概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙大版)第七章第八章ppt課件VIP

第七章參數(shù)估計 關(guān)鍵詞 矩估計法極大似然估計法置信區(qū)間置信度 點估計 區(qū)間估計 1參數(shù)的點估計 主要內(nèi)容 一 矩估計法二 極大似然估計三 估計量的評選標準 一 矩估計法 矩思想 利用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計量 矩估計法 二 極大似然估計法 極大似然估計法是在總體的分布類型已知的條件下所使用的一種參數(shù)估計方法 它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的 Gauss Fisher 然而 這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學(xué)家費歇 費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法 并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) 極大似然原理 一個隨機試驗有若干個可能結(jié)果A B C 若在一次試驗中 結(jié)果A發(fā)生 則一般認為試驗條件對A最有利 即A發(fā)生的概率最大 條件 自然 認為從甲箱取更合理 極大似然估計法 又如 兔龜賽跑 得第一名的最有可能是誰 對給定的樣本值 是參數(shù)的函數(shù) 稱為似然函數(shù) 記做 定義對給定的樣本值 若 如何求 即求的最大值點問題 方法一 若為可導(dǎo)函數(shù) 回憶 1 單調(diào)性相同 從而最大值點相同 方法二 2 連續(xù)型總體似然函數(shù)的求法 設(shè)X為連續(xù)型總體 其概率密度為 對來自總體的樣本 其觀測值為 作為與總體X同分布且相互獨立的n維隨機變量 樣本的聯(lián)合概率密度為 其中未知 于是 樣本落入點 鄰域內(nèi)的概率為 由極大似然原理 最合理的的估計值應(yīng)該是使 達到最大 求的步驟 例1 設(shè)總體X的分布律為 0 p 1 p未知 求參數(shù)p的極大似然估計量 解 總體X的分布律為 設(shè) X1 X2 Xn 是來自總體X的樣本 似然函數(shù)為 解得p的極大似然估計量為 說明 p的極大似然估計值為 解 的似然函數(shù)為 取對數(shù) 例2 設(shè) X1 X2 Xn 是來自總體X的一個樣本 求 的極大似然估計量 求導(dǎo)并令其為0 從中解得 即為 的極大似然估計量 推廣 解 26 27 三 衡量估計量好壞的標準 的點估計量一般是不唯一的 如何選擇好的 首先我們要對估計量提出衡量其好壞的標準 標準 無偏性 有效性 一致性 1 無偏性 即取值在真值附近來回擺動 證明 1 6 32 是 的兩個無偏估計量 若 2 有效性 34 相合性 一致性 43 2010年數(shù)學(xué)1 45 作業(yè)題 P120 5 11 46 3區(qū)間估計 點估計 缺點 無法確定誤差 區(qū)間估計 估計 的真值所在的區(qū)間 最大誤差 47 成立 那么稱隨機區(qū)間為參數(shù) 的置信度為1 的 雙側(cè) 置信區(qū)間 設(shè) 為總體分布的一個未知參數(shù) X1 X2 Xn是來自總體的一個樣本 如果對于給定的1 0 1 能由樣本確定出兩個統(tǒng)計量 雙側(cè) 置信下限 雙側(cè) 置信上限置信度 1 定義 使 一 區(qū)間估計的基本概念 48 2 說明 通常 取得很小 因而 落在區(qū)間內(nèi)的概率很大 一般地 越小 則 落在區(qū)間內(nèi)的可靠程度越大 但在樣本容量相同的情況下 這個區(qū)間長度也就越大 從而估計的誤差也就越大 置信區(qū)間的意義 當(dāng)樣本容量n固定時 做N次抽樣 得到N組樣本觀察值 從而得到N個置信區(qū)間 這N個置信區(qū)間中 包含 的真值在其內(nèi)部的約占100 1 例如 N 1000 0 05 則1000個置信區(qū)間中大約有950個包含 的真值 問題 如何確定 一般從 的點估計量出發(fā) 減去某個量構(gòu)成 加上某個量構(gòu)成 49 單側(cè)置信區(qū)間 50 復(fù)習(xí) 常用的統(tǒng)計量分布 51 t分布的極限分布是標準正態(tài)分布 52 復(fù)習(xí)四個定理 正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布 定理1設(shè)總體 標準化 得到 54 55 56 二 正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計 1 一個正態(tài)總體的情況 1 均值 的置信區(qū)間 2已知 的置信區(qū)間 的一個無偏估計量是什么 