新課標(biāo)解讀數(shù)與代數(shù).doc

;. 新課標(biāo)解讀之“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容分析與研討各位老師大家好！今天能夠作為小學(xué)暑期培訓(xùn)教師代表發(fā)言，我感到非常榮幸。我主要負(fù)責(zé)義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“數(shù)與代數(shù)”部分的解讀。下面我結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，與大家一起交流。也希望通過(guò)交流能夠引發(fā)大家更多的思考和共鳴。 我們都知道，數(shù)與代數(shù)部分是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占的比例是最大的，更重要的是這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)其他的學(xué)科的基礎(chǔ)，可以說(shuō)它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主線?！皵?shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有：數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運(yùn)算，數(shù)量的估計(jì)；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算；方程等。 通過(guò)研究分析這部分的內(nèi)容,可以使我們了解小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的本質(zhì)與發(fā)展，從整體上把握相關(guān)概念和數(shù)的發(fā)展脈絡(luò)，促使數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。下面我圍繞以下幾個(gè)問(wèn)題和大家交流一下：1、 小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)和舊課標(biāo)比較有何變化？2、 數(shù)與代數(shù)部分的核心概念。3、 如何建立“數(shù)”的概念？ 4、如何處理運(yùn)算教學(xué)中的算理與算法的關(guān)系？ 5、如何落實(shí)新課標(biāo)對(duì)估算的要求？ 6、 如何依托現(xiàn)實(shí)情境幫助學(xué)生體現(xiàn)和理解常見(jiàn)的量 問(wèn)題一：小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)和舊課標(biāo)比較有何變化？標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)與代數(shù)這部分內(nèi)容作了較大地改革： 1重視數(shù)與符號(hào)意義以及對(duì)數(shù)的感受，體會(huì)數(shù)字用來(lái)表示和交流的作用。通過(guò)探索豐富的問(wèn)題情景發(fā)展運(yùn)算的含義，在保持基本筆算訓(xùn)練的前提下，強(qiáng)調(diào)能夠根據(jù)題目條件尋求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑和運(yùn)算方法，加強(qiáng)估算，引進(jìn)計(jì)算器，鼓勵(lì)算法多樣化。 2對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題：選材強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)性、趣味性和可探索性；題材呈現(xiàn)形式多樣化（表格、圖形、漫畫、對(duì)話、文字等）；強(qiáng)調(diào)對(duì)信息材料的選擇與判斷（信息多余、信息不足）；解決的策略多樣化；問(wèn)題答案可以不唯一；淡化人為編制的應(yīng)用題類型及其解題分析。 3使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)學(xué)可以發(fā)現(xiàn)、描述、分析客觀世界中多種多樣的模式，把握事物的變化和事物間的關(guān)系；初步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，學(xué)會(huì)用符號(hào)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的一些基本關(guān)系，會(huì)初步進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算。 4體會(huì)方程和函數(shù)是刻劃現(xiàn)實(shí)世界，有效地表示、處理、交流和傳遞信息的強(qiáng)有力工具，是探究事物發(fā)展規(guī)律，預(yù)測(cè)事物發(fā)展的重要手段，重視對(duì)簡(jiǎn)單現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的建模過(guò)程，學(xué)會(huì)選擇有效的符號(hào)運(yùn)算程序和方法解決問(wèn)題，重視近似解法特別是圖象解法。我們來(lái)看每個(gè)學(xué)段都有哪些變化： 第一學(xué)段: 增加“能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（兩步）”增加了認(rèn)識(shí)小括號(hào)， 使一些目標(biāo)的表述更加準(zhǔn)確。例如將“能靈活運(yùn)用不同的方法解決生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，并能對(duì)結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷”，修改為“能運(yùn)用數(shù)及數(shù)的運(yùn)算解決生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，并能對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義作出解釋”。 第二學(xué)段： 增加的內(nèi)容： 增加“經(jīng)歷與他人交流各自算法的過(guò)程，并能表達(dá)自己的想法”。 增加“了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；了解公因數(shù)和最大公因數(shù)”。 增加“在具體情境中，了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)數(shù)量、路程=速度時(shí)間，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”。 增加“結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”。 調(diào)整的內(nèi)容： 將“理解等式的性質(zhì)”，改為“了解等式的性質(zhì)” 將“會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程(如3x+25，2x-x3)”，改為“能解簡(jiǎn)單的方程(如3x+25，2x-x3)”。 使一些目標(biāo)的表述更加準(zhǔn)確和完整。例如將“會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系”，改為“能用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用”。 問(wèn)題二：“數(shù)與代數(shù)部分的核心概念”解讀 此次標(biāo)準(zhǔn)提出了10個(gè)核心概念。這就是：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。把握好這些核心概念無(wú)論對(duì)于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為重要的。數(shù)與代數(shù)這一部分的重要核心概念包括：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。下面我主要把數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、推理能力、模型思想等四個(gè)核心概念與大家一起交流。 1、數(shù)感：數(shù)感就是對(duì)數(shù)的感悟。是關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)等方面的直觀感覺(jué)。建立“數(shù)感”有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情景中的數(shù)量關(guān)系。在以前的教學(xué)中，總感覺(jué)數(shù)感是直覺(jué)，是潛意識(shí)的，我們也感到數(shù)感作為課堂教學(xué)目標(biāo)不好把握，找不到它的教學(xué)支點(diǎn)。那么如何在教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生建立數(shù)感呢？下面我就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勎业囊恍┯^點(diǎn)： 數(shù)感的培養(yǎng)分成四個(gè)步驟： 體驗(yàn)生活,建立數(shù)感 在教學(xué)比的意義時(shí)。這節(jié)內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，其實(shí)要講透十分困難，這節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)就是讓學(xué)生體會(huì)比是一種數(shù)量關(guān)系。