直線和圓綜合問題題型分類全面.doc

第九講 直線和圓問題1、 直線與圓（1） 直線和圓的位置關(guān)系及其特點1. 直線和圓相交：直線和圓有兩個公共點. 2.直線和圓相切：直線和圓有一個公共點.3. 直線和圓相離：直線和圓沒有公共點.（2） 直線和圓的位置關(guān)系的判斷幾何法：利用圓心的距離與半徑的大小來判斷.代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組，消去其中一個未知量，得到關(guān)于另外一個未知量的一元二次方程，通過根的判別式來判斷.直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形圓心到直線的距離（三）相交弦長1. 定義：當(dāng)直線和圓相交時，我們把兩個交點的距離叫做相交弦長.2. 求相交弦長的兩種方法幾何法：如圖，半徑，弦心距，弦長的一半構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理：_.代數(shù)法：若直線與圓有兩個交點，則弦長公式=_或_3.相交弦中點求法幾何法：求出經(jīng)過圓心與相交弦垂直的直線方程，則的交點即為相交弦中點代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程，消去后得到關(guān)于的一元二次方程，其兩根分別為則相交弦的中點橫坐標(biāo)為，再把代入直線的方程求得，即為中點弦坐標(biāo)（4） 圓的切線. 圓的切線條數(shù)點在圓內(nèi)時：_；點在圓上時：_；點在圓外時：_.2. 圓的切線方程求法（1） 求過圓上一點的切線方程求法先求切點與圓心連線的斜率，由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程求得切線方程.若或不存在，則由圖形可以直接求得切線方程（2） 求過圓外一點的切線方程求法幾何法：設(shè)切線方程為點斜式，由圓心到直線距離等于半徑求出斜率，從而求出切線方程代數(shù)法：設(shè)切線方程為點斜式，將切線方程代入圓的方程消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用求出，從而求出切線方程3. 過圓上一點的切線方程（1）經(jīng)過圓上一點的切線方程為.（2）經(jīng)過圓上一點的切線方程為.（3）經(jīng)過圓上一點的切線方程為.4.切線長：若圓，則過圓外一點的切線長.5.切點弦：過圓外一點作圓的兩條切線方程，切點分別為,則切點弦所在直線方程為：.（5） 圓系方程1. 以為圓心的圓系方程是_.2. 與圓同心的圓系方程是_.3. 過同一定點的圓系方程是_.4. 過直線與圓的交點的圓系方程是_.5. 過兩圓的交點的圓系方程是_.2、 圓和圓（1） 圓和圓的位置關(guān)系圓與圓之間有幾種位置關(guān)系？（2） 圓和圓的位置關(guān)系判斷 幾何法：設(shè)兩圓的半徑分別為，圓心距為，比較和的大小關(guān)系.代數(shù)法：由兩個圓的方程組成一個方程組消元化為一元二次方程根據(jù)來判斷. 圓和圓的位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離圖形兩圓圓心的距離（三）圓與圓的公共弦1.兩圓的相交弦所在直線方程的求法設(shè)兩圓和相交時，-得若兩圓相交，方程表示過兩圓交點的直線，即為經(jīng)過兩圓交點的直線方程.提示：當(dāng)兩圓相切時為兩圓的公切線方程.2. 公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓方程聯(lián)立，解出交點坐標(biāo)，利用兩點距離公式求出弦長.幾何法：求出公共弦所在直線方程，求出弦心距，半徑，利用勾股定理求出弦長.三、直線與圓的方程的應(yīng)用坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，借助代數(shù)方法把要研究的幾何問題，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的運(yùn)算，由此解決幾何問題考點一、直線和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系例1：已知動直線和圓，試問為何值時，直線與圓相切、相離、相交？例2：若直線與圓相交，則點與圓的位置關(guān)系是_.例3：圓與圓.試問為何值時，兩圓（1）外離；（2）外切；（3）相交；（4）內(nèi)切；（5）內(nèi)含；變式1：圓與直線的位置關(guān)系是？變式2：已知點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是_.變式3：已知圓，圓，試判斷兩圓的位置關(guān)系.練習(xí)：1. 直線與的位置關(guān)系是_.2. 直線與圓有公共點，則的取值范圍是多少？3.若直線xym0與圓x2y2m相切，則m的值為()A0或2 B0或4C2 D44. 圓和的位置關(guān)系是_.5. 圓：與圓：外切，則的值為多少？6. 判斷直線與圓的位置關(guān)系.考點二、直線和圓相交（1） 相交弦長例1：求直線被圓截得的弦長.例2：已知圓過點，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長為，求圓的方程.例3：直線與圓相交于兩點,若,則的取值范圍是_.變式1：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓交于A,B兩點，求及的面積.變式2：設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則_變式3：已知圓，直線過點且與圓相交于A,B兩點,，求.直線的方程.練習(xí)：1. 直線被圓所截得的弦長等于多少？2. 