前面遇到過的哪個統(tǒng)計量既含有又含有 且分布已知 57 x 所以 的1 置信區(qū)間為 58 得置信區(qū)間 置信度為1 的置信區(qū)間不是唯一的 在置信度相同的情況下 置信區(qū)間的區(qū)間長度越小越好 注 可以證明 當(dāng)總體的概率密度函數(shù)為偶函數(shù)時 采用對稱的上 分位點所得的置信區(qū)間長度最小 59 2未知 的置信區(qū)間 當(dāng) 2未知時 用 2的無偏 一致估計量 樣本方差 來代替 2 從而得一新的統(tǒng)計量 這樣就得到了置信度為1 的置信區(qū)間 60 2 方差 2的置信區(qū)間 若 已知 可用 未知時 可用 可得 2的置信度為 1 的置信區(qū)間為 61 單個總體的情形總結(jié) 2已知 估計 2未知 估計 用 用 未知 估計 2 用 3 求 的置信度為 1 的置信區(qū)間的步驟 根據(jù)Z的分布的上 分位點 解出 的置信區(qū)間 尋求一個含有 而不含其它未知參數(shù) 的樣本函數(shù)Z Z X1 X2 Xn 且Z的分布已知 62 例1已知樣本值為 3 3 0 3 0 6 0 9 求 1 當(dāng) 3時 正態(tài)總體均值 的置信度為95 的置信區(qū)間 2 當(dāng) 未知時 正態(tài)總體均值 的置信度為95 的置信區(qū)間 解 由樣本值計算可得 1 當(dāng) 3時 因為 故 所以 均值 的置信度為95 的置信區(qū)間為 代入樣本值可得 請您注意學(xué)習(xí)解題過程的寫法 請準備好計算器和練習(xí)本 4 應(yīng)用舉例 63 2 當(dāng) 未知時 由 知 所以 均值 的置信度為95 的置信區(qū)間為 代入樣本值可得 查表可得 64 例2 用某儀器間接測量溫度 重復(fù)測量5次 所得溫度值為1250 1265 1245 1260 1275 試問真值在什么范圍內(nèi) 置信度為95 分析 用隨機變量X表示溫度的測量值 它通常是一個正態(tài)變量 假定儀器無系統(tǒng)誤差 則E X 就是溫度的真值 設(shè)X N 2 問題即為估計 的范圍 未知 查t分布表 0 05 自由度是n 1 4得 65 溫度真值的置信度為95 的置信區(qū)間為 1244 2 1273 8 66 67 2 兩個總體的情形 1 兩個正態(tài)總體均值差 1 2的置信區(qū)間 樣本分別為 X1 X2 Xn1 Y1 Y2 Yn2 12 22已知 估計 1 2 68 69 12 22都未知 但 12 22 2 均值差 1 2區(qū)間估計 12 22都未知的一般情況 此時 當(dāng)n1 n2都很大時 實用中大于50 均值差 1 2區(qū)間估計為 70 2 兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間 一樣 第二個穩(wěn)定 第一個穩(wěn)定 現(xiàn)需找一個包含 且分布為已知的統(tǒng)計量 方差比的意義 如比較兩個燈泡廠 壽命均值相等 的質(zhì)量哪個穩(wěn)定 71 72 要求 掌握方法 而不是死記硬背 明確置信區(qū)間的實際意義 能結(jié)合到實際問題中去 73 例3設(shè)有兩個工廠獨立地生產(chǎn)同一種產(chǎn)品 其質(zhì)量指標均服從正態(tài)分布 現(xiàn)從它們某天的產(chǎn)品中隨機抽取60只 測得其樣本均值分別為10 3和9 9 樣本方差S2依次為0 84和1 25 試以95 的可靠性判斷兩工廠生產(chǎn)質(zhì)量水平的差異 分析 要判斷兩工廠生產(chǎn)質(zhì)量水平的差異 首先需要比較兩總體的均值的大小 以反映平均質(zhì)量水平的高低 其次還可以比較總體方差的大小 以反映質(zhì)量水平波動的程度 先估計總體均值差 1 2的大小 因樣本容量較大 故近似地有 由此可得 1 2置信區(qū)間 74 代入樣本值可得 再估計總體方差比 12 22的大小 由 知 這一結(jié)果說明什么 由此可得 12 22的置信區(qū)間 代入樣本值可得 這一結(jié)果又說明什么 正態(tài)總體均值 方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限 實際應(yīng)用 1 用金球測定觀察值為 6 6836 6816 6766 6786 6796 672 2 用鉑球測定觀察值為 6 6616 6616 6676 6676 664設(shè)測定值總體為 和 為未知 對 1 2 兩種情況分別求 和 的置信度為0 9的置信區(qū)間 X 6 6836 6816 6766 6786 6796 672 Y 6 6616 6616 6676 6676 664 mu sigma muci sigmaci normfit X 0 1 金球測定的估計 MU SIGMA MUCI SIGMACI normfit Y 0 1 鉑球測定的估計 mu 6 6