比如，甲數(shù)和乙數(shù)的比是3:2，那么甲是乙的幾分之幾？這類題目在畢業(yè)前總復(fù)習(xí)階段常有學(xué)生弄錯(cuò)。我覺(jué)得可能主要的原因就是在比的概念的形成過(guò)程中，沒(méi)有很完整地讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，為以后的學(xué)習(xí)埋下隱患。甲數(shù)與乙數(shù)的比為3：2，它可以表示至少兩種數(shù)量關(guān)系：甲數(shù)是乙數(shù)的3/2，乙數(shù)是甲數(shù)的2/3。老師們看似簡(jiǎn)單，其實(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是很容易混淆的。我們必須讓學(xué)生明白知識(shí)“從哪里來(lái)”“到那里去”，比從哪里來(lái)？其實(shí)，比就是從生活中來(lái)，我們必須讓學(xué)生充分體驗(yàn)生活中的比所表示的關(guān)系，才能讓學(xué)生真正理解知識(shí)，并應(yīng)用知識(shí)。比如剛才的例子換成（課件出示：3杯牛奶和2杯果汁）先讓學(xué)生用已有的分?jǐn)?shù)知識(shí)表示出牛奶與果汁的關(guān)系，再引入比來(lái)表示牛奶和果汁的關(guān)系，從而讓學(xué)生體會(huì)到比能簡(jiǎn)潔地表示出分?jǐn)?shù)所能表示的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)比的必要性。并能理解比所表示的這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，并很好地感悟比的意義，建立數(shù)感。當(dāng)學(xué)生建立數(shù)感后，遇到生活中的溶液配制問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，比如：米與水的比為：1:2，學(xué)生會(huì)想到水量是米量的2倍。從而在這些生活實(shí)例中體會(huì)了數(shù)的含義，初步建立了數(shù)感。 實(shí)踐操作,增強(qiáng)數(shù)感. 比如，教學(xué)“千克的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)可安排學(xué)生完成以下操作活動(dòng) A、讓學(xué)生把大米裝在塑料袋里，并稱出1千克的大米，讓學(xué)生掂一掂，初步感受1千克有多重。 B、學(xué)生分別掂一掂自帶的物品（如重500克的袋裝鹽、重250克的味精）比較，并體會(huì)不同重量物品的感覺(jué)差異。 C、發(fā)給每組三個(gè)重量不一裝有大米的塑料袋（內(nèi)有一袋重為1千克），讓學(xué)生分別掂一掂，找出重1千克的袋子，看誰(shuí)找得準(zhǔn)。 D、讓學(xué)生拿出若干的課本和練習(xí)本，先掂一掂，并能夠增減，估計(jì)一下是否有1千克，再用稱驗(yàn)證，然后推測(cè)出2千克、5千克一共有多少本。 在實(shí)踐操作中體會(huì)1克的物體能吹得動(dòng)，1千克的物體能掂得動(dòng)，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)感。 合作學(xué)習(xí)，交流數(shù)感 我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)從形象到表象，從表象到抽象，兩個(gè)過(guò)程。而這兩個(gè)過(guò)程，也是兩次提升，而在這個(gè)提升的過(guò)程中，合作交流起到了非常重要的作用。小組合作學(xué)習(xí)有利于學(xué)生人人參與學(xué)習(xí)全過(guò)程，它不僅能發(fā)掘個(gè)人內(nèi)在的潛能，還能培養(yǎng)集體合作精神，人人可以嘗試成功的喜悅。同學(xué)之間的語(yǔ)言最容易理解，數(shù)感也能得到進(jìn)一步加強(qiáng)。 比如在9加幾教學(xué)中， 在指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作體會(huì)“湊十法“后，這時(shí)學(xué)生的思維停留在具體形象的層面，這時(shí)學(xué)生更多是對(duì)活動(dòng)本身的喜歡，而不是對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，若你認(rèn)為活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累只停留這個(gè)層面，這樣的教學(xué)很容易流于熱鬧的形式，根本沒(méi)有深入到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。 動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦都是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的方式，只動(dòng)手是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們應(yīng)在這個(gè)環(huán)節(jié)及時(shí)組織學(xué)生回顧、交流操作過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)“在頭腦里擺學(xué)具”，獲得完整的操作過(guò)程的表象。并試著讓學(xué)生把理解的表象的過(guò)程通過(guò)表現(xiàn)出來(lái)，也就是留下我們思考的痕跡。接著，結(jié)合算式引導(dǎo)學(xué)生利用表象思考9+4可以怎樣算，從而使學(xué)生明白：為了先湊成十，就把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13，并在交流、對(duì)話中完成計(jì)算過(guò)程： 然后告訴學(xué)生：這種算法是將4分成1和3，先把9和1湊成10，再加剩下的3，這樣算就會(huì)很方便，這樣的方法就是“湊十法”。幫助學(xué)生根據(jù)動(dòng)作過(guò)程抽象并認(rèn)識(shí)“湊十法”。這樣，學(xué)生的數(shù)感在討論和觀察中得到了進(jìn)一步的發(fā)展。 解決問(wèn)題,提升數(shù)感. 當(dāng)學(xué)生把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中去,才能更好地掌握知識(shí),內(nèi)化知識(shí). 估算是解決問(wèn)題的一種重要方法，老師們應(yīng)該特別重視起來(lái)。比如學(xué)生在認(rèn)識(shí)10以內(nèi)數(shù)后，再認(rèn)識(shí)20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)時(shí)，可以對(duì)具體實(shí)物通過(guò)估一估、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)幫助學(xué)生形成對(duì)十、百等數(shù)量大小的感覺(jué)，如數(shù)100粒黃豆、100根小棒，估計(jì)教室里的學(xué)生人數(shù)，估計(jì)一堆水果的數(shù)量等。 我們還可以就同一個(gè)數(shù)在實(shí)際生活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量來(lái)加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。比如1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長(zhǎng)？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊(duì)形需要多大的場(chǎng)地？類似這樣的問(wèn)題可讓學(xué)生舉一反三。 總之,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過(guò)程是循序漸進(jìn)的.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感,可以使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)接觸社會(huì),體驗(yàn)現(xiàn)實(shí),表達(dá)自己對(duì)問(wèn)題的看法,用不同的方式思考和解決問(wèn)題,這無(wú)疑會(huì)有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng).隨著數(shù)感的建立,發(fā)展和強(qiáng)化,學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會(huì)有所提高. 2、符號(hào)意識(shí) 所謂符號(hào)就是針對(duì)具體事物對(duì)象而抽象概括出來(lái)的一種簡(jiǎn)略的記號(hào)或代號(hào)。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng)。此次標(biāo)準(zhǔn)修訂，將原來(lái)的“符號(hào)感”改為了“符號(hào)意識(shí)”。感覺(jué)是有被動(dòng)的意味，而意識(shí)是有主動(dòng)實(shí)踐意義的，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)主要的還不是潛意識(shí)、直覺(jué)或感覺(jué)，而是一種主動(dòng)的使用符號(hào)的心理傾向。所以用“意識(shí)”更準(zhǔn)確些。