已知圓截直線所得弦的長度為4，則_.3.直線過點,被圓截得的弦長為，求直線的方程.4.直線與圓交于、兩點，則的面積為_.5.求與軸相切，圓心在直線上，且截直線的所得弦長為的圓的方程.6.直線截圓的劣弧所對的圓心角是_.（二）中點弦和弦的中點軌跡問題例1：已知圓內(nèi)一點，求以為中點的弦所在直線的方程.例2：過點作圓的弦，其中最短的弦長為_.例3：直線與圓相交于兩個不同點，求中點軌跡方程.變式1：設(shè)圓的一條弦的中點為則該弦所在直線的方程為_.變式2：過點（1，）的直線將圓 分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線的的方程為 .變式3：已知點P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程練習(xí)：1. （1）設(shè)直線和圓相交于點，弦的垂直平分線的方程為?（2） 若點為圓的弦的中點，求直線的方程.2. 過點的直線被圓截得的弦長最短的直線方程是？3.經(jīng)過原點作圓的割線，交圓于兩點，求弦的中點的軌跡方程.4.若直線與圓相交于兩點，求弦的中點的軌跡.5.已知圓的方程為x2y26x8y0，設(shè)該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A10 B20C30 D40（3） 直線和圓相交最值問題例1：在圓上，與直線的距離最小距離是_.該點的坐標(biāo)是 最大距離是_.該點的坐標(biāo)是_.例2：若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 例3：若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，則的取值范圍是 變式1：已知點是圓上任意一點，求到直線的最大距離和最小距離.變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓上有且僅有四個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍是_.變式3:直線過點且與半圓有兩個不同的交點，則直線的斜率的范圍是_.練習(xí)：1.圓上的點到直線的距離的最小值是（ ）A6 B4 C5 D12. 設(shè)A為圓上一動點，則A到直線的最大距離為_.3.圓上到直線的距離為的點有（ ） A1個 B2個 C3個 D4個4.若圓上有且只有兩個點到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍是_.5. 若圓上有且只有兩個點到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍是_.6.曲線與直線有兩個交點時，實數(shù)的取值范圍是_.考點三、直線和圓相切（1） 與圓相切的直線方程（點在圓外）例1：自點向圓引切線，則切線方程是多少？（點在圓上）例2：經(jīng)過圓上一點作圓的切線方程為_.例3：與圓C：相切、且縱截距和橫截距相等的直線共有 條.例4：把直線繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動的最小正角是_.變式1：求過且與圓相切的直線方程.變式2：圓在點處的切線方程為_.練習(xí)：1. 求過點的圓的切線方程.2.已知圓，求過點的圓的切線的方程.3.已知過點 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則（）A.B1C2D 4.一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切，求反射后光線所在直線的方程_.5.垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是（）AB CD6. 若經(jīng)過點的直線與圓相切，則此直線在軸上的截距是 （二）與直線相切的圓方程例：求圓心在直線:上，并且與直線： 相切于點圓的方程.變式：若圓經(jīng)過坐標(biāo)原點和點,且與直線相切,則圓的方程是_.練習(xí)：1.圓心為（1，2）且與直線相切的圓的方程為 . 2. 已知圓的半徑為，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為_. 3.已知圓的圓心是直線與軸的交點，且圓與直線相切，則圓的方程為_（三）切點弦、切線長例1：過點向圓上作兩條切線，則弦所在的直線方程為_.例2：自點 的切線，則切線長為_. 例3：已知是直線上的動點，是圓的兩條切線，是切點，是圓心，（1） 那么四邊形面積的最小值為多少？（2） 直線上是否存在點使？若存在求出點的坐標(biāo)，若不存在說明理由.例4.自動點引圓的兩條切線，直線的斜率分別為.（1）若，求動點的軌跡方程；（2）若點在直線上，且，求實數(shù)的取值范圍.變式1：過點作圓的兩條切線,切點分別為,則直線的方程為_.變式2：自直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為 .變式3：由動點向圓引兩條切線，切點分別為，則動點的軌跡方程為 練習(xí)1.過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為( )A B C D2.過點作圓的切線于切點，那么到兩切點連線的距離為()A15 B1 C. D53.由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為()A1 B2C. D34. 從直線上一點做圓的切線，切點為，求四邊形面積的最小值.5.已知和定點,由外一點向引切線,切點為且滿足.(1)求實數(shù)間滿足的等量關(guān)系;(2)求線段的最小值.（四）利用直線和圓的位置關(guān)系解決最值問題 例1：已知實數(shù)、滿足方程，（1） 求的最大值和最小值；（2） 求的最大值和最小值；（3） 求的最大值和最小值.