同,定義域和值域也不同. 研究?jī)绾瘮?shù)的圖象與性質(zhì)可通過(guò)對(duì)典型的冪函數(shù)y=x2、y=x3及y=的圖象研究歸納y=xn(n0)的圖象特征和函數(shù)性質(zhì),通過(guò)對(duì)冪函數(shù)y=x-2、y=x-3及y=的圖象研究歸納y=xn(n0),首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性,由此確定圖象的位置,即所在象限,其次確定曲線的類(lèi)型,即n0,0n1三種情況下曲線的基本形狀,還要注意n=0,1三個(gè)曲線的形狀;對(duì)于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來(lái)記憶“正拋物負(fù)雙曲,大豎直小橫鋪”,即n0(n1)時(shí)圖象是拋物線型;n1時(shí)圖象是豎直拋物線型;0n1,且p、q互質(zhì))時(shí),若q為偶數(shù),則定義域?yàn)?,+);若q為奇數(shù),則定義域?yàn)镽;當(dāng)n=- (p、qN*,q1,且p、q互質(zhì))時(shí),若q為偶數(shù),則定義域?yàn)?0,+);若q為奇數(shù),則定義域?yàn)閤|x0.問(wèn)題導(dǎo)思 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式只是形式不同,其意義是相同的,對(duì)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解可從以下兩個(gè)層次去認(rèn)識(shí). (1)給定正實(shí)數(shù)a,等于任意給定的正整數(shù)n,存在唯一的正實(shí)數(shù)b,使得bn=a.這樣,我們把這個(gè)存在唯一的正實(shí)數(shù)b,記作b=;(2)給定正實(shí)數(shù)a,對(duì)于任意給定的正整數(shù)n、m,存在唯一的正實(shí)數(shù)b,使得bn=am,我們規(guī)定b叫做a的次冪,記作b=.對(duì)于負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,可按a-n=去理解.典題導(dǎo)考黑色陷阱 忘記冪函數(shù)底數(shù)需大于0,將導(dǎo)致解題失誤.典題變式當(dāng)x(1,+)時(shí),函數(shù)y=x的圖象恒在直線y=x的下方,則的取值范圍是( )A.1 B.00 D.0答案:A綠色通道 解此題的關(guān)鍵都在于適當(dāng)?shù)剡x取某一個(gè)函數(shù),函數(shù)選得恰當(dāng),解決問(wèn)題就簡(jiǎn)單.典題變式T1=(,T2=(,T3=(,則下列關(guān)系式正確的是( )A.T1T2T3 B.T3T1T2C.T2T3T1 D.T2T11,若q為奇數(shù),p也是奇數(shù),則圖象分布在第一和第三象限;若q為奇數(shù),p為偶數(shù),則圖象分布在第一和第二象限;若q為偶數(shù),p是奇數(shù),則圖象分布在第一象限.(4)當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時(shí),圖象分布在第一和第三象限;當(dāng)為負(fù)偶數(shù)時(shí),圖象分布在第一和第二象限;(5)當(dāng)為負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí),類(lèi)似于(3)可設(shè)=-p、q為正整數(shù),(p,q)=1,q1,情況和(3)一樣.冪指數(shù)0時(shí),圖象全是“拋物線型”,而冪指數(shù)0時(shí),圖象全是“雙曲線型”.典題變式當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x2,g(x)= ,h(x)=x-2的大小關(guān)系為( )A.h(x)g(x)f(x) B.h(x)f(x)g(x)C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)g(x)h(x)答案:D黑色陷阱 本題容易發(fā)生的錯(cuò)誤:一是函數(shù)概念不清(該函數(shù)是以x為自變量的函數(shù));二是在將函數(shù)式變形的過(guò)程不是等價(jià)變形,導(dǎo)致變形后的函數(shù)也不再是原有的函數(shù)了.典題變式 (1)求函數(shù)y=(x+2)-2的定義域、值域.討論當(dāng)x增大時(shí),函數(shù)值如何變化？并畫(huà)出圖象;(2)問(wèn)上述函數(shù)的圖象與函數(shù)y=x-2的圖象有何關(guān)系？思路分析:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求解.答案:(1)x|xR且x-2;R+.當(dāng)x-2時(shí),y隨x的增大而減小.(2)將y=x-2的圖象向左平移2個(gè)單位,即得到y(tǒng)=(x+2)-2的圖象.綠色通道 據(jù)圖象特征或性質(zhì)求解冪函數(shù)解析式,需熟練掌握基本冪函數(shù)(y=x上標(biāo)2,y=x上標(biāo)1