符號(hào)在數(shù)與代數(shù)部分中的應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn) 應(yīng)用舉例應(yīng)用拓展數(shù)與代數(shù) 數(shù)的表示阿拉伯?dāng)?shù)字：0-9中文數(shù)字：一-十 百分號(hào)：千分號(hào)： 用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算+、( ) （平方）（立方） 數(shù)的大小關(guān)系、”“3”和“3”“”“”表示兩數(shù)之間的關(guān)系。由此可見(jiàn)，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)需要堅(jiān)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，在教學(xué)中應(yīng)促進(jìn)學(xué)生在交流、分享的過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)符號(hào)化的多種途徑，允許個(gè)性化地表示符號(hào)；逐步體會(huì)用數(shù)、形將實(shí)際問(wèn)題“符號(hào)化”的優(yōu)越性，感受符號(hào)在理解和解決問(wèn)題過(guò)程中的價(jià)值。 3、推理能力 標(biāo)準(zhǔn)中的推理能力主要是指：合情推理與演繹推理。 合情推理主要是指歸納推理、類比推理。歸納推理是從特殊到一般，類比推理是從特殊到特殊。 演繹推理的思維進(jìn)程是從一般到特殊。比如：在學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)四則運(yùn)算后，在進(jìn)行小數(shù)加法時(shí)，以0.50.4為例，學(xué)生很容易想到根據(jù)整數(shù)加法54=9，得到0.50.4=0.9，實(shí)際這是一種類比的方式進(jìn)行合情推理，當(dāng)然我們還必須用演繹推理來(lái)驗(yàn)證。 孩子們想到的方法有：第一種方法是結(jié)合具體問(wèn)題情境，得到0.5元0.4元=5角4角=9角=0.9元； 第二種方法是根據(jù)之前學(xué)習(xí)的小數(shù)單位，得到0.5是5個(gè)0.1,0.4是4個(gè)0.1，所以它們的和是9個(gè)0.1，即0.9； 從某種意義上來(lái)說(shuō)，我們平時(shí)說(shuō)的演繹推理在計(jì)算教學(xué)中就是學(xué)生理解算理的過(guò)程。 因此，在推理的過(guò)程中，我們一般是按照下面步驟：?jiǎn)l(fā)學(xué)生由特殊到一般，通過(guò)合情推理推測(cè)出結(jié)論。 在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動(dòng)過(guò)程。而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要。標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)合情推理能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)提供了支撐。 怎樣培養(yǎng)學(xué)生的推理能力 通過(guò)數(shù)與代數(shù)式、方程與不等式的計(jì)算來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。計(jì)算要依據(jù)一定的“規(guī)則” 公式、法則、推理等。計(jì)算過(guò)程就是演繹推理的過(guò)程。 通過(guò)探索規(guī)律來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程就是培養(yǎng)學(xué)生歸納能力，形成合情推理能力的過(guò)程。 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力?！安僮鲗W(xué)具學(xué)數(shù)學(xué)”有利于學(xué)生有動(dòng)作思維表象抽象思維。因此在教學(xué)中，要組織學(xué)生實(shí)踐操作，讓學(xué)生參與推理的全過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，使學(xué)生從個(gè)別特殊的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行歸納。 通過(guò)日常生活培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力。除了學(xué)校的教育教學(xué)活動(dòng)以外，還有很多活動(dòng)也能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。例如，人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常需要作出判斷和推理。所以，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動(dòng)中有“數(shù)學(xué)”，有“數(shù)學(xué)推理”，養(yǎng)成善于觀察、猜測(cè)、分析、歸納推理的好習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)中推理思想的應(yīng)用如下表。 思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例不完全歸納法找規(guī)律 找數(shù)列和圖形的規(guī)律整數(shù)計(jì)算四則計(jì)算法則的總結(jié)運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不變的規(guī)律分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比推理整數(shù)讀寫法億以內(nèi)及億以上的數(shù)的讀寫，與萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀寫相類比整數(shù)的運(yùn)算四則計(jì)算的法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相類比，多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)相類比，除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法相類比小數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算法則、順序和定律推廣到小數(shù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)和比除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)進(jìn)行類比問(wèn)題解決數(shù)量關(guān)系相近的實(shí)際問(wèn)題的類比，如分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題與百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的類比雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問(wèn)題的類比 4、模型思想 模型思想是此次修訂標(biāo)準(zhǔn)新增的核心概念。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，通過(guò)抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過(guò)模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個(gè)維度上概括了對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三個(gè)重要思想。 建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而且它也是實(shí)現(xiàn)上述目的的基本途徑。數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天在其自身的舞臺(tái)上最精彩的表演。 下面我結(jié)合比例應(yīng)用題具體的教學(xué)案例說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的一般步驟： 首先，“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題”。也就是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。比如兩道比例的應(yīng)用題：（1）100千克黃豆可榨出13千克豆油，照這樣計(jì)算，要榨出130千克豆油需要多少千克黃豆？ （2）100千克黃豆可榨出13千克豆油，照這樣計(jì)算，130千克黃豆能榨出多少千克豆油？ 我們先看第一道題。經(jīng)過(guò)分析，讓學(xué)生明白：這里的黃豆、豆油是兩個(gè)基本的量，它們之間的關(guān)系通過(guò)出油率來(lái)體現(xiàn)的。因此，我們認(rèn)為這是兩道典型的出油率問(wèn)題。這是從具體情境抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。 然后，“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)過(guò)第一步的分析，我們把問(wèn)題聚焦在出油率上，因?yàn)樗硎镜氖屈S豆與豆油這兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。