變式：若實數(shù)滿足，則的最大值為 練習(xí)1. 已知是實數(shù),且,求(1)的最值；(2)的最值；(3)的最值；(4)的最值.2. 已知實數(shù)滿足，則的取值范圍為_.考點四、圓與圓（1） 圓與圓相切例1：求與圓內(nèi)切于點（5，0），且與直線也相切的圓方程變式：已知半徑為1的動圓與圓相切,則動圓圓心的軌跡方程是_.練習(xí)：1. 圓：，圓的圓心為且與圓相切，求圓的方程2. 求過點且與圓：切于原點的圓的方程（二）圓與圓相交例1：求兩圓：及的公共弦所在直線方程和公共弦長.例2：已知圓與圓相交于兩點，則線段的中垂線方程為_例3：求過兩圓 的交點，且圓心在直線上的圓的方程變式1：圓和的公共弦所在直線方程為（ ） A. B. C. D. 變式2：已知兩圓和，則它們的公共弦長為_.練習(xí)：1.圓和圓的公共弦直線方程為_；公共弦長為.2. 已知圓和圓,求過兩圓交點,且面積最小的圓的方程.考點六、綜合拓展（設(shè)而不求、對稱問題）例1：已知直線交圓于點，為坐標(biāo)原點，且，則的值為 例2：在以為原點的直角坐標(biāo)系中，點為的直角頂點，已知，且點的縱坐標(biāo)大于0.(1)求的坐標(biāo)；(2)求圓x26xy22y0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程例3：已知圓,圓,分別是圓上的動點，為軸上的動點,的最小值.變式1：若圓與直線交于兩點，且，求的值.變式2：若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（ ）A. B. C. D.練習(xí)1.已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1來C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1來源:2.若兩圓及在交點處的切線互相垂直，求實數(shù)的值3.已知圓和直線的交點分別為兩點，為坐標(biāo)原點，則的值為_. 考點七、實際運(yùn)用例：有一種大型商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運(yùn)回來，每公里的運(yùn)費(fèi)A地是B地的兩倍，若A、B兩地相距10 km，顧客選擇A地或B地購買這種商品的運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低，那么不同地點的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點？變式：如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測范圍是半徑為25 km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40 km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30 km的B處島嶼，速度為28 km/h.問：這艘外籍輪船能否被我海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？ 練習(xí)：航行前方的河道上有一圓拱橋，在正常水位時，拱圓最高點距水面9米，拱圓內(nèi)水面寬為22米，船只在水面上部高為6.5米,船頂寬4米,故船行無阻.近日水位暴漲了2.7米,船只已不能通過橋洞,船員必須加重船載,降低船身.問:船身必須降低多少,才能通過橋洞? 鞏固訓(xùn)練1.直線3x4y120與C：(x1)2(y1)29的位置關(guān)系是()A相交并且過圓心 B相交不過圓心 C相切 D相離2.已知圓，圓，其中，則兩圓的位置關(guān)系為（ ）A.相交 B外切 C內(nèi)切 D相交或外切3.若曲線與直線始終有兩個交點，則的取值范圍是_.4.圓x2y24x4y60截直線xy50所得弦長等于()A B C1 D55.若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦的長為2，則a_.6. 若過點A(4,0)的直線l與曲線(x2)2y21有公共點，則直線l斜率的取值范圍為_.7. 直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是_.8. 設(shè)是圓上的動點,是直線上的動點,則的最小值為_.9. 過點且與圓相切的直線方程是_10. 求與圓同心，且與直線相切的圓的方程.11.過點的直線中被圓截得的弦長最大的直線方程是( )A. B. C. D. 12點P在圓C1：x2y28x4y110上，點Q在圓C2：x2y24x2y10上，則|PQ|的最小值是()A5 B1C35 D3513.動點在圓 上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是( )ABCD14. 設(shè)是圓上一點，則的最大值是 15.輛卡車寬2.7米，要經(jīng)過一個半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距離地面的高度不得超過()A1.4米 B3.0米C3.6米 D4.5米16.已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為2，求圓的方程17.已知直線過點且和圓相交于A,B兩點，截得的弦長為，求直線的方程.18. 求經(jīng)過圓與圓的交點，且過點的圓的方程.19.已知M：x2(y2)21，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點(1)若|AB|，求|MQ|、Q點的坐標(biāo)以及直線MQ的方程；(2)求證：直線AB恒過定點20. 已知過點的直線與圓相