向量組及其線性組合

向量組及其線性組合 或aT a1 a2 an 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 其中a稱為列向量 即列矩陣 aT稱為行向量 即行矩陣 由數(shù)組a1 a2 an所組成的n維向量可記為 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 補(bǔ)充例題 首頁(yè) 1 列向量用黑體小寫字母a b 等表示 行向量則用aT bT T T等表示 所討論的向量在沒(méi)有指明是行向量還是列向量時(shí) 都當(dāng)作列向量 說(shuō)明 下頁(yè) 2 分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量 分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量 或aT a1 a2 an 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 由數(shù)組a1 a2 an所組成的n維向量可記為 說(shuō)明 3 規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算 其中a稱為列向量 即列矩陣 aT稱為行向量 即行矩陣 下頁(yè) 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 在空間直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)P x y z 與3維向量r x y z T之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 我們把3維向量的全體所組成的集合R3 r r x y z T x y z R 叫做三維向量空間 下頁(yè) 在空間直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)集 P x y z ax by cz d 是一個(gè)平面 a b c不全為0 在三維向量空間中 向量集 r r x y z T ax by cz d 也叫做向量空間R3中的平面 并把 作為它的圖形 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 下頁(yè) n維向量的全體所組成的集合Rn x x x1 x2 xn T x1 x2 xn R 叫做n維向量空間 n維向量的集合 x x x1 x2 xn T a1x1 a2x2 anxn b 叫做n維向量空間Rn中的n 1維超平面 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 下頁(yè) 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 線性方程Am nx 0的全體解當(dāng)R A n時(shí)是一個(gè)含無(wú)限多個(gè)n維列向量的向量組 下頁(yè) 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 一個(gè)m n矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)m維列向量組 也對(duì)應(yīng)一個(gè)n維行向量組 下頁(yè) 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 一個(gè)m n矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)m維列向量組 也對(duì)應(yīng)一個(gè)n維行向量組 下頁(yè) 向量n個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為n維向量 這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量 第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量 向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量 或同維數(shù)的行向量 所組成的集合叫做向量組 向量舉例 一個(gè)m n矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)m維列向量組 也對(duì)應(yīng)一個(gè)n維行向量組 下頁(yè) 今后 由列向量組A a1 a2 am所構(gòu)成的矩陣簡(jiǎn)記為A或 a1 a2 am 線性組合與線性表示設(shè)A a1 a2 am是一向量組 表達(dá)式k1a1 k2a2 kmam 稱為向量組A的一個(gè)線性組合 其中k1 k2 km是一組實(shí)數(shù) 稱為這線性組合的系數(shù) 如果向量b是向量組A的線性組合b 1a1 2a2 mam 則稱向量b能由向量組A線性表示 定理1向量b能由向量組A a1 a2 am線性表示的充分必要條件是矩陣A a1 a2 am 與矩陣B a1 a2 am b 的秩相等 即R A R B 下頁(yè) 例1設(shè)a1 1 1 2 2 T a2 1 2 1 3 T a3 1 1 4 0 T b 1 0 3 1 T 證明向量b能由向量組a1 a2 a3線性表示 并求出表示式 設(shè)A a1 a2 a3 B A b a1 a2 a3 b 因?yàn)?所以R A R B 因此向量b能由向量組a1 a2 a3線性表示 由上列行最簡(jiǎn)形 可得方程 a1 a2 a3 x b的通解為 從而得表示式b a1 a2 a3 x 3c 2 a1 2c 1 a2 ca3 其中c可任意取值 下頁(yè) 注 bj k1ja1 k2ja1 kmjam j 1 2 l 向量組的等價(jià)若向量組B b1 b2 bl中的每個(gè)向量都能由向量組A a1 a2 am線性表示 則稱向量組B能由向量組A線性表示 若向量組B組能由向量組A線性表示 則存在矩陣K kij 使 矩陣K稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣 若向量組A與B能相互表示 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) 下頁(yè) 因此 若C AB 則 1 矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示 2 矩陣C的行向量組能由矩陣B的行向量組線性表示 向量組的等價(jià)若向量組B b1 b2 bl中的每個(gè)向量都能由向量組A a1 a2 am線性表示 則稱向量組B能由向量組A線性表示 若向量組B組能由向量組A線性表示 則存在矩陣K kij 使 若向量組A與B能相互表示 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) 下頁(yè) 提示 若矩陣A與B行等價(jià) 則這兩個(gè)矩陣的行向量組等價(jià) 矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的關(guān)系 這是因?yàn)?矩陣A經(jīng)初等行變換變成矩陣B 則B的每個(gè)行向量都是A的行向量組的線性組合 反之 由初等變換的可逆性 A的行向量組也能由B的行向量組線性表示 向量組的等價(jià)若向量組B b1 b2 bl中的每個(gè)向量都能由向量組A a1 a2 am線性表示 則稱向量組B能由向量組A線性表示 若向量組A與B能相互表示 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) 下頁(yè) 若矩陣A與B列等價(jià) 則這兩個(gè)矩陣的列向量組等價(jià) 若矩陣A與B行等價(jià) 則這兩個(gè)矩陣的行向量組等價(jià) 矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的關(guān)系 向量組的等價(jià)若向量組B b1 b2 bl中的每個(gè)向量都能由向量組A a1 a2 am線性表示 則稱向量組B能由向量組A線性表示 若向量組A與B能相互表示 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) 下頁(yè) 向量組的等價(jià)若向量組B b1 b2 bl中的每個(gè)向量都能由向量組A a1 a2 am線性表示 則稱向量組B能由向量組A線性表示 若向量組A與B能相互表示 則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) 定理2向量組B b1 b2 bl能由向量組A a1 a2 am線性表示的充分必要條件是R A R A B 注 A B a1 a2 am b1 b2 bl 推論向量組A a1 a2 am與向量組B b1 b2 bl等價(jià)的充分必要條件是R A R B R A B 下頁(yè) 例2設(shè)a1 1 1 1 1 T a2 3 1 1 3 T b1 2 0 1 1 T b2 1 1 0 2 T b3 3 1 2 0 T 證明向量組a1 a2與向量組b1 b2 b3等價(jià) 記A a1 a2 B b1 b2 b3 證明 將 A B 化為行最簡(jiǎn)形 又R B R A B 2 于是知R B 2 因此R A R B R A B 根據(jù)定理2的推論 知向量組a1 a2與向量組b1 b2 b3等價(jià) 可見(jiàn) R A 2 R A B 2 故R B 2 容易看出矩陣B中有不等于0的2階子式 下頁(yè) 定理3設(shè)向量組B b1 b2 bl能由向量組A a1 a2 am線性表示 則R b1 b2 bl R a1 a2 am 證明記A a1 a2 am B b1 b2 bl 按定理的條件 根據(jù)定理2有R A R A B 而R B R A B 因此R B R A