因此，我們得到數(shù)量關(guān)系為：豆油量=黃豆量出油率。 當(dāng)然，這道題的關(guān)鍵并不是讓學(xué)生這樣做：13100=13 13013=1000千克。而是，要提醒學(xué)生利用比例來(lái)解決這道題。 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生，經(jīng)過(guò)分析得到：本題中的黃豆和豆油都是變量，但是出油率是不變的。豆油量=黃豆量出油率 13 100 一定 130 ？ 一定 因此，豆油和黃豆成正比例。所以可以列方程得到: 解：設(shè)要榨出130千克豆油需要x千克黃豆。 13:100=130：x我們更想讓學(xué)生學(xué)會(huì)用第二種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。一個(gè)重要原因是：方法一實(shí)際上用了兩次數(shù)量關(guān)系，第一次是“豆油量=黃豆量出油率”，第二次是它的變形“黃豆量=豆油量出油率”，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種數(shù)量關(guān)系的變形掌握起來(lái)，比較難。若第一題和第二題放在一起，很多學(xué)生就無(wú)所適從了。 這是建立模型的過(guò)程。這個(gè)模型有兩個(gè)方面的理解：數(shù)量關(guān)系中，兩個(gè)量是變化的，一個(gè)量沒(méi)有變，就可以用比例來(lái)解。這是一種內(nèi)容層面的模型 豆油量=黃豆量出油率 13 100 一定 ？ 130 一定這是方法層面的模型。 最后，通過(guò)模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。經(jīng)過(guò)第二步，我們讓學(xué)生體會(huì)到，若在一個(gè)數(shù)量關(guān)系式中，有兩個(gè)量是變的，有一個(gè)量是不變的，我們都可以用比例，列方程來(lái)解決問(wèn)題的。比如這兩道題的同時(shí)出現(xiàn)，若成功建立了此類比例應(yīng)用題的模型，那么這兩道題之間不是混淆的，而是融會(huì)貫通的。因?yàn)?，第二題完全滿足我們剛剛建立的數(shù)學(xué)模型。原來(lái)的方程為：13:100=130：x 現(xiàn)在的方程為：13:100=x：130 問(wèn)題三：如何建立“數(shù)”的概念一、課標(biāo)中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”有何變化 數(shù)的概念是學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的開(kāi)始，理解數(shù)的意義伴隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整個(gè)過(guò)程，從自然數(shù)逐步擴(kuò)展到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，學(xué)生將不斷增加對(duì)數(shù)的理解和運(yùn)用。在小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)包括整數(shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的整除性相關(guān)的內(nèi)容、數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。在教材的安排中， 整數(shù)的認(rèn)識(shí)中分為 10 以內(nèi)認(rèn)識(shí)、 20 以內(nèi)的認(rèn)識(shí)、 100 以內(nèi)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)的認(rèn)識(shí)、大數(shù)的認(rèn)識(shí)等；分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)都為兩個(gè)階段、一個(gè)是初步的認(rèn)識(shí)，另一個(gè)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義。整體來(lái)說(shuō)新課標(biāo)中對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的要求變化和調(diào)整不大，主要有以下幾點(diǎn)，在教學(xué)中我們要加以注意。內(nèi)容 學(xué)段 標(biāo)準(zhǔn)要求的調(diào)整和變化 數(shù)的認(rèn)識(shí) 第 一 學(xué) 段 “ 知道用算盤可以表示多位數(shù) ” 。 “ 能結(jié)合具體情境比較兩個(gè)一位小數(shù)的大小，能比較兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的大小。 ” 第二 學(xué) 段 不再要求 “ 比較百分?jǐn)?shù)的大小 ” 和 “ 探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系 ” 在數(shù)的認(rèn)識(shí)中要關(guān)注數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用。其中我們要特別關(guān)注數(shù)的意義，也就是數(shù)的概念的建立。在教學(xué)中如何建立數(shù)的概念是教學(xué)的重點(diǎn)，面對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)這一重要內(nèi)容，我們又該怎樣幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)概念，理解數(shù)的意義呢？ 二、在建立數(shù)概念中要注意的問(wèn)題 （一） 在整數(shù)的認(rèn)識(shí)中要注意的問(wèn)題 建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn) 。 理解數(shù)的意義一般有兩個(gè)角度 ，一是從數(shù)的組成去理解，通過(guò)組成理解數(shù)的大小和多少，加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實(shí)際來(lái)體會(huì)，通過(guò)在具體的現(xiàn)實(shí)情境中，理解數(shù)在生活實(shí)際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機(jī)的結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實(shí)際教學(xué)中我們要把這兩種方式有機(jī)地結(jié)合起來(lái) ，這樣更有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。在整數(shù)概念的建立過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn)： 1. 依托多種形式建立整數(shù)數(shù)概念（ 1 ）在具體情境中理解數(shù)的意義學(xué)生對(duì)數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對(duì)具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會(huì)讀、會(huì)寫，會(huì)說(shuō)一些具體的數(shù)。我們?cè)诮虒W(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實(shí)情景抽象出數(shù)的過(guò)程，例如從具體的 2 匹馬， 2 棵樹(shù)， 2 頭牛， 2 個(gè)人，抽象為 2 這個(gè)數(shù)。這時(shí)用一個(gè)數(shù)字也是一個(gè)特殊的符號(hào)來(lái)表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個(gè)數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“ 2 ”。反過(guò)來(lái)， 2 可以表示任何具有 2 這樣數(shù)量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個(gè)人、 2 只小動(dòng)物，隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的豐富含義，比如 計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)。 （ 2 ）用操作幫助學(xué)生具體感知自然數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)重點(diǎn)在于使學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)， 抽象離不開(kāi)直觀的支撐和操作，例如：計(jì)數(shù)器、小棒、圖形等等，讓學(xué)生親自的數(shù)一數(shù)，擺一擺，圈一圈、畫一畫，學(xué)生數(shù)的過(guò)程也是一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程，同時(shí)感受具體的數(shù)量。 （ 3 ）多種模型的表征在數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，我們要注意運(yùn)用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義建立數(shù)的概念，比如說(shuō)：計(jì)數(shù)器、方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個(gè)大小和現(xiàn)實(shí)中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問(wèn)題。例如，一位老師在教學(xué)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，就運(yùn)用方塊模型幫助學(xué)生建立一萬(wàn)的概念，理解數(shù)的意義。 通過(guò)方格模型的演示，讓學(xué)生體會(huì) 10 個(gè)一是十， 10 個(gè)十是一百， 10 個(gè)一百是一千， 10 個(gè)一千是一萬(wàn)，通過(guò)幾何圖形的點(diǎn)、線、面、體，使學(xué)生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時(shí)建立十個(gè)千就是一個(gè)萬(wàn)，在學(xué)生的頭腦中建立一個(gè)清晰的模型“滿十進(jìn)一”，對(duì)于學(xué)生理解基數(shù)單位和位值制是有很大好處的。 2. 把握核心概念，重視數(shù)位和位置值的理解為了表示更大的數(shù)，數(shù)位概念的建立是十分重要的。數(shù)位的含意是不同位置上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，沒(méi)有數(shù)位的規(guī)定就沒(méi)有辦法表示更大的數(shù)。認(rèn)識(shí)個(gè)、十、百、千、萬(wàn)等不同的數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，是理解整數(shù)概念所必須的。學(xué)生必須清楚地了解，同樣一個(gè)數(shù)字“ 3 ” ，在個(gè)位上表示 3 個(gè)一；在十位上表示 30 ，即 3 個(gè)十；在百位上表示 300 ，即 3 個(gè)百。第一學(xué)段完成整數(shù)萬(wàn)級(jí)的認(rèn)識(shí)，第二學(xué)段認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)，進(jìn)而整理十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。我國(guó)的計(jì)數(shù)單位是每四位一級(jí)，萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的個(gè)位、十位、百位、千位為個(gè)級(jí)，學(xué)生理解各級(jí)上的每個(gè)數(shù)字的意義，這是理解多位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字意義的前提條件。我國(guó)計(jì)數(shù)單位是四位一級(jí)，在國(guó)際上普遍使用的是三位一級(jí)，在學(xué)習(xí)時(shí)可以讓學(xué)生了解。（ 1 ）重視 10 的概念的建立 一個(gè) 十 和幾個(gè) 一 是十幾 ， 這就是位值制的基礎(chǔ) ， 這樣 10 個(gè)數(shù)字就可以表示出生活中無(wú)限多的物。教學(xué)中建立好概念非常重要。在教學(xué) 10 的認(rèn)識(shí)時(shí)要讓學(xué)生親自感受到由 9 再加 1 變成 10 的過(guò)程，可以通過(guò)數(shù)、擺、捆、撥、說(shuō)等活動(dòng)，讓學(xué)生感受 10 個(gè)一是 1 個(gè)十。在 11-20 各數(shù)的認(rèn)識(shí)中仍然要關(guān)注 10 的概念的建立，讓學(xué)生體會(huì)滿十進(jìn)一的過(guò)程。 10的概念的建立是學(xué)生建立百、千、萬(wàn)等概念的基礎(chǔ)。（ 2 ）重視數(shù)計(jì)數(shù)單位：為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和位值制。要重視數(shù)計(jì)數(shù)單位逐步建立新的計(jì)數(shù)單位，10 個(gè)一是 1 個(gè)十，10 個(gè)十是一百，10 個(gè)百是一千，10 個(gè)千是一萬(wàn)，10 個(gè)萬(wàn)是十萬(wàn)，10 個(gè)十萬(wàn)是一百萬(wàn)，10 個(gè)百萬(wàn)是一千萬(wàn)，從而引出新的計(jì)數(shù)單位，在一個(gè)單位、一個(gè)單位地?cái)?shù)的活動(dòng)中，學(xué)生充分體會(huì)每數(shù)滿 10 個(gè)單位就產(chǎn)生一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，感受了兩個(gè)相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十。 （ 3 ）重視數(shù)位順序表的使用隨著認(rèn)識(shí)的數(shù)越來(lái)越大教師應(yīng)不斷擴(kuò)充完善數(shù)位順序表，從認(rèn)識(shí) 20 以內(nèi)的數(shù)起就讓學(xué)生了解個(gè)位和十位，認(rèn)識(shí)百以內(nèi)數(shù)時(shí)補(bǔ)充認(rèn)識(shí)百位，在認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的時(shí)候第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表，在認(rèn)識(shí)整數(shù)的最后一個(gè)單元里學(xué)生將認(rèn)識(shí)萬(wàn)級(jí)和億級(jí)的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴(kuò)展，先擴(kuò)展到萬(wàn)級(jí)，再擴(kuò)展到億級(jí)。數(shù)位順序表有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀、寫數(shù)的方法。 3. 關(guān)注對(duì)大數(shù)的感受在第一、二學(xué)段都提出感受大數(shù)意義和對(duì)大數(shù)進(jìn)行估計(jì)的要求。第一學(xué)段是要求在生活情境中感受大數(shù)的意義，第二學(xué)段情境的范圍有所擴(kuò)大，要求在現(xiàn)實(shí)情境中感受大數(shù)的意義。其本質(zhì)是相同，都是希望通過(guò)具體的情境對(duì)大數(shù)加以感受，增加學(xué)生的數(shù)感。感受大數(shù)與情境的具體內(nèi)容有關(guān)， 1200 張紙大約有多厚？你的 1200 步大約有多長(zhǎng)？ 1200 名學(xué)生站成做廣播操的隊(duì)形需要多大的場(chǎng)地？這些具體的情境學(xué)生可以通過(guò)實(shí)際操作和觀察感受。有時(shí)還要加入想象的成份， 1200 名學(xué)生需要多大場(chǎng)地，許多學(xué)校可能沒(méi)有這么多人，學(xué)生就需要了解自己的學(xué)校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人會(huì)占多大地方。 這個(gè)抽象過(guò)程在小學(xué)一年級(jí)開(kāi)始認(rèn)識(shí)數(shù)時(shí)就強(qiáng)調(diào)，直到認(rèn)識(shí)較大的數(shù)。學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)數(shù)的抽象表示，逐步建立數(shù)概念。 （二）在建立分?jǐn)?shù)概念中要注意的問(wèn)題 教師在數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)中 普遍認(rèn)為分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)認(rèn)識(shí)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。分?jǐn)?shù)起源于分，當(dāng)平均分出現(xiàn)不是整數(shù)結(jié)果的時(shí)候，逐漸有了分?jǐn)?shù)的概念。后來(lái)，在土地測(cè)量、產(chǎn)品分配等過(guò)程中 , 常常得到不是整數(shù)的結(jié)果，便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，分?jǐn)?shù)的真正來(lái)源在于自然數(shù)除法的推廣。 1. 加強(qiáng)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解教師要了解分?jǐn)?shù)意義的多重多元性，才能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)的意義。 對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注以下兩個(gè)主線和四個(gè)層面： 兩個(gè)主線即“比的線索”和“數(shù)的線索”。“比”指的是一部分與另一部分之間的關(guān)系；“數(shù)”指的是以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)，此時(shí)的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)的是一個(gè)結(jié)果。 分?jǐn)?shù)意義理解的四個(gè)層面“比率” 是指部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系。其中部分與整體的關(guān)系更多地體現(xiàn)在真分?jǐn)?shù)的含義中。