冪函數(shù)老師版.doc

冪函數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）一、冪函數(shù)的定義一般地，形如（R）的函數(shù)稱(chēng)為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).如等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).二、冪函數(shù)的圖像冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類(lèi)記憶的方法熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過(guò)點(diǎn)，除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過(guò)第四象限 時(shí)，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)且在上是增函數(shù) 時(shí)，冪函數(shù)圖像不過(guò)原點(diǎn)且在上是減函數(shù) 任何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy三、冪函數(shù)基本性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；（2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn)，并且在0，+上，是增函數(shù)（3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù).規(guī)律總結(jié)1在研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)時(shí)，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負(fù)整指數(shù)冪化為分式形式再去進(jìn)行討論；2對(duì)于冪函數(shù)y，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線(xiàn)的類(lèi)型，即0，01和1三種情況下曲線(xiàn)的基本形狀，還要注意0，1三個(gè)曲線(xiàn)的形狀；對(duì)于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來(lái)記憶：“正拋負(fù)雙，大豎小橫”，即0（1）時(shí)圖象是拋物線(xiàn)型；0時(shí)圖象是雙曲線(xiàn)型；1時(shí)圖象是豎直拋物線(xiàn)型；01時(shí)圖象是橫臥拋物線(xiàn)型經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、求函數(shù)解析式例1.已知冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，則冪函數(shù)_解析：由于為冪函數(shù)，所以，解得，或當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為常數(shù)函數(shù)，不合題意，舍去故所求冪函數(shù)為總結(jié)升華：求冪函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，弄明白冪函數(shù)的定義是關(guān)鍵類(lèi)型二、比較冪函數(shù)值大小例2.比較下列各組數(shù)的大小.(1)與； (2)與.解:(1)由于冪函數(shù)(x0)單調(diào)遞減且，.(2)由于這個(gè)冪函數(shù)是奇函數(shù). f(-x)=-f(x)因此，而(x0)單調(diào)遞減，且， .即.總結(jié)升華：(1)各題中的兩個(gè)數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個(gè)冪函數(shù)的兩個(gè)不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷.(2)題(2)中，我們是利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問(wèn)題.當(dāng)然，若直接利用x0上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題也是可以的.舉一反三【變式一】比較，的大小.思路點(diǎn)撥：先利用冪函數(shù)的增減性比較與的大小，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象比較與的大小.解：在上單調(diào)遞增，且，.作出函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象，易知.故.例3.已知冪函數(shù)， ， ， 在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1，C2，C3，C4，(如圖)，則n1，n2，n3，n4，0，1的大小關(guān)系?解:應(yīng)為n1n20n310， 得到x3或x3時(shí)，u=(x-1)2-4， 隨著x的增大u增大，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)，y隨著u的增大而減小，即時(shí)，是減函數(shù)，而時(shí)，原函數(shù)為增函數(shù).總結(jié)升華：1.復(fù)合函數(shù)的討論一定要理清x，u，y三個(gè)變量的關(guān)系.2.對(duì)于這樣的冪函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，要先考慮冪函數(shù)的定義域?qū)ψ宰兞縳的限制.舉一反三【變式一】討論函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性解：（1）是正偶數(shù)，是正奇數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）是正奇數(shù)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是上的奇函數(shù)（3），且是正奇數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增指對(duì)冪函數(shù)試題1. 已知冪函數(shù)f ( x )圖像過(guò)點(diǎn)（2，），則f ( 4 ) = 2. 函數(shù)與的函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則 3.求函數(shù)的值域.解：令，則，故，所以4、 設(shè)，則的大小關(guān)系是 abc 5.，則 _ 6、若函數(shù)的反函數(shù)是，且在1，2上的最大值與最小值之和為，則 .7、若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_8、已