例如一個(gè)圓平均分成 4 份，每一份是整體的 1/4。例如小紅有 5 個(gè)蘋果，小麗有 3 個(gè)蘋果，小紅的蘋果是小麗的5/3倍。對(duì)比率維度的理解，可以幫助學(xué)生完成對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識(shí)的正確認(rèn)識(shí)。 “度量” 指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。例如 3/4里面有 3 個(gè) 1/4，就是用分?jǐn)?shù) 1/4作為單位度量 3 次的結(jié)果。對(duì)度量維度的研究，可以大大豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。度量維度的體驗(yàn)也可以直接作用于分?jǐn)?shù)加（減）法的學(xué)習(xí)中。 “運(yùn)作” 主要指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過(guò)程。例如，求 6 張紙的 2/3是多少?gòu)埣?，學(xué)生會(huì)這樣理解：將6 張紙這個(gè)整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 3 2 ，也就是 6 2/3 。 “商” 這個(gè)維度主要是指分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)由“過(guò)程”凝聚到“對(duì)象”，即分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，也可以和其他數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。 以上這四個(gè)維度沒(méi)有先后之分，主次之別，它們對(duì)學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)內(nèi)涵豐富性認(rèn)識(shí)的建構(gòu)。 2利用多種模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義在小學(xué)階段教材中往往以學(xué)生熟悉的日常事物與活動(dòng)為模型，建立分?jǐn)?shù)的概念。例如把一個(gè)月餅平均分為兩份，其中的一份是1/2個(gè)，把一張紙平均分為為四份其中的一份是1/4 ，這僅僅是從“面積模型”的角度來(lái)理解分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以借助于多種“模型”。 （ 1 ）分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分整體”表示分?jǐn)?shù)兒童最早是通過(guò)“部分整體” 來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，因此在教材中分?jǐn)?shù)概念的引入是通過(guò)“平均分”某個(gè)“正方形”或者“圓”取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。 （ 2 ）分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集全集”來(lái)表示分?jǐn)?shù)這是“部分整體”的另外一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位 1 ” 不再真正是“ 1 個(gè)整體”了，而是把幾個(gè)物體看作“ 1 個(gè)整體”，作為一個(gè)“單位”，所取的“一份”也不是“一個(gè)”，可能是“幾個(gè)”作為“一份”，例如，把 4 個(gè)桃子看作“單位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 個(gè)占整體的 。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個(gè)”看作“整體 1 ”。 （ 3 ）分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)3. 把握好每一階段完成的任務(wù)在小學(xué)階段，對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，教材一般“顯性”地分為兩個(gè)階段：第一學(xué)段分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)和第二階段分?jǐn)?shù)的意義。但實(shí)際上，基于對(duì)于分?jǐn)?shù)意義內(nèi)涵豐富性的理解，我們逐步認(rèn)識(shí)到，對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，決不是一兩次教學(xué)所能全部承載和實(shí)現(xiàn)的，需要通過(guò)系列設(shè)計(jì)，逐步滲透、多維度建立，將教材中的“顯性”和“隱性”結(jié)合起來(lái)。我們應(yīng)該把握好每一階段的教學(xué)： 第一階段：認(rèn)識(shí)平均分。 第二階段：在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)教學(xué)中，幫助學(xué)生初步建立部分與整體關(guān)系的認(rèn)識(shí)，感受分?jǐn)?shù)。 第三階段：在分?jǐn)?shù)意義和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)中，重點(diǎn)使學(xué)生發(fā)展對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的比率、度量的維度。 第四階段：在分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的教學(xué)中，重點(diǎn)使學(xué)生發(fā)展對(duì)于分?jǐn)?shù)理解的運(yùn)作、商的。第五階段：在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算及解決問(wèn)題的教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生綜合運(yùn)用對(duì)于分?jǐn)?shù)意義理解 的多個(gè)維度。 必須指出的是，這五個(gè)階段不是相對(duì)孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者只能達(dá)成對(duì)某維度的學(xué)習(xí)，其他維度將不再涉及。這五個(gè)階段在完成對(duì)分?jǐn)?shù)意義方面各有側(cè)重，相互滲透，相互補(bǔ)充，共同幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。 總之分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要系統(tǒng)的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能使學(xué)生真正理解熟練運(yùn)用。 （三）在建立小數(shù)數(shù)概念中要注意的問(wèn)題 在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教材安排了小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)。小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制記數(shù)法從整數(shù)（自然數(shù)）擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。由此可見(jiàn)小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系。 1. 利用知識(shí)遷移建立小數(shù)概念分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對(duì)小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接顯著的影響 ， 后者的學(xué)習(xí)對(duì)前者也有促進(jìn)作用 ， 例如 8 分米是十分之八米是學(xué)生已有的知識(shí) ， 只要通過(guò)提問(wèn) ，引起學(xué)生的回憶和思考 ， 還可以寫成 0.8 米， 也就是同一對(duì)象的兩種不同形式 ， 使小數(shù)和分?jǐn)?shù)建立起直接的聯(lián)系 ， 使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到 ： 十分之幾和一位小數(shù)，百分之幾和兩位小數(shù)之間的關(guān)系 。 再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用數(shù)軸表示數(shù)，這是認(rèn)識(shí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)常用的模型 ， 可以將其拓展到小數(shù)。例如：把一個(gè)正方形平均分成 10 份 、100 份 ， 其中的若干份既可以用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示 ，這樣能夠幫助學(xué)生理解的小數(shù)意義，建立小數(shù)的模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感 。 2. 溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系（ 1 ）溝通整數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。 整數(shù)與小數(shù)的計(jì)數(shù)方法是一致的 ， 相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是 10 ，小數(shù)的計(jì)數(shù)方法是整數(shù)計(jì)數(shù)方法的擴(kuò)展 ， 教學(xué)中要設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)將整數(shù)的計(jì)數(shù)方法遷移到小數(shù) ，為學(xué)生在計(jì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和方法上建立聯(lián)系 ， 不僅如此 ， 還要利用這些活動(dòng)幫助學(xué)生整理認(rèn)數(shù)系統(tǒng)， 把原來(lái)認(rèn)識(shí)的整數(shù)數(shù)位表擴(kuò)充到小數(shù) 。 （ 2 ）溝通分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系： 小數(shù)和分?jǐn)?shù)上的溝通，主要是意義上的溝通，使學(xué)生理解小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。（ 3 ）溝通分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)之間的關(guān)系。關(guān)于小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，在整數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了小數(shù)， 小數(shù)的表征形式與整數(shù)相似，數(shù)位順序表得到補(bǔ)充，都是十進(jìn)制。如果以個(gè)位為基礎(chǔ)，向左擴(kuò)展就是十位、百位、千位；如果向右擴(kuò)展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。這樣“每相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10 ”得到了全面的概括；小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)。從這個(gè)意義上說(shuō)，對(duì)小數(shù)的理解比對(duì)分?jǐn)?shù)的理解更容易一些。 3. 把握好小數(shù)認(rèn)識(shí)的兩個(gè)階段的教學(xué)我們知道關(guān)于小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)可以從學(xué)生熟悉的計(jì)量單位：元、角、分和（米、分米、厘米）來(lái)幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。并不涉及到小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和數(shù)位；到了第二學(xué)段學(xué)習(xí)小數(shù)的意義時(shí)，才抽象出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和數(shù)位，以及完善數(shù)位順序表 兩個(gè)學(xué)段的重點(diǎn)不同，呈現(xiàn)的方式和學(xué)習(xí)的方式也應(yīng)當(dāng)有區(qū)別。要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際選擇合適的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義。 三、 建立數(shù)概念教學(xué)的具體建議 （一）在數(shù)認(rèn)識(shí)中體現(xiàn)數(shù)感。 數(shù)感的建立非常重要，教師要設(shè)計(jì)多種活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 （二）整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系： 兩個(gè)學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進(jìn)與銜接。 （三）鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用 。關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)包括從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用；其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個(gè)學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機(jī)會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)來(lái)表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流。 問(wèn)題四：如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系一、 課標(biāo)對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”有什么新要求 新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。 培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)?shù)瘜?duì)運(yùn)算的熟練程度的要求，選擇正確的計(jì)算方法，準(zhǔn)確地得到運(yùn)算結(jié)果，比運(yùn)算的熟練程度更重要。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度?！边@一目標(biāo)的提出就要求教師在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算例、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機(jī)的結(jié)合在一起，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。 學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的過(guò)程就是發(fā)展邏輯思維能力的過(guò)程，數(shù)的運(yùn)算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴(yán)密的邏輯性。每個(gè)概念、性質(zhì)、法則、公式的引入與建立，都要經(jīng)過(guò)抽象、概括、判斷、推理的思維過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容時(shí)都要經(jīng)過(guò)從具體到抽象、從感性到理性的過(guò)程，學(xué)生把這些應(yīng)用到實(shí)際中去，還要經(jīng)過(guò)由一般到特殊的演繹過(guò)程。因此，數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。這就需要教師在教學(xué)的過(guò)程中不僅僅關(guān)注結(jié)果、關(guān)注方法更要關(guān)注得到結(jié)果、得到方法的思維過(guò)程，這個(gè)思維過(guò)程就是學(xué)生理解算理、掌握算法的過(guò)程。小學(xué)生仍然以直觀形象思維為主，而算理、算法又十分抽象，因此如何結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系，往往就是教學(xué)的難點(diǎn)所在。我們可以結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)借助生動(dòng)有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 二、如何處理運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系 （一）借助生動(dòng)有趣的童話情境，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 小學(xué)生，尤其是低年級(jí)的學(xué)生，他們更多的是以形象思維為主，因此創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的童話情境，不僅能夠很好地調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。 在教學(xué) 20 以內(nèi)進(jìn)位加法一課中，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜愛(ài)的小動(dòng)物上車的童話情境。首先通過(guò)讓學(xué)生在第一站幫助 9 個(gè)小動(dòng)物上車，來(lái)復(fù)習(xí)十加幾的口算，學(xué)生的積極性一下子就被調(diào)動(dòng)了起來(lái)，為他們能夠運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)幫助小動(dòng)物而感到高興。接下來(lái)再通過(guò)第二站幫助 5 個(gè)小動(dòng)物上車，復(fù)習(xí)連加，并通過(guò)追問(wèn)“有什么好方法能讓我們算得又對(duì)又快？”使學(xué)生感受到先湊“十”再算“十加幾”簡(jiǎn)便快捷，為理解“進(jìn)位加”的算理做好了孕伏。 5 個(gè)小動(dòng)物上車后，與在第一站上車的 9 個(gè)小動(dòng)物合起來(lái)，這時(shí)車上一共有多少個(gè)小動(dòng)物？從而引出了 9+5= ？這一進(jìn)位加法。如何計(jì)算 9+5= ？學(xué)生結(jié)合生動(dòng)、形象、具體的現(xiàn)實(shí)情境，很快就想到把 5 分成 1 和 4 ， 1 和 9 組成 10 ， 10 加 4 等于 14 。就這樣學(xué)生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握了進(jìn)位加的算理與算法。 通過(guò)這節(jié)課我們看到，結(jié)合學(xué)生的年齡和心理需求以及他們的思維特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣、喜愛(ài)的童話情境，使枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)有趣，使抽象的算理變得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利、自然的掌握了算法。 （二）借助直觀模型，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 在我們以往的教學(xué)中，不少老師或者不重視引導(dǎo)學(xué)生探索計(jì)算的過(guò)程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算的每個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有真正理解的情況下就開(kāi)始追求計(jì)算方法。這就很可能造成學(xué)生在沒(méi)有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來(lái)習(xí)得方法和技能，這顯然對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的。在教學(xué)中教師要舍得拿出時(shí)間讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷，有機(jī)會(huì)感受，有機(jī)會(huì)理解，有機(jī)會(huì)創(chuàng)造。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確提出了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)，它背后深遠(yuǎn)的意義還需要廣大教師在自己的實(shí)踐中開(kāi)動(dòng)腦筋，深入挖掘，潛心感悟。 （三）借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，處理好運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系。 比如在小數(shù)加減法一課，可借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。例：0.8+3.74= ，這節(jié)課的重點(diǎn)是揭示的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，為了讓學(xué)生有機(jī)會(huì)調(diào)動(dòng)已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過(guò)程，我們可以設(shè)計(jì)一下教學(xué)程序：先讓每個(gè)學(xué)生自己試做，并說(shuō)明自己這樣做的道理。 師：我們以前做過(guò)很多很多加減法題，無(wú)一例外的都是把末位的兩個(gè)數(shù)字對(duì)齊，可這道題為什么不末位對(duì)齊呢？ 生：整數(shù)的末位是個(gè)位，末位對(duì)齊也就是個(gè)位對(duì)齊了。而小數(shù)的末位不一定是相同的，所以不能末位對(duì)齊。 師：你們雖然沒(méi)把末位對(duì)齊，但把誰(shuí)對(duì)齊了？ 生：把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，也就是相同數(shù)位對(duì)齊。 師：你看得很深、很準(zhǔn)，這樣做肯定有這樣做的道理?？蔀槭裁匆欢ㄒ?shù)點(diǎn)對(duì)齊、要相同數(shù)位對(duì)齊呢？ 生 1 ：如果不對(duì)齊算出來(lái)就錯(cuò)了。 生 2 ：如果不把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，而把末位對(duì)齊的話，十分位的 8 就和百分位的 4 對(duì)齊了，相加之后肯定就不對(duì)了。 生 3 ：我舉個(gè)例子說(shuō)吧，比如買兩樣?xùn)|西，一個(gè)是 0.8 元，另一個(gè) 3.74 元，如果把末位的 8 和 4 相加，就是用 8 角加 4 分，那肯定不對(duì)了。 師：我們研究同一個(gè)問(wèn)題時(shí)可以從不同角度研究，比如，可以講道理，也可以舉例子。剛才這道題，就有同學(xué)想到了用我們都熟悉的“元角分”舉例子來(lái)解釋，簡(jiǎn)單的事說(shuō)明了深?yuàn)W的道理，你真棒?？磥?lái)只有相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能夠相加減。 小結(jié)：“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”為了確?！跋嗤瑪?shù)位對(duì)齊”，而相同數(shù)位對(duì)齊背后的道理就是“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)直接相加減”。你們不僅找到了方法，還理解了方法背后的數(shù)學(xué)道理，真了不起。 這樣做引發(fā)學(xué)生對(duì)小數(shù)加減計(jì)算道理的深刻理解，即：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的本質(zhì)意義是一致的，即相同的計(jì)數(shù)單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機(jī)的結(jié)合，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法，有助于學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)核心概念，才能夠更好地實(shí)現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！钡哪繕?biāo)。 三、 對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)的建議 （一）處理好算理直觀與算法抽象的關(guān)系 。這個(gè)理是學(xué)生不容易理解的，教師可以通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境、直觀的圖、學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)等幫助學(xué)生去理解。 （二）處理好算法多樣化與算法優(yōu)化的關(guān)系 。算法多樣化，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)性，可能這個(gè)學(xué)生適合這樣的方法，那個(gè)學(xué)生喜歡另一種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過(guò)不同的方法，讓學(xué)生去理解這個(gè)道理，使學(xué)生能夠更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 （三）處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系 。它不是一種單純的、機(jī)械的、做題量的積累，在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，要注重幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維。 （四）注重計(jì)算與日常生活以及解決問(wèn)題的聯(lián)系 。學(xué)習(xí)加減乘除的計(jì)算，最終要為解決問(wèn)題服務(wù)，在解決問(wèn)題過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到計(jì)算方法的實(shí)際價(jià)值。 問(wèn)題五：如何落實(shí)新課標(biāo)對(duì)估算的要求一、課標(biāo)對(duì)“估算”有什么新要求 課標(biāo)修訂版中加強(qiáng)了對(duì)“估計(jì)”以及“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡(jiǎn)單估算。如何理解“選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧边M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算？ 例如：學(xué)校組織 987 名學(xué)生去公園游玩。如果公園的門票每張 8 元，帶 8000 元錢夠不夠？解決此題的適當(dāng)方法是把 987 人看成 1000 人，所以適當(dāng)?shù)膯挝皇恰?1000 人”。結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇堑谝粚W(xué)段估算的核心。在對(duì)大數(shù)進(jìn)行估計(jì)的時(shí)